Considérons une surface minima définie par les formules
générales de Monge,
/ a: = A(0-+-A,(tX
(I) b' = B(0-Bt(T),
où les fonctions A, B, C; Aj, B,, d satisfont respectivement aux deux conditions
( dK^ -+- c?B« -+- rfC« = o, ^^^ I dK] -^ dB] -^ dC] = o.
L'élément linéaire de cette surface sera donné par la formule
ds^ = i{dX d\i -h-dEdhi-^dC rfC, ),
par conséquent, il aura la même expression pour toutes les surfaces minima définies par les formules
IX = c'«A(Oh- «-'« A,(t), 4î = e^«C(0H-e-'«C,(T),
OÙ a désigne une constante quelconque. Toutes ces surfaces sont évidemment applicables les unes sur les autres, et les points correspondants sur deux quelconques d'entre elles sont ceux qui sont déterminés par les mêmes valeurs de t et de t. On recon-
naîtra aisément qu'en ces points les plans tangents aux surfaces sont parallèles.
Nous dirons que les équations (3) définissent une famille de surfaces associées. Pour a = o, on retrouve la surface définie par les équations (i); pour a =: u, on obtient la symétrique de cette surface par rapport à l'origine des coordonnées.
Parmi les surfaces associées à une surface donnée, on doit distinguer particulièrement celle qui correspond à la valeur - de a. Elle est définie par les formules
ix, = i[K{t)-k,{z)l
(4) <7o = ^TB(/)-Bi(T)],
( io=4C(0-G,(T)].
Nous lui donnerons le nom de surface adjointe à la proposée. Elle a été découverte par M. O. Bonnet (*).' Ses relations avec la surface dont elle dérive jouent un rôle essentiel dans la théorie des surfaces minima.
Si, dans les formules (i), on remplace A(^) par A(^) — im^ A,(t) par Aj(T)-|-i/w, m désignant une constante, la surface primitive ne sera pas changée, mais la valeur de x^ sera augmentée de im. Gomme on peut opérer des changements analogues pour jo) ^o> on voit que la surface adjointe peut être déplacée parallèlement à elle-même et subir une translation quelconque. Si, d'ailleurs, on échange les termes relatifs k t et à t, cette surface sera remplacée par sa symétrique relativement à l'origine des coordonnées. Ainsi, la surface adjointe à une surface donnée n'est pas complètement définie de position*
Quand on emploie les formules de M. Weierstrass
(5) / 7 = i j ^'^^^^(u)du — ij l^^^^
Z= j U^{u)du -r- I Ui^i{U\)dUi,
(*) o. BoxNET, A^o/c sur la théorie générale des sur/aces {Comptes rendus, L. XXXVII, p. 52g-53a; i853).
les surfaces associées s'obtiennent en remplaçant ^{u), ^i{iii)y respectivement par J^(w)e'*, ^j {u^)e~^^ (*).
En particulier, la surface adjointe est définie par les équations
Xq = il ^(u)du — il -^i{ui)duiy
(6) U-o=- J'-=^S{u)du- J'-^^§^{u,)duu
Zo— i I u^{u)du — « / Mt^i(Mi)c?Ml,
qui se déduisent des formules (5) par la substitution de i ^{u) à rf (?/) et de — i^i (u^ ) à ^^{u^ ). A chaque nappe réelle d'une surface minima correspondra évidemment une nappe réelle de la surface adjointe. Si la surface proposée est algébrique, il en sera de même et des surfaces associées, et de la surface adjointe.
211. Quel que soit le système de détermination employé pour les valeurs de ;r, ^, 5, Xq, j^'q» ^o? '^s coordonnées X, Y, Z d'un point de la surface associée correspondante à une valeur quelconque de a s'expriment de la manière suivante :
IX = X cos a H- aro sin a, Y =^cosa-i-\^osina, Z = z cos OL -h Zq sin a.
