G(0 = ^G,(/)-^ 11,(0, (II

iii(0 = ^.G,(0-^^°ni(0,

le radical ^ pouvant être pris, soit avec le signe +, soit avec le signe — . Ce double signe devait naturellement se présenter; car la forme (3) donnée aux équations qui définissent la surface n'est pas altérée si l'on change à la fois le signe de H et celui de G.

Gomme S désigne, dans les formules précédentes (n° 198), le déterminant

on voit que le déterminant de la substitution linéaire définie par les formules (11) est toujours égala l'unité. De là résulte le théorème suivant :

Un déplacement de la sur/ace minima, ou plutôt un déplacement de la courbe minima définie par les équations

(12) x = if{G^—\\^)dty y = J\G^^U^)dt, z = J\iGUdt,

se traduit par une substitution linéairCy au déterminant +1» effectuée sur G(^) et\\{t)^ H| et G< désignant les nouvelles valeurs de 1^ et de O y on a

ii(o=-^:g,(o+'-;;^h,(o;

si le déplacement est réel, m^ et fiq sont respectivement les imaginaires conjuguées de m et de n,

283. La proposition si simple que nous venons d'établir conduit immédiatement à une conséquence importante. Formons l'équation du second ordre

qui admet comme solutions particulières les deux fonctions G(/) et li{t); il résulte du théorème précédent que cette équation demeurera la même lorsqu'on déplacera la surface d'une manière quelconque dans Tespace. 11 est donc naturel de se proposer la question suivante :

Considérons une équation linéaire du second ordre donnée a prioriy et prenons pour G(^) et H(/) deux solutions particulières quelconques de cette équation. On aura ainsi une infinité de surfaces minima qui dépendront de quatre constantes arbitraires, pouvant être imaginaires. Nous dirons que ces surfaces forment une m^me famille. Peut-on passer d'une de ces surfaces à toute autre par un simple déplacement? Ou, s'il n'en est pas ainsi, quelles sont les relations géométriques entre les différentes surfaces de la même famille?

Pour répondre à cette question, il suffit de remarquer que Ton passe d'une des surfaces à toute autre de la même famille en effectuant sur G et H la substitution linéaire la plus générale. Or une telle substitution résulte toujours de la composition des deux suivantes

G = aG,, II = aHi

et

OÙ a et a désignent des quanlilés réelles, avec une substitution quelconque au déterminant + i.

La première de ces trois substitutions définit une transformation homolhétique à pôle et à module réel, suivie, si Ton veut, d'une translation. Elle aura donc pour effet de remplacer la surface minima par une surface liomothétiquc.

La seconde définit une transformation liomothétique à pôle réel et à module imaginaire; en sorte que les modules des deux transformations appliquées aux deux courbes minima dont la translation engendre la surface sont imaginaires conjugués. Si Ton se reporte au commencement du Chapitre V, on reconnaît immédiatement que les surfaces obtenues sont les surfaces associées à la surface primitive. On aura, en particulier, la surface adjointe si l'on prend

(i4) G, =/rG, n, = /7H.

Enfin la substitution au déterminant + i définit un déplacement qui est généralement imaginaire.

En réunissant les résultats précédents, nous obtenons la réponse suivante à la question proposée.

Toutes les surfaces réelles d'une même famille se déduisent de Tune d'elles par l'emploi des deux opérations suivantes : transformations homothétiques à pôle réel et à modules imaginaires conjugués, appliquées respectivement aux deux courbes minima dont la translation engendre la surface; déplacements imaginaires conjugués respectivement appliqués à ces deux courbes. La première de ces opérations donne les surfaces homothétiques des surfaces associées à la proposée. Quant à la seconde, elle n'a pas encore été étudiée avec tout le soin qu'elle paraît mériter. En général, l'étude des surfaces minima cjui correspondent à une môme équation linéaire du second ordre présenterait, au point de vue analytique aussi bien qu'au point de vue géométrique, un très grand intérêt.

28i. Nous venons de voir qu'un déplacement de la surface se traduit par une substitution linéaire, au déterminant -|- i , effectuée sur G et H; on reconnaît aisément que l'opération plus complexe par laquelle, après avoir déplacé la surface, on prend sa symétrique

par rapport à un plan, se traduit de même par la substitution, au déterminant — i ,

jn(/)^-^^G,(r)-^|H|(o,

où //?o, /io ^ont les conjuguées de ni et de /i quand la transformation est réelle.

