CHAPITRE lY
Elément linéaire de la surface minima et de sa représentation sphérique. — La représentation sphérique réalise un tracé géographique de la surface minima sur la sphère. — Problème de Minding. — Tracé géographique sur le plan dans lequel les lignes de courbure sont représentées par les droites parallèles aux axes. — Théorème de Bour. — Recherche des surfaces minima à lignes de courbure planes. — Surface de M. O. Bonnet. — Surface de M. Enneper. — Formes diverses de l'élément linéaire. — Représentations planes de la surface indiquées par Riemann.
202. Les résultats obtenus dans les Chapitres précédents conduisent à un grand nombre de conséquences. Nous allons développer d'abord celles qui concernent les différentes représentations de la surface.
Les formules (17) [p. 289] nous donnent d'abord pour l'élément linéaire de la surface l'expression suivante
à laquelle nous joindrons celle qui détermine l'élément linéaire de la représentation sphérique
4 du dui
(2) ûfj« = rfc«-4- éfc'«4- de"* =
{i-\-uuiy
La comparaison de ces formules met en évidence une proposition du plus haut intérêt, due à M. O. Bonnet : La représentation sphérique de la surface minima réalise une représentation conforme, un tracé géographique de la surface sur la sphère.
Il est aisé de démontrer que cette propriété caractérise les surfaces minima : Toute surface autre que la sphère, pour laquelle Vangle de deux courbes est égal à celui de leurs représentations sphériques, est nécessairement une surface minima. Cela résulte immédiatement de la proposition énoncée
3lO LIVRE III. — CHAP. IV.
au n" 142. Nous avons vu que, si Ton considère une courbe passant en un point M de la surface et y admettant une tan> gente MT, elle a pour représentation sphérique une courbe qui passe au point m, image de M, en y admettant pour tangente une droite perpendiculaire à la tangente conjuguée de MT. H suit de là que, si deux courbes issues du point M y admettent les deux tangentes MT, MT', l'angle de leurs représentations sphériques en m sera égal à celui des tangentes MU, MU' conjuguées de MT, MT'. L'indicatrice de la surface cherchée doit donc être une courbe telle que l'angle de deux quelconques de ses diamètres soit égal à celui des diamètres conjugués. Cette propriété n'appartient qu'au cercle et à l'hyperbole équilatère; la surface cherchée ne peut donc être qu'une sphère ou une surface minima.
Plus généralement, s'il existe sur une surface un système orthogonal admettant pour représentation sphérique un svstème orthogonal et ne se confondant pas avec celui qui est formé par les lignes de courbure, on arrivera à la même conclusion. Car l'hyperbole équilatère est la seule conique pour laquelle deux diamètres rectangulaires ne se confondant pas avec les axes puissent admettre comme conjugués deux diamètres rectangulaires.
203. Imaginons, d'après cela, qu'étant donné un système orthogonal (S) quelconque tracé sur la sphère de rayon i, on propose de trouver toutes les surfaces (S) telles que, si l'on effectue leur représentation sphérique sur la sphère précédente, les courbes de la surface qui correspondent à celles du système sphérique orthogonal (S) forment un système (S') également orthogonal. Le problème ainsi posé sera susceptible d'une double solution : ou bien le système (S') sera formé des lignes de courbure de la surface et alors la question sera ramenée à la suivante sur laquelle nous avons déjà donné quelques indications (n° 162) : Trouver les surfaces dont les lignes de courbure admettent pour image sphérique les courbes d^un système orthogonal donné; ou bien le système (S) ne sera pas formé des lignes de courbure et, dans ce cas, la surface devra être une surface minima qui sera d'ailleurs quelconque.
Les remarques précédentes expliquent certains résultats obtenus
REPRÉSENTATIONS CONFORMES DES SURFACES MINIMA. 3ll
par Minding clans un travail (*) publié en i852. Ce savant géomètre commence par généraliser et étendre à une surface quelconque la notion des méridiens et des parallèles. Les méridiens sont les courbes pour lesquelles la normale à la surface est parallèle à un pjan vertical fixe; les parallèles sont les courbes pour lesquelles le plan tangent fait un angle constant avec le plan horizontal. En d^autres termes, dans la représentation sphérique de la surface, les méridiens et les parallèles de la surface, tels que nous venons de les définir, correspondent aux méridiens et aux parallèles de la sphère. Minding se propose de rechercher toutes les surfaces sur lesquelles les méridiens et les parallèles forment un système orthogonal, et il obtient deux classes bien distinctes de surfaces satisfaisant aux conditions posées. Les unes sont les surfaces-moulures déjà étudiées par Monge, les autres sont les surfaces minima. Ces résultats sont une conséquence directe des remarques qui précèdent; et nous pouvons ajouter que, sur toute surface minima, le réseau formé par les méridiens et les parallèles sera toujours isotherme, car il correspond à un système isotlierme de la [sphère. C'est ce que les formules (a) [p. agô] nous permettent d^ailleurs de vérifier. Les parallèles seront définis par
l'équation
c" = const. ou uui = consl.,
et les méridiens par l'équation
—, — const.
ou — = const.
