Reprenons les équations du n

T = cj\^ I ( I — u-)^(u) du, (I) I J = -^il fi{i'r-u^)HiOdu.

Z = r'i{ I -211^ (il) du,

qui définissent une surface minima réelle, et supposons que Pou substitue à la variable indépendante u une fonction quelconque t de u. Si Ton veut étudier, par exemple, une portion limitée de la surface, à connexion simple, et si on la suppose représentée sur la partie supérieure du plan, t pourra être Taffixe du point du plan qui correspond au point de la surface; mais, pour le moment, nous supposerons que la nouvelle variable / ait été choisie d'une manière quelconque. Cela posé, si Ton introduit les notalions nouvelles

^^^ " = ""ïïI7/ rf{u)du = -^i\\\t)dt.

ÎM LITKE III. — CH%P. XI.

les équations ' i • prendront la forme suivante

qui a été donnée par M. Weierstrass ■ • ».

Des formules 2^ qui ser\enlde détinition à H(/ i et à Gi / i. on déduit les suivantes

HG' Gir et

t \a t riiti . /7«î = n HG— GH^^f^

(V cl }V désignant les dérivées de G et de H par rapport à /. Par suite, la fonction ? définie dans le Chapitre précédent aura ici pour r'x pression

l'équation différentielle des lignes asvmptotiques (n® 197) deviendra

n'y) AiiUG'—GUfdti=o,

et celle des lignes de courbure sera, de même,

(-;) i\inG'-rAi')dr' = o.

Nous allons maintenant chercher comment se transforment, avec les notations nouvelles, les équations relatives à un déplacement de la surface ou ù un changement d'axes coordonnés.

28î2. Reprenons les formules, données aux n°* 198, 199,

(H) M = - -, ljiç)= .f{u) :

nia— HttV (.'Wo — /lo*';

(') Monatsbericlite der K, P, Akademie, p. G12 et suiv. ; 1866.

qui définissent le déplacement. On peut écrire la seconde sous la

Si Ton désigne par G|(^), ili{t) les valeurs nouvelles de G(^), H(^), c'est-à-dire les valeurs de ces fonctions relatives à la surface déplacée, on aura, d'après la définition même de ces quantités,

(10) p = gL^, CJ(ç)di> = ^iU\{t)dt.

En portant ces valeurs dans la première équation (8) et dans l'équation (9), on trouvera

G(/) __ mGi(n— nHi(0 oHî(OH}(0

nî(0 =

[molU(t)-{~noGat)V ou, plus simplement,