CHAPITRE X

DÉTERMINATION DE LA SURFACE MINIMA PASSANT PAR UN CONTOUR DONNÉ COMPOSÉ DE LIGNES DROITES, OU DE PLANS QUE LA SURFACE DOIT COUPER NORMALEMENT.

Historique. — Indication des travaux de Riemann, de M. Weierstrass et de M. Schwarz. — Exposition générale de la méthode à suivre dans le cas où il n'y a pas de point de ramification. — Surface minima passant par deux droites, — coupant à angle droit deux plans donnés et contenant une droite donnée, — passant par trois droites dont l'une coupe les deux autres, — passant par les quatre côtés d'un quadrilatère gauche quelconque. — Introduction des points de ramification. — Propriétés géométriques relatives à ces points. — Solution générale du problème proposé.

261. Nous allons maintenant compléter Texposition des propriétés les plus simples des surfaces minima en indiquant les principaux résultats qu'ont obtenus les géomètres dans l'étude de la question suivante, posée par Lagrange, et qui a donné nais- , sance à toute la théorie.

Déterminer la surface minima, parfaitement continue ou assujettie à des discontinuités de nature connue, passant par un contour fermé.

On sait que Plateau a résolu ce problème par l'expérience en plongeant le contour donné, réalisé physiquement, dans une dissolution de liquide glycérique. L'Analj'se mathématique n'a pu, jusqu'ici, imaginer aucune méthode générale permettant de commencer l'étude de celle belle question. Toutefois, dans le cas, particulièrement intéressant, où le contour est formé de lignes droites, et dans celui où quelques-unes des portions de ce contour sont remplacées par des plans que la surface doit couper normalement, les propositions que nous avons fait connaître rela-

LE PROBLÈME DB PLATEAU. 4jt5

tivemenl au*x diverses représentations conformes de la surface ont permis de préparer la solution du problème, et même de le résoudre d'une manière complète pour certaines formes simples du contour. Les principaux résultats acquis à la Science dans cet ordre de recherches sont dus à Riemann, à M. Weierstrass et à M. Schwarz.

262. Nous avons déjà cité plusieurs fois le Mémoire fondamental de Riemann, présenté, le 6 janvier 1867, par M. Hattendorf à la Société Royale de Goettingue et inséré dans le t. XIII des Mémoires de cette Société (*). Ce beau travail, qui figure dignement à côté des plus importantes productions de son illustre auteur, contient des applications très intéressantes des vues nouvelles et profondes que Riemann a apportées en Analyse. On peut le considérer comme composé de deux parties bien distinctes. Dans la première, Riemann étudie d'une manière générale les surfaces miiiima et il y fait connaître, en dehors des propositions que nous avons établies, une formule remarquable qui n'a pu trouver place dans notre théorie, et qui est relative à l'aire d'une portion limitée de la surface; il y emploie en particulier le système de coordonnées dont la première idée appartient à M. O. Bonnet (n'* 181); c'est-à-dire qu'il détermine un point de la sphère et le point correspondant de la surface minima par la valeur de la variable complexe qui est l'affixe de ce poiut (n*'* 80 etKH). Les transformations de coordonnées, dont Riemann fait usage à différentes reprises, mettent naturellement en évidence le fait si souvent signalé dans les pages qui précèdent : Toute transforma"

(') Dans une note placée au commencement du Mémoire {liicmann's gesammelte IVerke, p. 283), M. Hatlendorf nous apprend qu'il a dû rédiger cntièrcmcnl e Mémoire d'après un manus^crit de Riemann qui ne contenait absolument que les formules et les résultats. Ce manuscrit, qui est daté des années ifciGo et i8()i, a été envoyé à M. Hattendorf en avril 1866. On sait que Riemann est mort en Italie au mois de juillet suivant.

Dans un Travail présenté comme thèse en 1880 à la Faculté des Sciences, M. Niewenglowski a fait connaître en France les principaux résultats obtenus par Riemann. Voir le Mémoire : Exposition de la méthode de liiemann pour la détermination des sur/aces minima de contour donné, inséré aux Annales de l'École Normale, t. IX, 2* série, p. 227.

4^6 LIVRE III. — CIIAP. X.

tion des coordonnées, ou tout déplacement, s^ exprime par une substitution linéaire particulière effectuée sur la variable complexe, proposition dont Timportancc cl Tinlérêt n'ont été pleinement reconnus que depuis la publication des beaux, travaux de M. Klein relatifs à TintégratLon des équations linéaires du second ordre, à Ticosaùdre et à la résolution des équations algébriques.

La seconde Partie du Mémoire est presque entièrement consacrée à la détermination de la surface minima limitée par un polygone gauche dont tous les côtés sont rectilignes (*). Riemann n'exclut même pas le cas où le contour serait partiellement ouvert et où la surface devrait avoir des segments infinis, analogues à cette portion de riiélicoïde- gauche à plan directeur qui s'étend à l'infini entre deux génératrices rectilignes de la surface. Après avoir développé la solution générale du problème, solution qui exige la formation, toujours possible, d'une équation difTérentielle linéaire et la résolution d'un système d'équations transcendantes dont Tétude est laissée de coté, au moins dans le cas général, Riemann aborde les applications et examine successivement les contours suivants :

i^ Deux droites infinies qui ne sont pas dans le même plan.

Si l'on suppose que le secleur infini s'étendant entre les deux droites n'a pas de discontinuité ni de point de ramification, on trouve l'hélicoïde gauche à plan directeur.

2° Trois droites, dont deux se coupent, la troisième étant parallèle au plan des deux autres.

Sous les réserves précédentes, la solution, ici encore, est complète et les formules définitives sont obtenues.

3' Trois droites placées d^une manière quelconque dans V espace.

(') Iticinann y montre aussi que ron peut résoudre le problème de Plateau pour le cas où le contour est composé de deux cercles quelconques situés dans deux plans parallèles. Il suffit d'admettre que toutes les sections déterminées par des plans parallèles aux plans des deux cercles sont des cercles. La surface obtenue dépend des fonctions elliptiques.

Pour bien se représenter le problème résolu par Riemann, on peut imaginer un hexagone gauche. Si trois côtés non consécutifs de cet hexagone s'éloignent indéfiniment, les trois autres restant fixes, la surface minima qui était limitée par les six côtés de riiexagone tend vers une surface à trois secteurs infinis, dont on aperçoit aisément la forme générale. C'est cette surface que détermine Riemann.