Si donc on fait
Ui = pe-'«»>,
l'élément linéaire de la surface aura pour expression
Les courbes p = consl. sont les parallèles ; les courbes (o = const. les méridiens de la surface, et l'expression de l'élément linéaire
C) MiNDi.'iG, Ueber einige Grundformeln der Geodàsie {Journal de C relie, t. XLIV, p. 66; i8J2).
3l2 LIVRE III. — CHAP. IV.
montre bien que ces deux familles de courbes constituent un système isotherme.
En particulier, si Ton a
Télément linéaire deviendra
é/5« = A Al ( I -H p* ) p»"» [rfp» -4- p« ûfw* ] ;
la surface sera applicable sur une surface de révolution, les méridiens et les parallèles se correspondant respectivement sur les deux surfaces.
204. Nous allons maintenant faire connaître d'autres représentations conformes de la surface minima qui ont été indiquées par Riemann dans un Mémoire important sur lequel nous aurons à revenir (' ).
Faisons correspondre au point (w, m<) de la surface le point d'un plan dont les coordonnées rectangulaires a;«, jKi sont déterminées par les formules
Il résulte immédiatement des formules (22), établies au n® 199, que cette correspondance est indépendante de l'orientation de la surface. C'est ce que mettront d'ailleurs en évidence les propositions que nous allons obtenir.
L'élément linéaire de la surface, déterminé par la formule (i), prendra la forme
(0 ds^=^{i-^uUi)i\/g{u)gt{u,){dxl-\-dy\) = ï^{dx\-^dy\\
R désignant le rayon de courbure principal déterminé par la pre-
( « ) RiEMAxx, Ueber die Flàche vont kleinsten Inhalt bei gegebener Begrenzung {Œuvres complètes, p. 283, et t. XIII des Mémoires de la Société Royale de Gœttingue, 1867).
REPRÉSENTATIONS CONFORMES DES SURFACES 31INIMA. 3l3
mière formule (i5) [p. 802]. L'élément linéaire dv de la représentation sphérique aura de même pour expression
(5) di^='^{dx\^dy\y
La première de ces deux formules démontre la propriété que nous avons annoncée. La représentation de la surface minima sur le plan constitue un tracé géographique de la surface, et, si nous nous reportons aux équations (i4) et (16) du Chapitre précédent [p. 3o2 et 3o3], nous reconnaissons immédiatement que, dans ce tracé géographique de la surface minima, les lignes de courbure sont représentées par les droites
art = const., yi^ consi,,
parallèles aux axes, et les lignes asymptotiques par les droites
a?! -4-^1 = const., Xx — j^i = const.,
parallèles aux bissectrices de ces axes.
Les formules (4) et (5) mettent encore en évidence une proposition intéressante, que l'on peut d'ailleurs rattacher à celles qui concernent le tracé géographique de la surface minima sur la sphère : Les lignes de courbure qui forment, sur la surface, un système isotherme, admettent pour représentation sphérique un système qui est aussi isotherme. Mais cette propriété, prise dans son énoncé le plus général, ne caractérise nullement les surfaces minima, elle appartient aussi, par exemple, aux surfaces de révolution et aux surfaces du second degré (n** 121).
2O0. On obtient d'autres propositions qui méritent d'être signalées en introduisant dans les formules les deux fonctions
( a = ar, -4- ivi , ( 3 = a?i — iji.
On aura alors
|t=/(a)=rA, ai = cp(P)=B,
2A'*' -XV--1'- ^g,,
Ti^
3l4 LIVRE III. — CHAP, IV.
A', B' désignant les dérivées des fonctions A et B; el les éléments linéaires ds et rfo- auront pour expressions nouvelles
^^) ^^'^ 4VB-— ' ^^^= (i^AB)« '
De là résulte le théorème suivant :
Si Von a mis, d'une manière quelconque^ Vêlement linéaire de la sphère sous la forme
l'élément linéaire
ds^ = ^doid^
sera celui d'une sur/ace minima pour laquelle cl-]^ p et ol — ^ seront les paramètres des lignes de courbure,
qui a été énoncé, pour la première fois, par Bour ( ' ) et qui résulte aussi des belles recherches de M. Weingarten, sur lesquelles nous aurons à revenir, pour les exposer dans tous leurs détails.