En écrivant que le carré de l'élément linéaire de cette surface
dX^ -hdY^-^dZ^
est indépendant de a, on est conduit aux relations
( dx^ -f- df^ H- dz^ = dxl ■+- dyl -+- dzl^ \ dx dxo -¥- dy dy^ -f- dz dz^ = o,
qu'il est d'ailleurs aisé de vérifier. Ainsi, non seulement une surface minima et son adjointe sont applicables l'une sur l'autre et elles ont, comme deux surfaces associées quelconques, la propriété que leurs plans tangents aux points correspondants sont parallèles ;
(') Ce moyen si simple d'obtenir toute une famille de surfaces minima applicables sur une surface minima donnée est dû à M. Schwarz qui l'a donné dans l'article déjà cité [p. 280], Miscellen aus dem Gebiete der Minimalflàchen p. 386.
mais, de plus, les tangentes à deux courbes correspondantes sont toujours perpendiculaires. Nous dirons alors que les éléments correspondants des deux surfaces sont orthogonaux.
212. Avant de continuer l'étude des surfaces associées, nous remarquerons que les formules (8) ont conduit M. Schwarz à un procédé très élégant de détermination de la surface adjointe (*). Nous avons déjà démontré que, si une surface minima est donnée par son équation, on peut obtenir par des diflférentiations et des éliminations, et sans aucune quadrature, les expressions des coordonnées en fonction des variables w, Wj. Ces expressions une fois obtenues
ar= «p(w)-4-oi(mi),
- = X(w)-+-Xi("i)>
on en déduira immédiatement celles qui conviennent à la surface adjointe et qui sont
Xo = «[<p(w) — ?l(Wl)],
Les formules données par M. Schwarz exigent, au contraire, remploi de trois quadratures, mais elles sont de la plus grande élégance et ont des applications très importantes. Nous allons les faire connaître.
Désignons maintenant par X, Y, Z les cosinus directeurs de la normale qui sont définis par les formules déjà données [p. 296]
(9) X^^^^tJh., Y='^'"-"\ Z="'^'-';
IH-MMi l-hUUi l-^UUi
X, y y z; jCo) J'oi ^0 désignant les coordonnées de deux points correspondants sur la surface minima donnée et sur la surface adjointe. On aura
i X dx -^ \ dy -\- Z dz =: o,
l X dxQ -^ Y dyo -+- Z dz^ = o.
(*) Schwarz, Miscellen aus dem Gebiete der Minimalflàchen p. 387.
3a6 LIVRE m. — chap. v.
Si l'on joint la dernière des équations précédentes à la seconde des formules (8), on pourra déterminer les rapports mutuels de dx^. dyoj dzo', ce qui donnera
dxo dyo dzQ
Zdy—\dz " Xdz — Zda; ~ Ydx — Xdf'
La somme des carrés des numérateurs est égale, en vertu des formules (8) et (lo), à la somme des carrés des dénominateurs. La valeur commune des rapports précédents est donc égale à di i . Mais, si Ton remplace dans l'un quelconque d'entre eux X, Y, Z, dxy . . ., dxo, . . . par leurs valeurs déduites des formules (5), (6) et (g), on obtient — i pour la valeur commune des trois rapports. On a donc
Idxo — \ dz — Z dy, dy^ = Z dx — X dz^ dzQ = Xdy — Y dx\
et Xq, yoj Zq seront déterminés par l'intégration de ces trois différentielles à deux variables indépendantes, que l'on peut toujours former quand on connaît Téquation de la surface.
Lagrange, nous l'avons vu (n° 173), avait déjà remarqué que l'expression
doit être une différentielle exacte.
213. Nous avons reconnu que deux surfaces associées sont applicables l'une sur l'autre, et que les plans tangents aux points correspondants sont parallèles. Réciproquement, si deux surf aces sont applicables Vune sur Vautre et si les plans tangents aux points correspondants sont parallèles y elles sont nécessairement deux surfaces minima associées. Pour établir cette proposition, nous emploierons le système de coordonnées tangentielles (a, p, Ç) du n® 16S, dans lequel l'expression de l'élément linéaire est
ds^= {z d^ -h dp)(z doL -i- dq).
