SURFACES INSCRITES DANS UNE DÉ VELO PPABLE

donc que Ton ait

dYx H — - = o ou

dyx dvx

(a6) xx — —^

ds dz

Celle formule si simple résoul complètement le problème proposé; on choisira arbitrairement^!, et elle donnera o^i.

Si Ton fait, en particulier, Xx =^'i = o, on retrouve la solution particulière, donnée au n** 258. On pourrait aussi prendre x^ = o, yx =:= A", A* désignant une constante quelconque, ce qui donnerait une solution particulière nouvelle, un peu plus générale que la précédente ; mais il est préférable de résoudre l'équation (26) par de simples constructions géométriques.

Pour cela, nous construirons, d'une manière quelconque, une surface réglée (K') dont les génératrices soient perpendiculaires aux plans tangents de (A), et nous mènerons le plan perpendiculaire à chacune des génératrices de (K.') en son point central. Les différents plans ainsi obtenus envelopperont une développable (A') pour laquelle on aura évidemment une solution du problème proposé, fournie par la surface réglée (K.'). Comme les angles de contingence et de torsion sont les mêmes pour les arêtes de rebroussement de (A) et de (A'), la solution fournie par (K!) relativement à (A') fera connaître les fonctions les plus générales Xx, y^ vérifiant Téquation (26). Il suffira donc, pour avoir la solutior générale du problème posé, de construire la surface (K) dont chaque génératrice a, par rapport au trièdre (T), relatif à un point de l'arête de rebroussement de (A), la même position que la génératrice correspondante de (K') par rapport au trièdre (T') dont les arêtes sont parallèles à celles de (T) et qui est relatif au point correspondant de l'arête de rebroussement de (A'). En d'autres termes, pour avoir la droite de (K), il faudra imprimer à la droite de (K') une translation égale à celle qui amènerait le trièdre (T') en coïncidence avec le trièdre (T).