4' Un quadrilatère gauche quelconque,

Riemann forme l'équation linéaire du second ordre dont dépend la solution du problème. Cette équation, que nous donnerons plus loin, a une forme très remarquable qui la rapproche de Téquation de Lamé. On n'a pu encore Tintégrer dans le cas le plus général; Riemann considère le cas particulier où les quatre côtés du quadrilatère sont aussi les arêtes d'un tétraèdre régulier, et il obtient alors la solution du problème par une méthode directe et très élégante, que les travaux déjà rappelés de M. Klein nous aident à comprendre dans tous ses détails.

5° Trois droites dont Vune rencontre les deux autres, en sorte que la surface a deux sommets et un secteur infini.

6" Deux polygones rectilignes non étoiles situés dans deux plans parallèles.

Ces deux derniers exemples ont été publiés pour la première fois dans les (ïluvres de Riemann (*),

263. Les résultats précédents demeurent, aujourd'hui encore, les plus complets et les plus généraux parmi ceux qui ont été publiés sur le problème qui nous occupe. Mais, quelques jours avant la présentation du Mémoire de Riemann à la Société de GiHtingue, le 20 décembre 1866, M. Weierstrass avait communiqué à l'Académie de Berlin, dans une Note de deux pages (^), le résumé de ses recherches sur le même sujet.

Les résultats annoncés par M. Weierstrass sont en parfait

(») /iiemann's gesammelte Werhe, p. 4*7 î» 'l^^.

(') Monatsbcrichle dcr K. P. Akademie, p. 853; 18G6.

4^8 LIVRE m. — CIIAP. \.

accord avec ceux de Riemann. Malheureusement cet illustre géomètre n'a pas Indiqué d'une manière détaillée, au moins dans un travail imprimé, la méthode qu'il a suivie et les cas particuliers qu'il a traités. Nous devons signaler toutefois, dans le court résumé qu'il a donné, une indication très précieuse résultant d'une forme remarquable, sur laquelle nous reviendrons plus loin, donnée aux équations qui déterminent la surface mtnima.

264. Les premières recherches de M. Schwarz ont été publiées avant les précédentes; mais elles sont relatives à un problème particulier. Dans une courte Note insérée en i865 aux Comptes rendus de l'Académie de Berlin (*), M. Schwarz se reporte à des études antérieures relatives à la représentation conforme de la surface d'un polyèdre sur la sphère, éludes qui ont été publiées dans le tome LXX du Journal de Crelle; et il annonce que la solution de ce problème de la représentation conforme pour les différents polyèdres réguliers permet de déterminer, par l'application d'un théorème de M. Weingartcn qui sera étudié dans la suite de cet Ouvrage, un certain nombre de surfaces minima sur lesquelles se trouvent une infinité de droites. Ces droites ne sont pas isolées les unes des autres; elles se rencontrent mutuellement de telle manière qu'un certain nombre d'entre elles puissent servir de limite à une portion de la surface, simplement connexe. C'est ainsi que la surface minima dérivée du cube, surface dont la détermination s'effectue au moyen des fonctions elliptiques de module — > contient une infinité de quadrilatères gauches

égaux ; chacun d'eux est formé avec quatre arêtes d'un tétraèdre régulier et permet de limiter une certaine portion de la surface. On a donc une solution, obtenue il est vrai d'une manière indirecte, du problème de Lagrange et de Plateau pour le contour formé par ce quadrilatère régulier.

Le second travail de M. Schwarz est un Mémoire beaucoup plus étendu, couronné en 1867 par l'Académie de Berlin et publié

(') n. ScuwARz, Ueber die Minimums-flciche deren liegrenzung als ein von vier Kanten eines regularen Tetraeders geùildetesj windschiefes Viereck gegeben ist {Monalsberic/Ue der K, P. AAademie, p. i'iq-ijS; i86j).

en 1871 sous le titre suivant : Bestimmung einer speciellen Minimaljlàche (*). L'auteur y aborde, cette fois par des méthodes directes, la détermination de la surface niinima passant par les quatre côtés d'un quadrilatère gauche, et il montre que l'on pourra donner la solution complète du problème dans le cas particulier où le quadrilatère gauche est assujetti à l'unique condition d'avoir un plan de symétrie, passant nécessairement par deux de ses sommets opposés. Il considère en particulier, comme Riemann dont le Mémoire était encore inédit à l'époque où M. Schwarz communiquait son travail à l'Académie de Berlin, le cas remarquable où les quatre côtés du quadrilatère gauche sont les arêtes d'un tétraèdre régulier; il retrouve alors la surface déjà définie dans sa Communication précédente; on l'obtient en faisant, dans les formules de M. Weierstrass (n** 191),

rf ( u ) =

Enfin, dans un Appendice qui termine le Mémoire, l'éminent géomètre fait connaître certaines surfaces minima, pour lesquelles la fonction ^{u) est l'inverse de la racine carrée d'un polynôme du huitième degré, et qui contiennent des droites avec lesquelles on peut former des polygones gauches d'une nature spéciale, limitant certaines portions de la surface. Supposons, par exemple, que, dans un parallélépipède rectangle, on supprime les six arêtes qui aboutissent à deux sommets opposés; il restera un hexagone gauche, par lequel on pourra faire passer une des surfaces définies par M. Schwarz; la portion de surface limitée par cet hexagone sera simplement connexe et ne contiendra aucun point singulier.

205. Un autre travail du même auteur, Fortgeselzte Untersuchangea iiber specielle Minimalflâchen, imprimé en 1872(2), contient l'étude détaillée et la solution complète d'un problème proposé en ces termes dès 18 16 par Gergonne (') :

(') Harrwitz und Gossiiiann ; in-4*, Berlin, 187 1.

(») Monatsbcrlchte der K. P. Akademie ; yAiw'iCT 1872.

(•) Annales de Gergonne, t. VII, p. 99.

43o LIVRE 111. — ClIAP. X,

Couper un cube en deux parties de telle manière que la section vienne se terminer aux diagonales im^erses de deux faces opposées et que l'aire de cette section terminée à la surface du cube soit un minimum. Donner en outre V équation de la courbe sui^^ant laquelle la surface coupante coupe chacune des autres faces de ce cube.

Fig. 21.

On trouve à la page i {8 du lome VII des Annales de Gergonne un essai sur ce problème du à Tédénat, recteur de TAcadémie de Nîmes, Tun des rédacteurs les plus assidus de ce Journal ; mais la solution proposée est inexacte. Le calcul des variations permet, en effet, d'établir que la surface cherchée doit couper à angle droit deux des faces latérales du cube, cl Thélicoïde considéré par Tédénat ne satisfait pas à cette condition.