Pour deux plans tangents parallèles, on peut toujours supposer que les coordonnées a et p ont la même valeur. Il faut donc re-
chercher si deux valeurs différentes Ç, ^^ de la fonclioii Ç peuvent donner la même valeur de l'élément linéaire, c'est-à-dire si l'on peut avoir
(12) {z d^ -\- dp){s d% -^ dq) = (zi rf^ H- dpi){zi doL-^dqx),
z et z^ ayant d'ailleurs les valeurs suivantes, indiquées au n° 16S,
L'équation (12) peut être vériûée de deux manières différentes. On peut avoir, soit
Izd'^ -\- dp — X (^1 d^ -+- cÇpi), zd%-^ dq = -r (zi aa -+- «^1), soit
1 z c?a -4- rfgr = =- (z, ûfp -h dpx ),
\ désignant, dans les deux systèmes de formules, une fonction inconnue. Le premier système donne les équations
Si donc la somme z-^-s n'est pas nulle, il faudra que X soit égal à di 1 . Alors la fonction
devra satisfaire aux trois équations
R = o, T = o, S — Pa — Qp-f-S(i-f-ap) =0,
que l'on résoudra facilement et qui donnent
A, B; C étant trois constantes quelconques.
On reconnaîtra aisément qu'en imprimant une translation convenable à l'une des deux surfaces, on peut annuler S et avoir^ par
conséquent,
Les deux surfaces proposées sont donc égales ou symétriques. Cette solution pouvait être prévue a priori. Mais, si Ton a
et, par conséquent,
les deux surfaces considérées sont des surfaces minima (n° 194). Revenons aux notations du Chapitre III et soient
{ --2Wi/(w) -+-2a/i(w,) — (I-+- wwi)f/(a)^/;(M,)]» { r-. 2aiç(w)H-2wcp,(wi) — (i-f-Ma,)[o'(w)-hcp'j(a,)]
les équations de nos deux surfaces. Si, dans les formules (i6), nous remplaçons les dérivées r, t, /'i, l^ par leurs valeurs, nous trouverons
Ces deux équations. montrent que \ est une constante. Si on la désigne par e'*, on passera de Tune des surfaces à Tautre en remplaçant cf(w), ^\{nx) par e'«^(a), e"'«.f,(w,). C'est la substitution que nous étudions dans ce Chapitre.
Le système (i5), que nous devons maintenant examiner, nous conduit aux équations
d'où Ton déduit, en particulier,
{z-\-sy—rt =z rxtx— {z^-r-s^y.
Cette équation exprime (n" 165) qu'aux points correspondants des deux surfaces le produit des rayons de courbure principaux prend des valeurs égales et de signe contraire pour les deux surfaces. D'après le théorème fondamental de Gauss que nous démontrerons, plus tard, il est impossible que les surfaces soient applicables Tune sur l'autre; et notre réciproque est ainsi complètement démontrée.
LA 6UBPACE ADJOINTE DE M. 0. BONNET. S'iQ
214. Les méthodes précédentes se prêtent à l'examen d'une question qui, sous un énoncé différent, a été l'objet des savantes recherches de M. Mathet ( * ).
Nous avons vu (Liv. II, Ch. III) que, dans le plan, on peut imaginer une infinité de méthodes de transformation avec similitude des éléments infiniment petits, dans lesquelles, à tout élément linéaire passant par un point M correspond un élément passant par le point correspondant M' et faisant avec son homologue un angle qui ne dépend que de la position du point M et demeure constant quand le premier élément tourne autour de M. Peut-on transporter ces propriétés à l'espace? Est-il possible d'établir, entre deux surfaces différentes (S), (Sj), une correspondance point par point avec similitude des éléments infiniment petits, pour laquelle l'angle de deux éléments correspondants passant respectivement par deux points M, M' des deux surfaces ne dépende que de la position de M ou de M' et nullement de la direction de l'un des éléments? Telle est la question générale dont nous allons chercher la solution.
