LES FORMULES DE MONGE ET LEUR INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

Recherches de M. Lie. — Génération de toute surface miniraa par la translation de deux courbes minima. — Étude de ce mode de génération, détermination nouvelle des surfaces algébriques et des surfaces réelles. — Surfaces minima doubles. — Détermination des surfaces doubles réelles. — Courbes minima qui sont identiques à leurs conjuguées. — Les surfaces minima dans le premier système de coordonnées tangentielles étudié au Livre II, Chap. VII. — Propriété géométrique <{ui distingue les surfaces doubles des surfaces simples. — Surfaces découvertes par Mobius et dans lesquelles on peut passer d'une face à l'autre par un chemin continu.

î218. Les Chapitres précédents contiennent l'exposition d'une série de résultats qui reposent sur la forme particulière donnée aux formules de Monge par M. Weierslrass. Dans des travaux récents (*), M. Sophus Lie est revenu aux équations de Monge; il en a donné l'interprétation géométrique la plus élégante et il a mis en évidence tout le parti que l'on peut en tirer dans l'étude et dans la théorie algébrique des surfaces minima. Nous allons développer, dans ce Chapitre, les principes de la méthode de M. Lie.

Reprenons les formules de Monge

i jr = A(Oh-A,(t), (i) v-B(0-f-B,(T),

où les fonctions A, . . . , A«, ... satisfont aux conditions

j dk* -^ rfB« H- dC^ = o, ^^^ ( dA\ -r- dB\ -r- dCl =o.

(') s. Lie, Beitràge zur Théorie der Minimaljîàchen : I, Projectivische Untersuchungen ûber algebraische Minimaljîàchen {Mathematische Annalen. t. XIV, p. 33 1 ; 1878). — //. Metrische Untersuchungen ilber algebraische Minimalflàchen, môme Recueil (t. XV, p. 465; 1879). Les recherches de M. Lie avaient déjà été publiées en partie dans les Archiv for MatJiematik og Naturvidenskab (t. II, p. 167 et 338, 1877; t. III, p. 166, 234 et 34o).

LES FORMULES DE HONGE. 34 f

Elles nous montrent immédiatement que les surfaces minima sont des cas particuliers des surfaces étudiées au n® 80 et qui peuvent être engendrées parla translation de deux courbes différentes; seulement ces courbes sont ici imaginaires et leurs tangentes vont rencontrer le cercle de l'infini. Nous obtenons ainsi la génération suivante des surfaces minima, qui sert de base aux travaux de M. Lie.

La surface minima la plus générale peut être engendrée de deux manières différentes par la translation d^une courbe imas[inaire dont les tan fientes vont rencontrer le cercle de Vinfini, le déplacement étant complètement défini par la condition qu^un point déterminé de la courbe décrive une autre courbe quelconque de même définition que la première.

219. Celle interprétation évidente des formules de Monge offre l'avantage de montrer immédiatement que la théorie des surfaces minima dérive de celle des courbes dont les tangentes vont rencontrer le cercle de l'infini et auxquelles nous donnerons, avec M. Lie, le nom de courbes minima. En se plaçant à ce point de vue, on peut retrouver facilement les différents systèmes de formules qui ne contiennent aucun signe de quadrature et délerminent les points d'une surface minima.

En effet, puisque les tangentes d'une courbe minima rencontrent le cercle de l'infini, la développable, enveloppe des plans osculateurs de celte courbe, devra contenir le cercle de l'infini.

Si l'on prend l'équalion d'un plan tangent à cette développable sous la forme

le point correspondant de la courbe minima sera déterminé par les formules suivantes

(3) \y =—/(«)-Har(3t)(i -+-«*),

([ui conduiraient aux équations de Legendre (n° 187).

Mais, le cercle de l'infini étant une courbe unicursale, on peut

34a LIVRE III. — GHJLP. VI.

prendre Téquation da plan tangent à la développable sous la forme rationnelle

qui donne, pour un point de Tarête de rebroussement, les expressions suivantes des coordonnées :

j ^= "—^/'{u)^ ufiu) ~/(a),

Si Ton associe ce système au système analogue où Ton changera i en — £, on retrouvera les formules de M. Weierstrass. Les deux courbes minima qui interviennent dans ces formules sont les arêtes de rebroussement des deux développables, enveloppes des plans

!(l— a«)a7-f- t(l-4- W«)j'-4- 2M-5 -h 2/(m) =0, (i — u\)x— i(i-h u\)}r -+- 2UiZ -h a/i(w,) = o.

220. Revenons aux équations qui déterminent la surface minima sous leur forme la plus générale et au mode de génération employé par M. Lie. Si Ton veut éviter la considération d'une translation imaginaire, il suffira d'appliquer le théorème donné au n° 82; ce qui donnera la proposition suivante :

Soient les deux courbes minima (F), (r<) définies respectivement par les équations

Z = 2C(0, - = 2Gi(t).

Le milieu de la droite qui joint un point quelconque de l'une à un point quelconque de l'autre décrit la sur/ace minima la plus générale définie par les formules (i).

La surface demeurera la même si l'on substitue à (F), (F|) les

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deux courbes suivantes

z= 2C{t)-hly z = 2Ci(i:) — /,

où /«, A", / désignent trois constantes quelconques, c'est-à-dire si Ton imprime à la courbe (F) une translation déterminée quelconque, à la condition d'imprimer à(r«) la translation égale et contraire.