M. Schwarz reprend le problème de Gergonne, ou plutôt il se propose de déterminer toutes les surfaces minima, parmi lesquelles doit se trouver la surface cherchée, qui passent par les deux diagonales inverses de deux faces opposées et qui coupent à angle droit deux autres faces opposées du cube. Le résultat obtenu est parliculièrement intéressant : de même qu'il y a une infinîté d'hélicoïdes gauches à plan directeur passant par deux droites données, il y a aussi une infinité de surfaces satisfaisant aux conditions que nous venons d'énoncer. Il n'est pas difficile de choisir parmi toutes ces surfaces celle dont l'aire est réellement un minimum.

Dans ce même travail, M. Schvvarz fait aussi connaître une extension, très digne de remarque, des résultats de Riemann et de

LK PROBLÈME DE PLATEAU. 43l

M. Wciersirass; il substitue au problème abordé par ces deux géomètres le suivant, qui est beaucoup plus général et se résout, comme nous le verrons, par l'emploi des mêmes principes :

On donne une chaîne continue fermée^ composée de segments rectilignes, ou de plans, ou de segments rectilignes et de plans; et Von propose de déterminer une surface minima, à connexion simple, ne contenant aucun point singulier dans son intérieur, limitée par les segments rectilignes et les plans de la chaîne et coupant ces derniers à angle droit.

Par exemple, si Ton considère {Jig- 22) [p. 437] doux tiges AB, AC réunies en A et appuyant leurs extrémités BetC contre une lame de verre, la surface que Ton obtient en plongeant le système entier dans le liquide glycérique s'appuie sur les tiges AB, AG et coupe normalement la lame de verre. Cette surface peut être étudiée et définie analytiquement par des méthodes toutes semblables à celles qui avaient été employées antérieurement dans le cas spécial des contours exclusivement composés de lignes droites.

Nous nous contenterons des indications précédentes et nous ferons maintenant connaître les principes sur lesquels reposent les recherches dont nous venons d'exposer les résultats, en négligeant les détails qui exigeraient beaucoup de développements et que l'on trouvera dans les Mémoires originaux.

266. Au Chapitre IV [p. Sog], nous avons signalé deux tracés géographiques différents de la surface minima. L'un d'eux est déterminé par la représentalion sphérique de la surface; si l'on adopte les coordonnées u, u^, si souvent employées dans les pages précédentes, la variable complexe u est l'afûxe d'un point réel de la sphère qui est l'image du point correspondant de la surface minima, et la représentation ainsi obtenue constitue, comme l'a montré M. O. Bonnet (n°202), un premier tracé géographique de la surface minima sur la sphère de rayon i. Si maintenant on introduit la variable complexe définie par l'équation

(i) ff = j^'x^{u)du,

et qu'on la représente sur le plan, on obtiendra un nouveau tracé

432 LIVRE III. — CIIAP. X.

géographique dans lequel, nous l'avons vu (n** 204), les lignes de courbure auront pour représentation des parallèles aux axes coordonnés, tandis que les lignes asymptotiques seront représentées par des parallèles aux bissectrices de ces axes.

La considération simultanée des deux représentations conformes précédentes joue un rôle capital dans les raisonnements qui vont suivre et conduit par une voie naturelle à la solution du problème proposé.

Si Ton découpe sur une surface minlma un segment limité (M), à connexion simple et ne contenant aucun point singulier dans son intérieur, l'intégrale o- sera, sous certaines conditions que nous indiquerons plus loin, une fonction uniforme a^^antune valeur finie et bien déterminée pour chaque point de (M). La représentation plane de cette portion de surface sera alors une aire plane, limitée, à connexion simple, qui pourra, dans certaines parties, se composer de plusieurs feuillets et qui se terminera à la courbe dont les points correspondent à ceux de la limite de (M). Or, si ron veut que (M) soit limitée par des droites ou par des plans qu^elle coupera normalement, les dijférentes portions du contour seront des lignes asymptotiques de la surface si elles sont des droites, ou des lignes de courbure si elles sont dans les plans que la surface doit couper normalement. Par conséquent, il leur correspondra, dans le tracé géographique plan, des parallèles aux axes coordonnés dans le second cas, et des parallèles aux bissectrices de ces axes dans le premier. Ainsi ce tracé géographique se composera d'une aire plane (S) limitée par des droites dont la direction au moins sera connue et qui se succéderont dans un ordre déterminé.

Éludions maintenant la représenlalion sphérique de (M). Elle se compose d'une aire (S), pouvant recouvrir plusieurs fois certaines parties de la sphère ; mais il résulte, comme nous le verroiïs, des hypothèses faites sur o- que cette aire (S) n'a aucun point de ramification dans son intérieur. Ici encore on peut déterminer la courbe hmite de (S). En effet, pour chaque portion de droite comprise dans le contour, la représentation sphérique sera un arc, plus ou moins étendu, du grand cercle dont le plan est perpendiculaire à cette droite. S'il y a, dans le contour considéré, des plans que la surface doit couper à angle droit, la courbe limite

de la surface située dans ce plan sera représentée sur la sphère par une portion du grand cercle dont le plan est parallèle au plan correspondant du contour. On voit donc que la représentation sphérique (S) du segment (M) sera limitée par des arcs de grands cercles dont la position sera connue et qui se succéderont dans un ordre parfaitement déterminé.

Les deux aires (S) et (S) constituent deux, représentations conformes de la surface (M). Si celle-ci était connue, il est clair que Ton pourrait obtenir une représentation directe et conforme de Taire sphérique (S) sur l'aire plane (S). Inversement, si l'on a pu déterminer directement ce tracé géographique de (S) sur (S), c'est-à-dire si l'on a exprimé o- en fonction de m, on aura

et, la fonction ^( a) étant ainsi connue pour toutes les valeurs de u qui correspondent aux diverses parties de (S), le segment (M) sera pleinement déterminé. Nous sommes donc ramenés à la solution du problème suivant :

Réaliser une représentation conforme d*une aire sphérique (S), limitée par des arcs de grands cercles, sur une aire plane (S), limitée par des droites.