Introduisons dans les formules de M. Weierstrass les notations nouvelles définies par les équations (6) et (7); ces formules se changeront dans les suivantes
(|ui, sous cette forme, ont été données parEnneper en 1864, dans Tarticlc cité plus haut (2). Si on les rapproche du théorème de l^our, elles permettent de déterminer les surfaces minima admettant pour représentation sphérique de leurs lignes de courbure un système isotherme donné de la sphère. En effet, si ce système iso-
( ' ) B<)UR, Théorie de la déformation des sur/aces {Journal de V École Polytechnique^ \\\I\* Cahier, p. 1 18-119; 1862).
(^) Elles se trouvent aussi sous une fornac légèrement différente dans le Mémoire de Itiemann {Œuvres complètcSf p. 292).
REPRÉSENTATIONS CONFORMES DES SURFACES MINIMA. 3l'>
therme est donné de forme et de posilion, on connaîtra les fonctions A et B et les formules précédentes donneront la surface minima cherchée. Les surfaces homothétiques s^obtiendront en remplaçant a et ^ par ma et m^, m étant une constante.
206. Proposons-nous, par exemple, de trouver les surfaces minima admettant pour représentation sphérique les sj'Stèmcs isothermes composés de deux familles de cercles. Le plus général de ces systèmes, dans lequel les cercles de chaque famille passent par deux points distincts y correspond, avec un choix convenable des axes, aux valeurs suivantes de A et de B,
A = 1/ ,- lanj;-, B = 1/ 7 tangi-,
Il désignant une constante réelle inférieure à i. Les formules précédentes nous donneront alors
x= — r=zz=r[/i(« -h P)-+- sina-4- sin ^], 2 V I — /i*
(lo) {y= — [g — pH-A(sin« — sinp],
z = [cosa -4- cosp],
L'élément linéaire de la surface sera déterminé par la formule
ds^ = 7- ces -h h cos -^ — di ^3.
Si Ton pose
a = X -4- *fx,
X et [JL seront les paramètres des lignes de courbure. Multiplions
par ^'1 — A-; les expressions des coordonnées prendront la forme
suivante
j7 = AX H- sinX cosi[x,
(il) \y=^ — [ji -h AtsintfjLCOsX,
z = v^i — A* cos X cos [X iy
3l6 LIVRE III. — CHAP. IV.
et rélément linéaire aura pour valeur
(12) ds^ =[cos*jx-T- AcosX]'(rfX» -i- £/[!*).
Ces formules ont été données par M. O. Bonnet (*).
La surface précédente n'a pas encore été étudiée, croyons-nous. Parmi ses propriétés, nous signalerons les suivantes :
La section par le pian des xy se compose d'un nombre illîmité de chaînettes toutes égales, ayant leurs bases parallèles à Taxe des j'. Ces chaînettes sont des lignes de courbure planes de la surface. Par celte propriété d'avoir pour ligne de courbure une chaînette, qui suffirait, nous le verrons, à la déterminer, la surface se rapproche de l'alysséide qui correspond à l'hypothèse h = o. Mais le plan de la chaînette n'est pas un plan de symétrie de la surface et la coupe sous un angle constant, dont le cosinus est égal à h.
Les lignes de courbure u = const. sont des courbes analogues à la cvcloïde et dont on obtiendra la forme en projetant une cycloïde allongée sur un plan parallèle à la base de cette courbe. Ellles sont définies dans leur plan par deux, équations de la forme
a* = AX — a sinX,
y = \^a* — A* cos/, 011 X est le paramètre variable, et elles sont rectiCables.
207. Sur une surface quelconque, les lignes de courbure planes sont caractérisées, nous le verrons, par la propriété d'admettre comme représentation sphérique un petit cercle de la sphère. Pour obtenir toutes les surfaces minima a lignes de courbure planes dans les deux systèmes, il nous suffira donc de joindre à la surface précédente celle qui admet, pour représentation sphérique de ses lignes de courbure, le système particulier de cercles dans lequel les cercles de chaque famille sont tous tangents en un même point et ont pour projection stéréographique deux systèmes de droites rectangulaires (-'*. La surface correspondante.
{* Comptes rendus, t. \LI, p. 1057; iSS5.
• ' Il f^r^it ÎDUtile. 00 le «Icmoatrc »i$«inent, de rechercher les surfaces mioima à li£De5 Je courbure pUnes dans un seul srstènie. En effet, toute surface minima
REPRÉSENTATIONS CONFORMES DES SURFACES MINIMA. 3iy
qui est comprise comme cas limite dans la précédente, présente les propriétés les plus intéressantes et mérite d'être étudiée d'une manière détaillée. Elle a été signalée par M. Enneper (•). Dans ce cas, il faudra faire
ou, ce qui est la même chose, remplacer dans les formules de M. Weierstrass J(a), ^i(wi) par une même constante. Prenons cette constante égale à 3. Nous aurons
(i3) x = Sl(3u — u^), 7 = ciili(3wH- w'), z = S{3u^, et si l'on pose
a et p seront les paramètres des lignes de courbure.