Soient x^ y, z\ x^y j'i, Zx les coordonnées de deux points correspondants sur les deux surfaces, qui seront six fonctions inconnues de deux paramètres. Les propriétés de la transformation se traduiront par les deux équations
( dx dxx-^dy dyi^dz dzi = X' ^dx^-^dy^-{- dz^ ^dxl-^dylt- dz\.
En tenant compte de la première, on peut remplacer la seconde par la suivante :
(17') dx dxi -f- dy dyx -\- dzdzi= [x^dx^ -+■ dy^ -+■ dz^ ),
qui est rationnelle; A et [x seront d'ailleurs des fonctions que l'énoncé de la question n'assujettit à aucune condition.
Prenons comme variables indépendantes les paramètres a, ^
(') Matiikt, Solution d'un problême de Géométrie {Journal de Liouville, a" série, t. VI!I, p. 3i3; i863). Étude sur un certain mode de génération des sur/aces d'étendue minimum (même tome, p. 3:^3).
33o. LIVRE III. — CHAP. V.
des lignes de longueur nulle de la surface (S). On aura
ia'-(S)'-(i)'l(ï)"-(i)--a-fy-
Les équations précédenles nous donneront les relations nouvelles
Les deux premières de ces relations déterminent très simplement les rapports de -t-^> -jp» -^- En tenant compte des équations (18), on trouve
et l'on aura de même
dxi ùyx dzx
()% âoL 01
ôx
dz
ÔXx
àvi
dz\
d3 ôx
dz
Si l'on désigne respectivement par 6 et ^^ les valeurs communes des rapports précédents, on pourra écrire
dx^ f.dx dri ôx
et les équations analogues en y et z. En éliminant X\ on obtiendra l'équation
^ (^ïj- r>0 <^J^ dOj ôx
^ "~ * ^ô^ô'^ ~^ ô^ ô'i^'ôi ô^ ~^'
à laquelle satisferont également j' et w. Par suite (n* 84), a et ^ seront les paramètres de deux familles conjuguées; et la surface
LA SURFACE ADJOINTE DE M. 0. BONNET. 33l
(S), admettant pour lignes conjuguées ses lignes de longueur nulle, sera une surface minima. Il en sera évidemment de même de la surface (S|). De plus, les formules (20) et (21) montrent qu'aux points correspondants des deux surfaces, les lignes de longueur nulle correspondantes auront la même direction; et, par conséquent, les plans tangents aux deux surfaces seront parallèles.
Réciproquement, si Ton prend deux surfaces minima quelconques et si Ton établit la correspondance entre les points de ces surfaces par la condition que les plans tangents y soient parallèles, pour ces points correspondants les quantités u et Ux qui figurent dans les formules de M. Weierstrass auront les mêmes valeurs; et ces formules nous permettent de vérifier que toutes les relations (19) seront satisfaites. Ces deux surfaces donneront donc effectivement la solution générale du problème proposé.
Si deux surfaces sont applicables l'une sur l'autre, la correspondance établie entre leurs points détermine évidemment un tracé géographique de l'une d'elles sur l'autre. La proposition que nous venons d'établir, jointe à celle que nous avons obtenue au n° 213, nous permet donc d'énoncer les résultats suivants :
Si deux surfaces sont applicables Vune sur Vautre de telle manière que les éléments correspondants fassent entre eux un angle constant y ce sont nécessairement deux surfaces minima associées et les plans tangents aux points correspondants sont parallèles.
Si deux surfaces sont applicables l^une sur l'autre avec orthogonalité des éléments correspondants y elles ne peuvent être que deux surfaces minima dont Vune est adjointe à Vautre.