Or, celte solution est contenue implicitement, au moins pour les cas les plus simples, dans les développements donnés au Chapitre IV du Livre II [p. 170]. On représentera les deux aires (S) et (S) sur la moitié supérieure du plan, ce qui donnera o- et u en fonction d'une variable t assujettie à la seule condition que sa partie imaginaire soit positive. Puis on portera ces valeurs de u et de 0- dans les formules de M. Weierstrass, où l'on aura remplacé ^ {m) par sa valeur tirée de la formule (2); ce qui donnera

I — m' (h^ 2 du

(3; \^ = '^J '-^dïl'

z = Afu

du

u et (7 étant des fonctions connues de la variable t.

D. — 1. aS

434 LIVRE III. — CUAP. X.

267. Nous allons indiquer différents exemples auxquels on peul appliquer la méthode précédente.

Proposons-nous d'abord de déterminer la surface minima (M), nécessairement infinie, limitée par deux droites quelconques. Construisons, sur la sphère de rayon i, les deux grands cercles COCO', DOD'O' se coupant en O, O', dont les plans sont perpendiculaires à ces droites; et soit oliz l'angle COD de ces deux cercles, égal à celui des deux droites. La surface cherchée (M) aura pour représentation sphérique une aire limitée par ces deux cercles. Choisissons, par exemple, pour cette aire, le fuseau OCO'D, d'angle oltz. Si l'on prend pour axe des z le diamètre O'O et pour plan des yz le plan ODO', l'origine des coordonnées étant toujours au centre de la sphère, le point O correspondra à la valeur zéro de la variable u et le tracé géographique du fuseau OCO'D sur la partie supérieure du plan sera déterminé par la formule

car on voit immédiatement que, lorsque l'argument de t varie entre o et?:, celui de u varie entre o et oltz.

Mais, il importe de le remarquer, on peut imaginer une infinité d'aires sphériques ayant les mêmes limites que le fuseau précédent; si l'on fait tourner, en effet, le demi-cercle ODO', dans tel sens que Ton voudra, autour de 00', en continuant indéiiniment le mouvement, il viendra périodiquement coïncider avec Tune des moitiés du second cercle OCO'C, et la /i»ènie coïncidence se produira après que ODO' aura fait n — i demi-révolutions.

L'aire sphérique ainsi engendrée par le demi-cercle se composera de plusieurs feuillets superposés et pourra recouvrir la sphère autant de fois qu'on le voudra; il sera évidemment permis de la substituer au fuseau précédent et de la considérer comme la représentation sphérique de la surface cherchée. On reconnaît d'ailleurs aisément que l'on embrasse tous les casque nous venons d'énumérer en augmentant a, dans la formule (4), d'un nombre entier quelconque, positif ou négatif, ou, ce qui est la même chose, en convenant de désigner par oltz une quelconque des déterminations de l'angle des deux droites données.

Examinons maintenant le second tracé géographique, la repré-

sentalion plane (S) de (M). Si l'on suppose que les deux droites qui limitent (M) appartiennent à un même système de lignes asymptotiques, cette représentation se composera d'une bande du plan comprise entre deux parallèles à une même bissectrice des axes coordonnés. Cette bande peut être considérée comme un quadrilatère dont deux angles opposés seraient égaux à ic, les deux autres étant nuls. Par suite, en appliquant la formule donnée au n° 132 et en remarquant que les angles nuls correspondent aux valeurs o, co de t, on aura

<j = Cc^A Ty =Ce'^log/.

Lorsque la variable t varie de o à oo,jrargument de <t doit être égal à -r ou à — 7 * ^^ choix est indifférent, par suite de la pré-

sence du radical \^{u) dans l'expression de <t. Posons (5) <j = Gtf '*Iog/.

On aura alors

G -if, a = — e ♦ logii,

et, par suite, en prenant la dérivée par rapport à i/.

au OU

^ au

K désignant une constante réelle. Nous retrouvons la valeur de ^{u) qui caractérise un hélicoïde gauche à plan directeur (no 196),

Mais, si l'on veut déterminer la constante C, il vaudra mieux substituer les valeurs de o* et de £/ en fonction de t dans les formules (3). On aura ainsi

Qt

Si Ton remplace ^par pe'^/p et 0 désignant le module et l'argument

436 LITKE III. — caAP. X

de /, h variera entre o et ^ el Ton aura

Les deux droites, parallèles au plan des xv, qui limitent la surface 'Ml correspondent aux valeurs o et tz de h. On a donc, en désignant par A leur plus courte distance,

et les formules ^3) prennent ici la forme détiniti\e

^ r. /» — /-» dt ^ il

1 ^ r t^-^ t--^ Ht ^ A . ,

où tout est connu. H suffira de donner à a toutes les valeurs de l'angle pour obtenir tous les liélicoïdes qui contiennent les deux droites.

268. Dans Texeinplc précédent, il y a une certaine indétermination, relativement au moins à la représentation sphérique; et celte même indétermination, qui se présente, comme nous Tavons indiqué, dans les solutions si étudiées données par M. Schwarz pour certains proVjlèmes particuliers, se reproduirait évidemment dans les problèmes plus compliqués que nous avons à examiner. Voici comment on pourra opérer lorsqu'on voudra, négligeant tous les cas possibles, obtenir, par exemple, la surface réellement minimum, celle qui est réalisée par les expériences de Plateau.

Proposons-nous, par exemple, de déterminer la surface (M) qui est limitée par deux droites AB, AC et qui coupe normalement un plan ^Vxi{Jig. 22). Soit BC la courbe inconnue suivant laquelle la surface cherchée coupe le plan MN. L'expérience apprend que cette courbe, qui se réduit à une droite quand le plan BAC est perpendiculaire au plan MN, n'a pas d'inflexion et est placée, par rapport à la droite BC, du même côté que la projection de A sur le plan MN. Les normales en A, B, C à (M) sont connues de

direction; car la normale en A est perpendiciilaîre au plan ABC, et la normale en B, par exemple, doit se trouver dans le plan MN et être perpendiculaire à AB. D'ailleurs le sens de la normale en A détermine celui des normales en B, C et, généralement, en tout point de (M). On voit donc que la surface (M) aura pour représentation sphérique un triangle sphérique dont les sommets seront parfaitement déterminés.

Fif». 22.

Considérons maintenant la représentation plane. Les lignes AB, AC auront pour images des parallèles aux bissectrices des axes coordonnés, tandis que la ligne de courbure BC sera représentée par une parallèle à Tun des axes. Il faut donc admettre que cette représentation est donnée par la surface d'un triangle rectangle isoscèle abc dont l'hypoténuse est parallèle à l'un des axes coordonnés.