SoitMMi (Jfg* i5) une droite dont les extrémités s'appuient sur les courbes (T), (F,). Si le point M reste fixe, le milieu p de MM| décrira une courbe minima de la surface, homothétique à(ri), le rapport de similitude étant ^. Si, au contraire, le point M« reste fixe, le point p décrira une autre courbe minima homothétique à (F). Cette simple remarque, qui a déjà été présentée d'une ma-

Fig. i5.

nière générale au n° 82, suffit à montrer que, si l'on a obtenu deux générations différentes de la surface au moyen de deux courbes (F), (Fj) et de deux autres courbes (F'), (F'^), ces dernières ne sont autres que les précédentes déplacées parallèlement à elles-mêmes. Soient en effet MM|, M'M'^ deux droites appartenant aux deux modes différents et ayant leur milieu en un même point p de la surface. Si le point/? décrit une des courbes minima de la surface, l'un des points M, M« et l'un des points M', M'^ demeureront fixes. Supposons que ce soient les points M et M'. La droite MiM'j demeurera constamment égale et parallèle à M'M. Par conséquent, la courbe (F'^ ) se déduira de (F| ) par une translation constante et égale à M'M. Si le point p décrit maintenant l'autre courbe minima de la surface, M| et M', demeureront fixes et la ligne M'M demeurera constante en grandeur et en direction. On voit donc que, si l'on a obtenu un mode de génération de la

surface, on obtiendra tous les autres en imprimant aux deux courbes (F), (F,) deux translations égales et opposées.

Le résultat précédent joue un rôle essentiel dans les développements qui vont suivre. 11 permet en particulier de résoudre la question suivante :

Considérons un mode de génération de la surface, obtenu au moyen de deux courbes (F), (F,). Est-il possible que les différents points de la surface soient donnés de plusieurs manières par cette génération, c'est-à-dire soient les milieux de deux ou plusieurs segments appuyant leurs extrémités sur ces deux courbes?

S'il en est ainsi, soient MM,, M'M'^ {ftg- i5) deux droites donnant le même point/? de la surface. La trajectoire de l'un des points M', M',, du point M' par exemple, se déduit de la trajectoire (F) du point M par une translation constante MM'. Cela posé, si le point M' appartient à la courbe (F,), celte courbe devra dériver de (F) par une simple translation. Écartons ce cas intéressant qui sera soumis plus loin à une étude approfondie. Si, au contraire, le point M' appartient à la courbe (F), le point M', appartiendra à (F,) et les deux courbes (F), (F|) pourront être soumises à deux translations égales et contraires MM', M,M'j sans cesser de coïncider avec elles-mêmes. Elles seront deux courbes périodiques et, par conséquent, transcendantes, admettant la même période (*).

Réciproquement, toutes les fois que les courbes seront périodiques et admettront la même période, chaque point de la surface sera le milieu d'une infinité de segments; car soient Mq, Nq deux points pris respectivement sur les deux courbes. En appliquant dans les deux sens la translation à laquelle on peut soumettre les courbes, on en déduira deux séries de points en ligne droite

ijig- i6)

..., M 2, M t, Mo, Ml, Mj, ...,

..., N j, N-i, Nq, Nj, Nj, ...;

Les segments MoNo, M,N,, M,N,, . .. auront évidemment le

(') Nous doDneroDS ici, et dans la suite, le nom de périodiques aux courbes ou aux surfaces, nécessairement transcendantes, qui ne cessent pas de coïncider avec elles-mêmes quand on leur imprime une translation déterminée.

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même milieu et donneront le même point de la surface. La considération des cordes MqN.i, MoN 2 montre d'ailleurs que la surface minima sera périodique comme les courbes, et la translation/?/>i à laquelle on peut la soumettre sera la moitié de celle qui convient aux deux courbes.

Fig. i6.

M — l ^n Ml

N-« N-i Nu iNi

En dehors du cas que nous venons de signaler et de celui où la courbe (Fi) n'est autre que la courbe (F) déplacée parallèlemenl à elle-même, les points de la surface qui forment le lieu des milieux de deux segments différents ne pourront s'étendre sur une nappe et formeront tout au plus une ou plusieurs courbes qui seront des lignes multiples et, en général, des lignes doubles de la surface.

221. Après avoir étudié d'une manière générale la construction géométrique qui sert de base aux travaux de M. Lie, proposonsnous d'obtenir toutes les surfaces algébriques et toutes les surfaces réelles. La surface sera évidemment algébrique si les deux courbes (K),(K,), dont la translation peut engendrer la surface, sont elles-mêmes algébriques. Réciproquement, si la surface est algébrique, ces deux courbes doivent l'être aussi; car soient (A*), (A*') deux positions de l'une déciles. 11 existe une translation qui amène {k) en (A/). Appliquée à la surface, cette translation l'amène dans une position nouvelle où elle contiendra encore (A*'). La courbe (A"'), étant l'intersection complète ou une partie de Fintersection de deux surfaces algébriques, sera donc algébrique. Ainsi :

Pour obtenir toutes les surfaces algébriques, il faudra prendre pour les courbes (T), (F«), ou pour les courbes (K)^ (K,) dont la translation engendre la surface, deux lignes algébriques,