21d. Nous ne quitterons pas ce sujet sans remarquer que les formules (7) donnent un nouvel exemple d'une surface se déformant d'une manière continue sans cesser d'être applicable sur elle-même. Lorsque a varie, chaque point de la surface décrit une ellipse ayant son centre à l'origine des coordonnées. Il y a ici une remarque essentielle à faire. Dans l'exemple du n° 77, une portion de la surface ne pouvait se déformer indéfiniment sans se plier ou se déchirer dès que l'on dépassait certaines positions
limites; dans l'exemple actuel, rien de pareil ne se produit et l'on peut continuer indéfiniment le mouvement de déformation d'une portion quelconque de surface jusqu'à ce que celle-ci revienne, lorsque a a crû de stc, à sa position primitive. Nous laisserons au lecteur le soin de démontrer que cet exemple est le seul dans lequel une surface puisse se déformer de telle manière que ses différents points décrivent des coniques, et nous insisterons sur les propriétés géométriques suivantes, qui ont été signalées par M. O. Bonnet.
Nous avons vu que, si l'on considère la surface minima correspondante à un système de valeurs de ^(w), ^\{u\) et si Ton pose
les lignes de courbure sont définies par les équations
Xi — const. yx = const.
et les lignes asymptotiques par les équations
Xi -+-/i = const., Xi — yi = const.
Pour passer de la surface précédente à toute autre surface
associée, il faudra remplacer ^(w), /|(wi) par^(w)e'*, cf«(w«)e"'*
et les nouvelles valeurs x\^ y\ de X\y y\ seront définies par les
formules
qui donnent
i x\ = Xi cos — yi sin- »
Par suite les lignes de courbure de la surface associée seront définies par les équations
Xi COS ri sin- = const., x* sin — r Vi cos- = const.,
et les lignes asympto tiques par les équations
Xi CCS — Yi sm — = const.f
. aa — -jr aa — ir
Xi sin — ; h Vi CCS — ; — = const.
On voit que, sur la surface primitive, elles correspondent aux lignes qui coupent les lignes de paramètre x^ sous des angles -9
- -9 — h T • Si l'on considère en particulier la surface 4-24 '^
adjointe, on aura a= -, les lignes de courbure de cette surface
correspondront aux lignes asympto tiques de la proposée et vice versa.
Traitons, par exemple, le cas où Ton a
a M» iu
Les formules qui définissent la famille de surfaces associées sont les suivantes
'-Ta-")-^"u-4
Z = — — La Lmi-hC,
C désignant une constante quelconque. Posons et nous obtiendrons
X = -e-|*cos(v-ha) -f- -el*cos(v — a), 2 ^2
Y = -e-l*sin(v -t- a) -t- -el*8in(v — a), a 2
Z = [x cos a -h V sin a.
Pour a = o, on trouve Talysséide. Pour a = -, on obtient Thé licoïde gauche à plan directeur. Ces deux surfaces sont appli-
334 LIVBE III. — CHAP. V.
cables l'une sur l'autre avec orthogonalité des éléments et les lignes de courbure de Tune correspondent aux asvmptotiques de l'autre. Les surfaces qui correspondent à une valeur quelconque de a sont les hélicoïdes déjà rencontrées aux n°* 7o et 180.
216. Après avoir obtenu une famille de surfaces minima applicables sur une surface minima donnée, proposons-nous de rechercher, d'une manière générale, toutes les surfaces minima applicables sur une surface minima donnée (I). Soit
c^5* = (i-i- uui)^ ^ (u) ^ i{Ui) du dui l'élément linéaire de cette surface et soit
ds^ = ii-i- vviY Ç{ v)(Ji(vi) dç dvi
l'élément linéaire d'une autre surface minima (S'). Pour qu'elles soient applicables l'une sur l'autre, il faudra que Ton puisse déterminer V, i^i en fonction de u et de Ut, de manière à satisfaire à Téquation
Cette égalité ne peut être vérifiée (n** 117) que si l'on a
ou
o et ^ désignant des fonctions à déterminer. En donnant un sens convenable aux normales des deux surfaces, on peut prendre
et l'équation à vérifier prendra la forme
(i-+-ç^)«g(ç)gi(^)cp'^' = (i + Mao«.f(M)^i(aO.