Pour obtenir, en effet, par rapport à un plan donné (P), la symétrique (F| ') d'une figure (F) que l'on a déplacée d'abord d'une manière quelconque, on peut évidemment prendre la symétrique (F') de (F) par rapport à un plan particulier et soumettre ensuite (F') à un déplacement convenablement choisi. Or, si l'on effectue ici la transformation

la coordonnée :; de la surface change seule de signe; et cetle surface est remplacée par sa symétrique relativement au plan des xy. Si Ton applique ensuite à G2 et à H2 les transformations qui caractérisent un déplacement réel, on obtient effectivement la substitution, de déterminant — i, définie par les formules (i 5).

Nous aurons à employer dans la suite les formes canoniques, des substitutions linéaires (11) et (i5);on les obtient sans difficuhé de la manière suivante.

Nous avons déjà remarqué que, si l'on considère la rotation définie par la substitution linéaire

niv -h n u =

et si Ton prend pour axe des z Taxe de cette rotation, on doit faire

n = /to= o, m = e * , ruo — e *,

a désignant Tangle de la rotation. Si Ton introduit ces hypothèses dans les formules (11) et (i*)), on trouvera

G(/) = E^~'5"Gi(0, !!(/) = £c'« H,(/),

LKS FOnULLES D K M. W EIERSTR ASS. \5ç)

pour la forme canonique de la substitution (i i), et

pour la forme canonique de la substitution (i5). Dans ces deux systèmes de formules, e désigne l'unité positive ou négative. Les dernières mettent en évidence le théorème suivant, auquel on parvient aussi par la Géométrie : Tout déplacement suivi d'une transformation par symétrie relative à un plan quelconque équivaut à une rotation d'angle fini autour d'une droite, suivie d'une transformation par symétrie relative à un plan perpendiculaire ù la droite.

28o. Nous allons appliquer les remarques précédentes à la résolution du problème étudié dans le Chapitre précédent, c'està-dire a la détermination du segment de surface mini ma (M) limité par la chaîne de plans et de droites qui a été déjà définie; mais nous présenterons d'abord la remarque suivante, qui simplifiera la solution.

Imaginons le segment de surface (N), adjoint à (M), et cherchons comment il sera limité. D'après les propriétés données au Chapitre V (n** 211), les plans tangents aux points correspondants des deux segments seront parallèles, et deux éléments correspondants seront toujours perpendiculaires. Il suit de là qu'à une droite (rf)limitant (M) correspondra nécessairement sur (N) une courbe ) dont les tangentes seront perpendiculaires à la droite. La courbe (C) sera donc située dans un plan(P) perpendiculaire à la droite*, et le plan tangent à (N) en chaque point de cette courbe sera nécessairement parallèle à la droite (d), c'est-à-dire perpendiculaire au plan (P). Ainsi, à chaque droite (r/), limite de (M), correspond une courbe plane (C), limite de (N); et cette courbe est située dans un plan que la surface doit couper normalement.

On démontrera tout aussi facilement qu'à chaque courbe plane, limite de (M), correspond une droite, limite de (N); et Ton peut énoncer la proposition suivante :

Le segment adjoint (N) est limité par une chaîne toute pa^

46o LIVRE III. — Cil A P. XI.

reille à celle qui limite (M) ; deux éléments correspondants des deux chaînes sont toujours d^ espèce différente et sont perpendiculaires Vun à Vautre.

Cela pose, considérons la représentation conforme du segment (M) sur la partie supérieure du plan ; et prenons maintenant pour t la variable complexe qui réalise cette transformation, c'eslù-dire Taffixe du point de la partie supérieure du plan qui correspond au point de la surface; G(^) et H(^) seront alors des fonctions qu'il faudra déterminer, au moins pour toutes les valeurs de t dont la partie imaginaire est positive. Nous avons vu que, si l'on passe au segment adjoint (N), il faut les multiplier l'une et l'autre

par y/7.

Formons l'équation du second ordre

à laquelle satisfont G et H. Les coefficienls p et q sont des fonctions de t délerminées par les formules

'^ ^" GH'-^HG' ^ " GIl— IIG'"'

D'après les remarques précédentes, ces fonctions nouvelles ne changent pas lorsqu'on déplace la surface (M), ou lorsqu'on la remplace par son adjointe. Ces propriétés sont très importantes au point de vue de la question que nous avons à résoudre; elles permettent de substituer, avec de grands avantages, l'élude des fonctions/? et q à celle de G et de H; on pourra, en effet, dans Tétude de/? et de q^ orienter le contour donné de la manière qui sera le plus commode, ou encore substituer au segment (M) le segment adjoint (N ).