Soient Xtt, [xt:, vtî les angles du triangle sphérique qui sert de représentation à (M). En conservant toutes les notations du n® 136 et en supposant que les sommets \ |x, v correspondent aux valeurs o, I, 00 de ^, nous aurons, pour déterminer la représentation de ce triangle sur la moitié supérieure du plan, la formule

Gw=

a, p, Y étant déterminés par les formules

p-Hi-Y = i(n-X-(x-v),

et le module ^CCq de G ayanl pour valeur

r(a-hi-Y)r(?-hi-Y)

Quant à la représentation plane, on l'obtiendra en appliquant la formule (i4) du n° 132 [p. 179] au triangle rectangle isoscèle. En supposant que le sommet "k corresponde au point de rencontre A des deux droites et, par conséquent, au sommet a de Tangle droit du triangle rectangle, il faudra faire dans cette formule

ce qui donnera

K étant une ronstante réelle afin que l'hypoténuse du triangle soit dirigée parallèlement à l'un des axes coordonnés.

L'exemple précédent, qui a été traité pour la première fois, comme nous l'avons indiqué (n° 2Gi), par M. Schwarz, a été, dans ces derniers temps, étudié d'une manière approfondie dans un intéressant travail de M, Ncovius (*).

269. On peut traiter de la même manière le cas, considéré par Riemann, où le contour est formé (y?^. 23) par une droite AB qui en rencontre deux autres AC, BC. Ici encore la représentation sphérique du segment (M) sera un triangle sphérîque. La représentation sphérique du point A sera située sur le rayon perpendiculaire à AB et à AG, la représentation sphérique de B sera située sur le rayon perpendiculaire à AB et à BG' et enfin la représentation sphérique du point situé à l'infini, soit sur AG, soit sur BG', sera située sur le rayon perpendiculaire à ces deux droites. Nous adoptons ici l'hypothèse la plus simple relativement à ce secteur

(*) Neovics, Bestimmung zweier speciellen periodischen Minimalflâchen auf welchen unendlich viele gerade Linien und unendlich viele ebene geodàtische Linien liegen. Hcisingfors, i883.

infini; il faut concevoir le segment (M) connrae étant limité par une droite CC qui rencontre AC etBC et s'éloigne indéfiniment. Quant à la représentation plane, elle sera évidemment formée d'une droite ab^ correspondante à AB, parallèle à l'une des bissectrices des axes, et de deux droites «c, bd perpendiculaires à ab. On peut envisager cette figure comme un triangle dont l'un des sommets s'est éloigné indéfiniment. Si l'on suppose que les valeurs

Fig. 23.

o, I, 00 de ^ correspondent respectivement aux points rt, b et c, c', la formule, déjà rappelée, du n** 132 nous donnera ici

K étant une constante réelle. Cette formule, jointe à celles qui définissent la représentation sphérique, déterminera la surface cherchée.

270. Il nous reste à étudier le plus important et le plus difficile des problèmes auxquels peut encore s'appliquer la méthode élémentaire précédente. Supposons que le contour donné soit formé par un quadrilatère gauche quelconque, ABCD. On aperçoit ici encore d'une manière très nette la représentation sphérique de la surface. Elle est formée par un quadrilatère sphérique dont les sommets sont parfaitement déterminés, et elle est la même que celle du paraboloïde hyperbolique passant par les quatre côtés du quadrilatère gauche ('). On peut toujours supposer (n® 128) que

(*) On peut signaler à ce sujet un rapprochement très curieux donné par M. Schwarz dans une des notes du Mémoire déjà cité : Bestimmung einer speciellen

440 LIVRE III. — CIIAP X.

les sommets consécutifs du quadrilatère correspondent aux valeurs

o, I , T5 > oc de ^, A: désignant une constante réelle plus petite que i .

D'après les méthodes développées aux n*** 134 et 13o, on obtiendra le tracé géographique sur la moitié supérieure du plan du quadrilatère sphérique qui est la représentation de (M) en posant

6i et 62 étant deux solutions particulières, convenablement choisies, dVne équation linéaire

dont les coefficients p et q doivent satisfaire à Tunique condition

j i/, f I ayant ici la valeur suivante

avec les relations

/il -h /ij-h A3 = o,

(i5) { i-a? ^ c-af , i-aj . . A

Dans ces formules, a^ir, a^Tt, agit, a^T: désignent les angles du quadrilatère qui correspondent respectivement aux sommets o, i,

Tjjoo; A«, A2, A3 sont des constantes arbitraires et inconnues

comme le module A-, assujetties uniquement à vérifier les relations (i5); il reste donc deux constantes arbitraires dont il faut fixer la valeur. Les théorèmes généraux établis par M. Schwarz

Minimal/lâche. Dans le cas ou le quadrilatère est régulier et a ses angles égaux à -^) la différence entre Taire du paraboloïdc et celle de la surface minima est

inférieure à ^ — de la valeur de l'une quelconque des aires; de plus, les deux surfaces sont tangentes Tune à l'autre au point central du quadrilatère.

LE PROBLÈME DE PLATEAU. 44l

permettent d'affirmer (n° 135) qu'il sera toujours possible de déterminer ces constantes de manière à obtenir eflectivement, par le quotient de deux solutions particulières convenablement choisies de l'équation (l'-i), la représentation cherchée du quadrilatère sphérique sur la partie supérieure du plan.

La représentation plane (S) du segment cherché (M) est évidemment limitée par les côtés d'un rectangle; on aura donc (n« 132)

(i6) <i = /He* * f ^ ^^-

H désignant une constante réelle.

271. On voit que la surface serait complètement déterminée par des quadratures si l'on savait intégrer l'équation linéaire (12)* Parmi les formes différentes que peut recevoir cette équation, nous signalerons la suivante.

Adoptons pour la fonction p, qui peut être choisie arbitrairement, une expression de la forme

On démontre aisément que les termes en -> : rr» -7— :t

pourront disparaître de l'expression de q, 11 suffit, pour cela, que Cl, ^2, ^3 satisfassent aux équations

(e, - I)* = aj, {et - i)« = aj, (^3-1)' = a.]. Si l'on prend, par exemple,

, X «1-4-1 fltj-HI f« «1-+- 1

(•7) p = -^ + -nn-^'^Tû^,^

on aura

(18) < ^^^""'^ t^kU^i)

{t i)(Xï/ — 1) t t—i k^t

L'équalion (12) peut donc se ramener à la forme suivante :

(19) /(i o(i-^"*0^ 4-(M/«-+-n^-hP)^ -+-(M'/-i-N')e = o,

qui a été Tobjct d*un grand nombre de recherches ; car elle est la plus simple de toutes les équations du second ordre, après l'équation de Gauss dont elle peut être considérée comme une généralisation (*). On n'a pu jusqu'ici l'intégrer que dans un petit nombre de cas particuliers; et même les résultats obtenus dans cette voie ne seraient pas toujours applicables à la question que nous avons à résoudre.