Égalons les logarithmes des deux membres et prenons la dérivée seconde par rapport kuetkUi. Nous aurons
ou encore
4 dv dvi ^ du dux
(l -+- i^i'i)» ~~ (l -h UUiY '
Celle égaillé exprime que les représenlalions sphériques de deux figures correspondanles sur les deux surfaces sont égales ou symé- Iriques (Livre I, Chap. III). Comme, par hypothèse, v est une fonction de w, ces représentations sont ici égales et, par conséquent, on pourra, en orientant convenablement la seconde surface, prendre
Il restera donc à satisfaire uniquement à Téquation et celte équation ne peut être vérifiée que si Ton a
Çl(Wl) = rfl(Ml)e-^*,
a étant une constante quelconque. Les seules surfaces minima applicables sur une surface donnée sont donc les surfaces associées à la surface proposée (* ).
217. Il nous reste maintenant à examiner une dernière question qui se rapproche de celles qui ont été étudiées dans ce Chapitre. Proposons-nous de déterminer toutes les surfaces minima applicables sur des surfaces de révolution. Comme une surface de révolution est applicable sur elle-même d'une infinité de manières, il suffira de rechercher les surfaces minima qui jouissent de la même propriété.
Reprenons les formules de M. Weierstrass et soient (w, «j), (i', Vi) les valeurs de u et de Wi, relatives à deux points de la surface. Nous chercherons s'il est possible de satisfaire à l'équation
(i H- awi)« rf (a) ^i{ui)du dui ={i-h v^iy §{v) §x{v\) dv dvu
en prenant pour v et v^ des fonctions de u et de e^^ qui devront même contenir un paramètre variable et se réduire, pour une va-
(*) La détermination de toutes les surfaces minima applicables sur une surface minima donnée est due à M. O. Bonnet. ( Voir, en particulier, le Mémoire sur la théorie des surfaces applicables sur une surface donnée inséré au XLII* Cahier du Journal de l'École Polytechnique, p. 8 et suiv., p. 73 et suiv. ; 1860, 1867).
leur de ce paramètre, aux suivantes
ç ne pouvant dépendre que de u ou de {/« sera, par suite, une
fonction de u et, en raisonnant comme dans le numéro précédent,
on trouvera encore •
du dui __ dv dv\
La solution la plus générale de cette équation est donnée par les
formules
mu -^ n maUt-^riQ
— /loWH-mo — nui -h m
et Téquation à vérifier deviendra
.7(î/).Îi(Mi)= rcT( .7i( — ^— !
Elle se décompose évidemment dans les suivantes :
1 (mo — «oM)^ \—noU-h mo/
[ * »^ (/;i — nux)^ \— nu-{- m/
où 0 désigne une quantité nécessairement constante, puisqu'elle ne dépend ni de w« en vertu de la première équation, ni de u en vertu de la seconde.
Les équations précédentes devront avoir lieu pour une infinité de systèmes de valeurs de m, n, mo, n© fonctions continues d'un paramètre et se réduisant, pour une valeur déterminée de ce paramètre, aux valeurs suivantes ; 1,0, 1,0. Différentions la première, par exemple, par rapport à ce paramètre. Nous aurons, en désignant par des lettres accentuées les dérivées par rapport à ce paramètre,
2{mmo-\- n/io)' H^'o — ^'0^)
mnio ■+■ nriQ /Wq — /IqU
^ Vjm'u-^ n'){mo — nou)--(mu ■+■ n)(m'Q — /ip a)"| ^ L (mo — nouy J - o.