28G. Prenons d'abord un point à l'intérieur de (M), correspondant à une valeur imaginaire a de t. On peut choisir ce point pour origine et prendre pour axe des z la normale en ce point; les coordonnées .r, 7*, z d'un point voisin de la surface seront développables suivant les puissances de ^ — a et de la quantité conjuguée t^ — «I ; elles premières puissances de ces deux binômes

LKS FORMULES DE M. WËIERSTRASS. 46l

devront apparaître clans l'un au moins de ces développements. Par suite, les Irois intégrales

f G^t)dt, f G(t)U{t)dt, f n^{t)dt

seront développables suivant les puissances entières de ^ — a^ et l'un des deux développements au moins devra contenir la première ))uissance de t — a. Comme la variable u doit être nulle ou infinie à l'origine, d'après la direction attribuée à Taxe des Zy il résulte de l'expression (2) de w que l'une des fonctions G(/), H(/) sera infiniment petite par rapport à Tautre. Soit, pour fixer les idées, H(^) celle dont le degré est le moins élevé. La dernière des trois intégrales précédentes sera celle qui aura le moindre degré et qui contiendra, par conséquent, la première puissance de l — a. On j)Ourra donc écrire

^{t)dt = {t — a)V{t — a)j

ou, en différentiant,

V ayant la signification que nous lui avons toujours donnée, c'està-dire représentant une série ordonnée suivant les puissances positives de / — a et ne s'annulant pas pour t-= a. Quant à G(^), il sera déterminé par la formule

d'où l'on déduira, par la diflerentiation et la substitution de la valeur de H,

n étant un nombre entier au moins égal à 2.

D'après ces développements, on voit que le point f = a est nécessairement un point ordinaire de l'équation linéaire toutes les fois que n est égal à 2. Si /i est égal ou supérieur à 3, ce sera au contraire un point à apparence singulière. Le point correspondant du segment (M) sera alors un de ceux auxquels nous

462 LIVRE in. — cil A p. XI.

avons donné (n" 278) le nom de points de ramification. En réunissant les deux cas, nous pouvons énoncer cette première proposition :

IJ équation linéaire n\nira que des points ordinaires ou des points à apparence singulière pour toutes les valeurs de t qui sont représentées par des points de la partie supérieure du plan.

Si, des expressions de G et de H, on déduit celles de p et de q^ on trouvera

les coeflîcients A, A, B, ... pouvaut être nuls. On aura de même, en substituant les valeurs de G et de II dans les équations

(2) et(5),

( 19a) u =(t-a)n-i V{t- a). ^.-^^y = {t- ay-^ V{t -a).

287. Examinons maintenant les points situés sur le contour de (M), et supposons d'abord que la portion du contour considérée soit une droite (rf). Choisissons les axes de telle manière que (d) soit parallèle à Taxe des r. Si l'on se déplace sur la droite, / prendra des valeurs réelles comprises entre les deux valeurs «a? û^A+i qui correspondent aux deux sommets du contour situés sur (rf), et les différentielles dx, dz devront être nulles. On sera ainsi conduit aux deux équations

(^li(G2 - IIî; = o, SXiGM = o,

ou, en désignant par G| et II| les imaginaires conjuguées de G cl

de H,

G« — H* = G2 — Hf,

GH = GiH,.

On déduit de là l'un des svstèmes

G = eGi, ( G= — Et'Hi,

II = aH„ 1 11= eiGi,

LES FORMULES DE Al. WEIERSTRASS. .|63

OÙ € désigne l'unité, positive ou négative. Le second doit être écarté; car il conduirait à Téquation impossible

GG, -T-HHi = o,

et d'ailleurs il donnerait dy = o. 11 reste donc seulement le premier, d'où Ton conclut que les quantités

< 1 — -\iT. ( 1— e ) iT,

sont égales à leurs conjuguées et sont, par conséquent y réelles. Ainsi Téquation linéaire doit admettre, pour toutes les valeurs réelles de t comprises entre Ok et o/^^x , deux solutions particulières réelles.