272. Si le quadrilatère gauche a un plan de symétrie passant par deux sommets opposés, la surface qui donne la solution du problème de Plateau devra nécessairement, si elle est unique comme il est naturel de l'admettre, avoir le même plan de symétrie que le quadrilatère et, [)ar conséquent, couper ce plan à angle droit. Par suite, si l'on se propose de déterminer seulement la portion de cette surface qui se trouve d'un côté déterminé de ce plan de symétrie, on sera ramené au problème que nous avons résolu précé-

(•) Si l'on prenait pour/? la valeur suivante

3/ o.^t — i) ^{kU — i)

on obtiendrait 1 équation nit^me donnée par Hieinann {Gesammelte Werke, p. 3o8). En substituant à ^ la \ariable u définie par Téquation

t - sn'a,

et qui ne diiïère de 9 que par un facteur constant, on donnera à cette équation la forme élégante

/ étant une constante arbitraire que l'on peut substituer à /i,. Dans un article inséré au t. XCIV (p. i6'p) des Comptes rendus, j'ai montré que cette équation peut être intégrée, par l'application des belles méthodes de M. Hermite, de la même manière que l'équation de Lamé, qu'elle comprend comme cas particulier,

toutes les fois que les nombres a, > a, > a. > a. sont entiers.

demment (n® 268). Telle est la méthode suivie par M. Schwarz dans les Mémoires que nous avons analysés.

273. Ici se terminent les applications que nous voulions donner de la méthode générale. Dans chaque cas particulier, nous avons obtenu les valeurs de t et de a en fonction de /; il suffira de porter ces valeurs dans la formule (3) et de donner à t toutes les valeurs dont la partie imaginaire est positive. Mais, pour compléter la théorie précédente, il nous reste à démontrer que la surface à laquelle on est ainsi conduit donne eflectivement la solution du problème proposé. Voici comment on peut établir ce résultat essentiel.

On reconnaîtra d'abord aisément que le segment de surface (M) n'a aucun point singulier dans son intérieur. Négligeons ce premier point, qui apparaîtra de la manière la plus claire dans une autre méthode que nous donnerons au Chapitre suivant, et qu'il est d'ailleurs très aisé de démontrer. Il suffira donc de prouver que la courbe limite du segment (M) se compose de droites et de courbes planes, et qu'elle peut être identifiée avec le contour donné a priori dans chaque cas particulier.

Pour le démontrer, nous donnerons à t les valeurs réelles, qui fournissent tous les points de la limite du segment, et nous supposerons d'abord que t varie seulement dans l'intervalle auquel doit correspondre une des droites {d) du contour.

D'après la détermination de o-, la portion considérée du contour, étant représentée sur le plan par une parallèle à Tune des bissectrices des axes, sera nécessairement une ligne asymptotique-, et, d'après la détermination de w, cette même portion du contour aura pour représentation sphérique un arc de grand cercle dont le plan sera perpendiculaire à la droite (r/). Or toute ligne asymptotique qui admet un grand cercle pour représentation sphérique est nécessairement une ligne droite : car les tangentes d'une ligne asymptotique sont perpendiculaires à celles de sa représentation sphérique; et, par conséquent, elles seront ici toutes perpendiculaires au plan du grand cercle. Ainsi cette portion du contour de la surface trouvée (M) sera une droite, parallèle à{d).

Considérons maintenant l'un des intervalles pour lesquels la

iii LiTtc m. — «:B%r. X.

p^^flîvfj 'J'j 'v^alour â'fli *« rom^-'.'rtr 4'un^ll^^t pl^n^ sîtaé^ dans un (/îsn P . D'aprr-i I4 détermination de t. celte p-rtion do contour aura fw^ar r*? présents lion plane une droite parallèle à l'iin des axe* f./Kyfdonné* et *era. par con arquent, une lirne de coorbure: d'après la \4lenr attribuée à f/. cette Urne de courbure aura ponr reff^^ent^ition *phérîque un arc du prànd cercle dont le plan est parallèle à P . Donc cette portion du contour de la sarface troovée sera bien une courbe plane située dans un plan que la surface coupera normalement et gui sera parallèle au plan • P .

On voit donc que. dans chaque cas particulier, la sarface minima obtenue sera limitée par une chaine composée de droites et de plan«. parallèles à ceux qui avaient été choisis a priori. Mais ici se présente une seconde question.

STi, \^% directions des droites et des plans qui composent le contour de la surface obtenue sont bien celles des droites et des plans de la chaîne donnée. Mais la solution ne contient plus qu'une constante arbitraire, celle qui entre en facteur dans 7 et qui est toujours réelle (R dans les premiers exemples, H dans le dernier •: et, par conséquent, elle ne peut donner que les surfaces limitées par un certain contour ou par tous les contours homothétiques. Or il est évident que deux chaînes, telles que celles considérées par M. Schwarz, ne sont pas nécessairement identiques ou homolhétiques dès qu'elles sont composées dVIéments parallèles. Supposons, pour fî\er les idées, que le contour ne se compose que de droites dont la direction soit connue. Le théorème des projections donnera seulement trois relations entre les longueurs des cotés. Si le nombre de ceux-ci est supérieur à 4» si Ton a par exemple un hexagone, il y aura une infinité d'hexagones non homothétiques dont les côtés seront parallèles.

On voit donc que les hypothèses faites précédemment sur la surface cherchée sont trop limitatives. Alors même qu'elles pourraient être maintenues dans tous les cas, elles ne donneraient la solution du problème que pour des contours spéciaux. Elles pourront être acceptées et donneront certainement une solution du problème quand la forme de la chaîne sera déterminée par la direction de ses éléments : c^est ce qui a lieu dans tous les exemples précédents; mais, dans le cas où la direction des éléments

ne suffit plus à déterminer les rapports de leurs longueurs, elles seront trop spéciales et ne pourront conduire à des solutions générales. 11 faut donc reprendre la solution du problème, examiner la signification des différentes hypothèses que nous avons faites et rechercher celles de ces hypothèses auxquelles il faut renoncer.