Faisons dans cette équation
m = /Wq = 1? 71 = ^0 = o,
elle se réduira à la suivante
4/i'o u -^ i{m' — /n'o)-+- ïO' -+- ^—r- — [m'u ■— n' — uini^ — /ioa)] = o,
oii Ton devra regarder m©, m^, n', n^, 8' comme des constantes. On pourrait intégrer cette équation et déterminer ^(w); mais il est préférable de montrer que l'on peut toujours choisir les axes, de telle manière que les constantes m', m^', n\ n'^ prennent des valeurs très simples.
Reprenons les formules de substitution
mu -h n
m — nui
— /lo w -t- /Wo
Nous savons qu'elles définissent un déplacement à la surface de la sphère. Si, en particulier, nous prenons les valeurs de m, m^, /î, /lo très voisines de i, i, o, o, elles définiront un déplacement infiniment petit du point (w, u^) à partir de sa position initiale. Ainsi les formules
(dm-\-\)u-\- dn Ui(\ -h dmo)-^ dn^
— U driQ -+- ( I -h dniQ ) — Ui dn -\-{\ -\- dm )
représentent une rotation di autour d'un certain diamètre de la sphère. Si nous prenons ce diamètre pour axe des z, il faudra que
Ton ait
d^ . dj,
dn = drin = o, dm = i — > dmo = — i —
et, par conséquent,
.oc , .7.
Portant ces valeurs dans l'équation à laquelle doit satisfaire -^(w), nous trouverons
2ia ■+- lO -t- -7-^ — - 17, u = o
et, par suite,
u^'ju) ,
A* désignant une constante. En intégrant, on a
(27) J(M)=Ca*.
338 LITAE III. — CBAP. T.
On trouverait de même
( vf ) y^( Uit= Cl tt I .
Les surfaces qui correspondent à ces valeurs des fonctions ^(u », ^1 ^^i) jouissent bien de la propriété indiquée et sont, nous l'avons déjà vu (n^ 203)« applicables sur des surfaces de révolution. La méthode par laquelle nous les avons obtenues a été indiquée par M. Schwarz (•).
Nous signalerons une remarquable propriété dont elles jouissent. Remplaçons dans les formules de M. Weierstrass ^(w), -Tii'wi » parleurs valeurs précédentes où, pour plus de netteté, on aura mis m — a à la place de k, en sorte que Ton aura
SI Ton fait tourner la surface de Taugle a autour de Taxe des z^ les nouvelles valeurs de ^(u), -^1(^1) seront, d'après les formules (a3)dun'>200,
On voit que, lorsque m n'est pas nul, ces nouvelles valeurs conviennent à une des surfaces associées à la proposée. Le cas où m est nul correspond, nous le savons (n® 200), aux hélicoïdes. On est ainsi conduit au théorème suivant :
Si Von considère toutes les surfaces minima^ autres que les hélicoïdes, qui sont applicables sur des surfaces de révolution, elles sont superposables à leurs surfaces associées; si Von fait tourner la surface d'un angle quelconque autour de son axe, on obtient Vune des surfaces associées.
Par suite, pour obtenir toutes les applications de la surface sur elle-même, il suffira de la faire tourner d'un angle quelconque autour de son axe et de faire correspondre dans les deux positions les points où les plans tangents sont parallèles.
(») Schwarz, MUceUen aus dem Gebiete der Minimalflàchen, p. 296. Voir aussi BofR, Théorie de la déformation des sur/aces, p. 99.
LA SURFACE ADJOINTE DE M. 0. BONNET. 33g
Si Ton veut de même obtenir toutes les surfaces minima applicables sur une surface spirale, il faudra prendre (*)
(28) ^(w)=Ca'«+'«^ ^i(wi)=Ciaf-''';
l'application de la méthode précédente conduit, sans difficulté, à ce résultat, que nous nous contentons de signaler. Le lecteur démontrera sans difficulté que les surfaces obtenues sont semblables à celles qui leur sont associées.
(*) S. Lie, Beitràge zur Théorie der Minimaljlàchen {Mathematische Annalen, t. XV, p. 5o3; 1879).