La même conclusion a lieu lorsque la partie considérée du contour est une des courbes planes situées dans les plans que la surface doit couper normalement; car il suffit alors (n" 285), pour retrouver le cas précédent, de passer à la surface adjointe et de

remplacer G, H par Gy /, \\\-i. On est ainsi conduit à la règle suivante :

Si la portion considérée du contour est une droite, suppo^sons que l'axe des j' ait été choisi parallèle à cette droite; si elle est une courbe plane, supposons que l'axe des y soit perpendiculaire au plan de cette courbe ; et soient G(^), H(/) les solutions particulières relatives à cette position des axes coordonnés. Les intégrales

e *G(0. e MI(0

seront réelles sur toute la partie considérée du contour, n étant un nombre entier, qui sera pair si la portion du contour est rectiligne et impair si elle est simplement plane.

Il suit de là que, si Ton considère une chaîne composée de .v éléments et si Ton désigne par a», a^t . . ., fl', les valeurs de t relatives aux divers sommets de cette chaîne, l'équation linéaire admettra deux solutions particulières réelles pour chacun des intervalles («i^fa), (^2^3)1 •••? (^f-i^j)» («jooai), c'est-à-dire pour toutes les valeurs réelles de t. Donc les fonctions p et q de la variable t seront nécessairement réelles pour toutes les valeurs réelles de t.

404 LivRi-: m. — ciiai». xi.

288. On peut déduire des résultats précédents d'autres conséquences en adoptant la méthode de prolongement analytique due à Riemann et à M. Scliwarz et développée au n" 130. Nous avons vu que, si une fonction est déterminée pour la partie supérieure du plan et si elle est réelle pour des valeurs réelles de t^ elle peut être définie pour la partie inférieure du plan par la convention que les valeurs de la fonction relatives à deux, valeurs imaginaires conjuguées de t soient elles-mêmes imaginaires conjuguées.

Appliquons cette méthode aux deux intégrales

(|ui ont été reconnues réelles; mais supposons que Ton passe de la partie supérieure à la partie inférieure du plan, seulement en franchissant la portion de Taxe réel qui est comprise entre les deux points afij «a+i ^^ qui correspond à la portion spécialement considérée du contour. Nous allons montrer que le prolongement analytique des deux intégrales donne un segment de surface minima (M)[) qui est précisément le symétrique de (M) par rapport à la droite ou au plan de la chaîne; de plus, deux points des deux segments placés symétriquement par rapport à l'élément de la chaîne correspondent à des valeurs imaginaires conjuguées de t. Pour plus de netteté, supposons que cet élément de la chaîne soit une droite; alors on pourra poser

ni T

g et h étant réelles pour des valeurs réelles de t et n élant en lier. Le segment de surface qui correspond aux valeurs /| de ^ représentées dans la partie inférieure du plan sera défini par les formules

j ^== Af{-iYi[g''{fi)-h^{t,)]dt,, Si Ton change i en — i dans les expressions soumises au signe

LKS FORMULES DE M. WBIEHSTRASS. 4^^

rSl, ce qui ne change pas les parties réelles, on a

Ce sont les formules qui conviennent au segment (M), mais où Ton aurait changé le signe de x et de z. On obtient donc, comme nous Tavons annoncé, le segment symétrique de (M) par rapport à la droite considérée du contour.

Les intégrales ff{t)j li{t) de l'équation différentielle étant des fonctions linéaires connues des deux intégrales qui correspondent à une position déterminée, toujours la même, de (M) par rapport aux axes, on voit que ces deux intégrales peuvent être prolongées analytiquement ; mais il y aura autant de prolongements analytiques qu'il y a d'éléments au contour. Si l'on passe de la partie supérieure du plan à la partie inférieure en traversant le segment a^a<i de Taxe réel, on obtiendra un segment (MJ) symétrique dt* (M) par rapport au premier élément de la chaîne qui détermine le contour; si l'on traverse le segment ^2^3, on obtiendra le segment (MJ) symétrique de (M) par rapport au second élément de la chaîne, et ainsi de suites si l'on traverse enfin le dernier segment a^oo^t, on aura le segment (MJ) symétrique de (M) par rapport au 5'*^"® et dernier élément du contour. Dans tous ces segments, le point symétrique d'un même point de (M) correspond à une même valeur t^ de t, et cette valeur est imaginaire conjuguée de celle qui définit le point de (M).