273. Nous avons admis que l'intégrale a o\x J\/i^{u)du est une fonction finie et uniforme dans toute l'étendue du segment (M) que Ton veut déterminer. Nous allons voir que, même en excluant le cas où la surface (M) aurait des points singuliers, il faut admettre qu'il peut exister des points particuliers du segment (M) qui seront des points critiques de cette intégrale; en sorte qu'elle cessera d'être uniforme.

Imaginons, par exemple, trois plans, désignés par les numéros d'ordre i, 2, 3, se coupant suivant une droite {d) et formant ainsi six angles dièdres que nous supposerons égaux entre eux, ayant,

par suite, pour valeur commune *-• Construisons un segment de

droite terminé aux plans 1 et 2. Si l'on prend le symétrique de ce segment par rapport au plan 2, puis les symétriques des deux segments obtenus par rapport aux deux plans 1 et 3, on formera un hexagone gauche doué d'une certaine régularité, admettant la droite (rf) pour axe de symétrie ternaire. La surface minimu limitée par les côtés de cet hexagone jouira évidemment de la même propriété; elle sera normale en un point [x à la droite (c/), qui sera aussi pour elle un axe de symétrie ternaire. Par suite, si l'on porte l'origine des coordonnées au point [jl en prenant la droite (rf) pour axe des -3, il sera impossible que le développement de z suivant les puissances de ^ et de ^ commence aux termes du second degré, aucune surface du second degré à courbures opposées n'ayant un axe de symétrie ternaire. Il n'est pas impossible, au contraire, que le développement de z commence aux termes du troisième degré. Le point [jl ne cessera pas d'être simple, mais l'équation différentielle des lignes de courbure et celle des lignes asymptotiques s'y présenteront sous une forme indéterminée.

276. Il faut donc considérer ces points pour lesquels l'équation

de la surface rapportée à des axes convenablement choisis prend la forme suivante

Oi(x^y) désignant un polynôme homogène de degré i, et n pouvant être supérieur à ?..

On verra facilement, en prenant les termes de degré moindre dans Téquation aux dérivées partielles des surfaces minima donnée au n° 176, que Ton doit avoir

En choisissant convenablement Taxe des x, on pourra donc prendre

a désignant une constante réelle. Posons (ai) ^-+-7* = î» x—yi=r^;

on aura

(lOÙis) Z= ^[{«-t.T,'»]-f-....

Les valeurs de u et de W| relatives à l'origine peuvent être supposées nulles. Pour reconnaître comment s'expriment u et S{u) dans le voisinage de ce point, on peut employer la méthode suivante.

L'une des lignes de longueur nulle passant par Torigine est représentée par les équations

(22) < T, = j 3{u)du,

I ^= / u^{u)du.

L'équation différentielle de cette ligne est d'ailleurs

el^ dr^ -h dz^ = o

OU, en remplaçant rfÇ, dr^ par leurs valeurs déduites des formules précédentes,

On tire de là, e désignant Tunité positive ou négative,

EM = — (aj"-» -+-. . .)"*-+- «TQ""* -^...,

ce qui donne pour u une valeur de la forme (23) M = aeT,"-* -+-. . .,

les termes négligés étant, par rapport à Ç, r^, de degré supérieur an — I. Si Ton porte cette valeur de u dans l'équation

on aura Téquation diflerentielle suivante

dfi

La valeur de \ qui satisfait à cette équation et s'annule pour Y, = o sera, comme on sait, de la forme

P(7|) désignant, suivant nos conventions, une série ordonnée suivant les puissances entières et positives de Tj et qui ne s'annule pas pour Tj = o. On déduit de là et de la formule (aS)

Pi(rj) ayant la même signification que P(/i). En résolvant par

rapport à Tj, on trouvera

Si l'on différentie maintenant cette équation, en remplaçant rfyj par sa valeur ^(w) du^ on aura

Telle esl la forme àe^{u) qui convient au point considéré; et il

448 LIVRE m. — cuAP. x.

est aisé de démontrer que, réciproquement, toute valeur de cette forme donne un point simple pour lequel le développement de z a la forme (20).

Faisons en effet

les formules du n*' 191 qui définissent la surface deviendront ici

x = {n — i)Sl f (i — i'*«-*)P3(>)e/r,

(28) ^ y = (n — i)S\ f i(i-hv^^-'')Pz{i')dv,

Comme P3(^) contient un terme constant, les valeurs de x et de y sont du premier degré par rapport à i^ et à sa conjuguée ^*|. On peut toujours les résoudre par rapport à (^ et à (^1 et porter les valeurs obtenues dans z\ les premiers termes de z seront bien du degré n en x et en j\

277. Imaginons maintenant que l'on ait représenté la surface cherchée (M) sur la moitié supérieure du plan (*). Soit t la variable complexe représentée sur la moitié supérieure du plan el soit a la valeur de t relative au point considéré de (M). Les coordonnées J7 et j^ de ce point seront déveioppables suivant les puissances de / — a et de la quantité conjuguée /| — ai ; et elles contiendront nécessairement les premières puissances de ces deux quantités. D'ailleurs, comme la variable r qui figure dans les formules (28) est le paramètre d'une ligne de longueur nulle, elle

(') Étant donnée une portion de surface quclron(|uc (M) à connexion simple, peut-on la représenter sur la partie supérieure du plan? La proposition qui résulte d'une réponse affirmative à cette question n'a pas encore été établie; mais nous croyons, avec M. Klein, (jue les recLercUes récentes relatives au principe de Dirichlet pourraient, sans trop de longueurs, en fournir une démonstration ri- {çoureuse. Dans le cas des surfaces mininia, elle a été énoncée dans les articles si souvent cités de M. Weierstrass, et l'on pourrait la faire dériver de l'existence et des propriétés de la représentation spliéri(|ue de la surface. Pour abréger, nous ra<Imcltrons ici.

sera fonction soit de t, soit de l^. En échangeant, si cela est nécessaire, la partie inférieure et la partie supérieure du plan, on peut toujours supposer v fonction de t. Cela posé, il faudra que,

des deux intégrales

qui entrent dans les expressions de x et de j^ et qui sont dévcloppables suivant les puissances de t — a, l'une contienne la première puissance de cette quantité. Ce sera évidemment celle qui est du degré le moins élevé, et l'on pourra poser

r V^{v)dv = {t — a)?{t — a).