On a d'abord, en développant les expressions des coordonnées,
Ix = 3a-i-3a3« — a', ^ = 3?-4-3a«p-p3, ;; = 3 a» — 3 p2.
La surface est algébrique et unicursale. Dans le tracé géographique sur le plan, les sections planes sont représentées par des courbes du troisième degré qui n'ont aucun point commun et, par conséquent, la surface est du neuvième degré.
Les plans des lignes de courbure ont respectivement pour équations
( x-\- oiz — 3a — 2a3 = G,
admettant pour représentation sphérique de ses lignes de courbure un système orthogonal et isotherme, on serait conduit à rechercher sur la sphère un sj'stème isollicrmc dont une des familles seulement serait composée de cercles. Or, la proposition démontrée au n" 127, relativement aux systèmes isothermes plans dont une famille est composée de cercles, s'étend immédiatement, par une simple inversion^ aux systèmes sphériques; et elle nous permet de conclure qu'il n'existe pas sur la sphère de système isotherme dont une seule famille soit formée de cercles. Par suite, il n'existe pas de surface minima à lignes de courbure planes dans un seul système.
(') Enneper (A.), Analytisch-geometrische Untersuchungen {Zeitschrift fur Mathematik und Physik, t. IX, p. io8; i86/|).
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Nous verrons comment on peut les construire géométriquement. Il résulte d'ailleurs des formules (i4) que les lignes de courbure sont des courbes unicursales du troisième ordre ; et nous allons montrer qu'elles sont rectijiables.
En effet, le calcul de l'élément linéaire delà surface nous donne
ds^ = 9[i -+- a» -h ?«]«(€/a2 -f- d^^)y
ot si l'on fait, par exemple, ^ = const., on aura ot, en intégrant,
Laissant au lecteur le soin de démontrer que les lignes asymptoliques sont à la fois des hélices et des cubiques gauches rectiiiables, nous allons chercher ce que devient ici la génération que nous avons donnée au n° 105 pour toutes les surfaces à lignes de courbure planes.
L'équation du plan tangent au point de paramètres a, ^ prend ici la forme
(i6) aaa: — 237-f-(a«-4-P«— i)5-i-3p* — 33t«-f-p* — a^ = o.
Si, conformément aux méthodes du n° 101, on l'écrit de la manière suivante :
(.r — 4a)« -T-7* -^ (5 — 2a« -H i)« — (^ — 4p)2 — ar« — (z -f- 2^» — I)» =r o,
on voit qu'il est le plan radical des deux sphères de rayon nul
(X — 4a)' -f-y* -+-(-5 — aot' H-O* = o, ^* -^(7 - 4 ?)' -f-(- -^ 2?» - 1)« = o,
dont les centres décrivent deux paraboles qui sont focales l'une de l'autre. L'application du théorème du n° 105 nous donne donc la énération suivante de la surface de M. Enneper :
Considérons dans V espace deux paraboles qui sont focales l'une de l'autre. La surface est V enveloppe des plans élevés perpendiculairement sur les milieux des cordes qui joignent les points de Vune des courbes aux points de l'autre. Les plans normaux aux deux paraboles aux extrémités de Vune de ces cordes
IIEPRE8ENTATI0NS CONFOBUES DES SURFACES JIIXIUA. iig
sont les plans des lignes de courbure gui passent par le point de contact de la sur/ace et du plan perpendiculaire sur li' milieu de la corde. La sur/ace (/ig. i4} est ainsi construite par
plans et par points.
Ij; ri^scau rectangulaire figuré sur la surface est composé des lignes de courbure ; les courbes en diagonale sont des lignes asy m pto tiques.
L'cquatioD du plaa taagenl nous montre d'ailleui-s que, dans le Iracé géographique de la surface, les courbes de contact des cônes circonscrits à la surface soat représentées par des courbes du quatrième ordre ayant, on le reconnaîtra aisément, lo points communs à l'infini. La classe de la surface sera donc égale à 4' — lo ou 6.
208. L'application du théorème de Bour conduit, pour l'élément linéaire des surfaces minima, à diverses formes que l'on rencontre
3y> LIVtE III. — CUkP. IT.
daos les applIcalloDS el qii*il est bon de connailre. Noos allons le« «ignaler rapidemeol.
Prenons d'abord rélément lioéaire de la sphère sons la forme
Si Ton remplace x et y par des fonctions A et B de z et de i. on aora
Far suite, on tronvera, pour Félément linéaire de la snrCice mi-
nima, la forme