En intégrant par rapport à (^ et en résolvant, on déduira de celte équation la valeur suivante de v

OU, en remplaçant v par sa valeur en fonction de //,

(29) u =(/ — a)"-»Pj(^ — a).

Comme on connaît déjà l'expression (aj) de S{u) en w, on conclura de l'équation précédente

ou, en substituant,

(30) /gy=(i a)«-«P5(<-a).

Telles sont les deux formules qui permettent de déterminer la forme de u et de o- dans le voisinage du point t = a. Il nous reste à indiquer les propriétés géométriques qui en résultent, et pour la représentation sphérique (S), et pour la représentation plane (2).

278. Désignons par a le point de (M) qui correspond à la valeur a de < et par et! sa représentation sur la sphère; soient u un point de la surface, très voisin de a, et |x' le point correspondant D. — I. 29

45o LIVRE III. — CHAP. X.

delà sphère. Lorsque le point [x décrit un petit cercle autour de a, Targument de / — a augmente de 2-. D'après la formule (29) l'argument de u augmentera de 2(/i — 1)7: et, par conséquent, le point [jl' fera n — i tours autour de a'. On voit que le point a' sera un point de ramification, d'ordre n — !i, de la surface de Riemann qui forme la représentation sphérique de (M). Aussi, dans la suite, donnerons-nous aux points tels que a le nom de points de ramification d^ ordre n — 2 (*). Si le point a se trouve sur le contour de (M), le point [jl de la surface, situé dans l'intérieur de l'aire, ne pourra faire qu'un dcmi-lour autour de a, et cela quand on passera de la partie du contour qui précède a à celle qui le suit. Alors le point correspondant de la sphère fera seulement n — i demi-tours.

Supposons d'ahord n égal à 3 ou, plus généralement, n impair. Lorsque le point [jl parcourt celte portion du contour qui est voisine de a, le point [jl' parcourt un arc de grand cercle passant par le point correspondant a'. Si le point [x décrit à l'intérieur de (M) un demi-cercle, en passant de hi partie du contour qui précède a à celle qui le suit, le point jx' décrira un nombre entier de tours, et reviendra, par conséquent, sur la partie de l'arc de cercle qui précède a'. Il y aura donc un rebrousse ment dans le mouvement de |jl' sur l'arc de cercle. Si la portion considérée du contour de (M) est rcctiligne, cela signifie que la normale à la surface, après avoir tourné dans un sens bien déterminé et toujours le même autour de la droite, commencera à tourner eu sens contraire. Si cette partie du contour est une ligne de courbure plane, le mouvement de la tangente changera de sens et l'on passera par un point d'inilexion.

Supposons, au contraire, n pair; il y aura un s\m\ÀQ stationnement dans la rotation de la normale si le contour est rcctiligne, et un sommet de la courbe si le contour est une ligne de courbure plane.

279. Relativement à la représentation plane (S) définie par la

(*) lUemann s'est borné à considérer le cas où n = 3, en indiquant que les points les plus généraux peuvent être formés par la réunion de plusieurs de ces points particuliers.

fonction 7, on peut obtenir des conclusions tout aussi précises. Si n est impair et si le point a est dans l'intérieur de l'aire, on aura, d'après la formule (3o), un point critique t = a pour l'intégrale 0". Par conséquent, cette intégrale sera multiforme, et la représentation plane se composera d'une série de portions se reproduisant périodiquement. On voit ainsi que l'hypothèse d'une représentation plane parfaitement limitée ne saurait com^enir à tous les cas. Si le pointa est sur le contour de Taire, la fonction 0" cessera d'être multiforme, mais son argument augmentera de

Tzl 1 j lorsque t passera par la valeur a. Par conséquent, la

portion du contour de (M) sur laquelle se trouve le point a, au lieu d'être représentée par une seule droite, le sera par dcu\ segments perpendiculaires l'un à l'autre.

Supposons, au contraire, n pair. Si le point a est dans l'intérieur de l'aire, la représentation plane (S) admettra un point

de ramification d'ordre i. Si le point a est sur le contour, il

y aura simplement un stationnement ou un rebroussement sur la ligne droite parcourue par le point de (2).

280. 11 nous reste maintenant à examiner les modifications, d'ailleurs très simples, qu'il faudra faire subir à la méthode générale par laquelle nous avons déterminé les deux fonctions u et o-. Si l'on reprend la suite de raisonnements développée au Chapitre IV du Livre II, et si l'on tient compte des singularités qui résultent pour u et pour o- de la présence des points de ramification, on verra que chaque point de ramification d'ordre n — 2

introduira simplement dans (-n) le facteur

(ao étant la quantité conjuguée de a), s'il est situé dans l'intérieur de l'aire, ou le facteur

s'il est situé sur le contour et si, par conséquent, a est réel. D'ailleurs le degré total ^e f ^ j devra toujours être égal à — 4

452 LIVRB m. — CIIAP. X. — LB PROBLÊME DE PLATEAU.

lorsque la valeur t = x> ne correspondra ni à un sommet, nî à un point de ramification.

Pour déterminer la fonction w, il faudra ajouter à l'expression de {w, ^j, donnée au n" 131, des termes tels que les suivants

1 I — (w — i)* h I I — (n — i)* An

si le point de ramification est dans l'intérieur de (M), et seulement la moitié de ces termes

I \ — (n — iy h

si le point se trouve sur le contour. Quant aux angles du polygone sphérique et aux valeurs de /?, on les déterminera dans chaque cas en se faisant une idée de la forme de la surface cherchée, c'està-dire en résolvant, pour éviter des tâtonnements, un problème plus ou moins difficile de géométrie de situation. On pourra étudier à ce point de vue l'exemple donné au n® 273 : si l'on veut déterminer la représentation sphérique de la surface, on peut hésiter entre deux hexagones; mais on reconnaît aisément, et de différentes manières, qu'il faut choisir celui qui fait deux fois le tour de la sphère.

Nous ne développerons pas davantage la méthode précédente (jui présente encore des lacunes et qu'il n'est nécessaire d'employer que pour un seul des exemples traités par Riemann, le troisième de ceux qui sont signalés au n" 262. Dans le Chapitre suivant, nous allons proposer une autre solution, qui se rapproche peut-être de celle de M. Weierstrass, et qui repose dans tous les cas sur de belles formules ducs à cet illustre géomètre.