On obtient ainsi s prolongements analytiques différents des fontions G(^), H(^); mais, comme ces prolongements donnent des segments tous symétriques de (M) et qui peuvent, par conséquent, se déduire les uns des autres, soit par des déplacements, soit par des déplacements suivis d'une transformation par symétrie relative à un plan, on doit conclure de la proposition du n** 282 que les divers systèmes de valeurs de G et de H ainsi définis s'obtiendront en combinant linéairement les va- D. — r. 3o

leurs de G et de H relatives à l'un quelconque d'entre eux (*). Par suite, l'équation linéaire (i6) demeurera la même pour tous ces segments, ou, ce qui est la même chose, les fonctions p et q ne peuvent être prolongées analytiquement que d'une seule manière. En d'autres termes, les /onctions p et q doivent être uniformes dans toute V étendue du plan. Elles sont réelles pour des valeurs réelles de /, et prennentdes valeurs imaginaires conjuguées lorsqu'on substitue à t des valeurs imaginaires conjuguées. Comme, d'après les propriétés du prolongement analytique (n° 130), les fonctions G et H ne cessent pas d'être développables en séries entières pour les différents points du contour qui ne sont pas des sommets, on voit qu'en dehors de ces sommets l'équation linéaire ne peut avoir que des points ordinaires, ou des points à apparence singulière-, et même, si Ton exclut l'hypothèse de points multiples de la surface situés sur le contour, une des intégrales particulières devra rester finie pour chacun de ces points.

En résumé, Véquation linéaire dont dépend la solution du problème doit avoir ses coefficients uniformes dans toute l'étendue du plan, et réels pour des valeurs réelles de t. Si l'on exclut les valeurs t = ak qui correspondent aux sommets du contour y elle ne peut avoir que des points à apparence singulière pour lesquels une des deux intégrales particulières demeure finie et différente de zéro.

(») S'il subsistait un doute sur ce point, on pourrait le lever de la manière suivante :

Nous avons vu que, pour chacun des intervalles (a^a^^,), il existe deux intégrales de l'équation linéaire qui sont réelles pour les valeurs réelles de t comprises dans l'intervalle et qui, par suite, prennent des valeurs imaginaires conjuguées pour des valeurs imaginaires conjuguées de t lorsqu'on les prolonge à travers l'intervalle (0404+,).

Il suit de là que l'on peut prolonger analytiquement deux intégrales quelconques de l'équation linéaire, et cela d'autant de manières qu'il y a d'intervalles diflférents. Chacun de ces prolongements donnera évideniment pour G(^,) et H(^ ), t^ étant imaginaire conjuguée de /,, des fonctions linéaires

des quantités G, et H, qui sont les imaginaires conjuguées de 0{t), H(/). P. suite, les différents systèmes de valeurs de G(/, ), H(^,) s'obtiendront en coi binant linéairement l'un quelconque d'entre eux.

Les points à apparence singulière pourront être réels; mais, s'ils sont imaginaires, ils seront placés symétriquement par rapport à Taxe réel.

289. Si le point correspondant à la valeur x de ^ n'est pas un des sommets de la chaîne qui limite le contour, il est aisé de reconnaître quelle sera la forme de /? et gr dans le domaine de Tinfini. Il suffit, pour cela, de faire la remarque suivante :

Soient t une variable quelconque et G{t), H(f) les deux fonctions qui déterminent la surface minima; si Ton substixue ù t une nouvelle variable t\ les nouvelles valeurs de G et de H seront

vs

D'après cela, si nous désignons par a une valeur réelle de / qui détermine un point ordinaire de l'équation différentielle, cette équation admettra deux solutions de la forme

si l'on effectue la substitution réelle

et si l'on applique la règle que nous venons d'énoncer, on trouvera les deux solutions

qui caractérisent le cas où le point t =z oc n'est ni un sommet du contour, ni un point à apparence singulière. En portant ces deux solutions dans les formules (17), on trouvera, pour les valeurs de p et de <7,

Il faut remarquer l'égalité des coefficients de -, dans p cl de -j dans q.

290. Il reste donc, pour terminer celte discussion, à examiner quelle est la forme des intégrales G, H et des coefficients/?, q dans le voisinage des valeurs t = ak qui correspondent aux sommets de la chaîne. On peut employer pour cela deux méthodes différentes. Voici la première :

Soit {Jig- ^î) ^ "" point compris dans la partie supérieure du plan, auquel correspond un point m de (M); soit /, le point svmétrique de / par rapport à Taxe réel. Si Ton passe de / à /, par

Fig. 04.

le chemin t%tx qui coupe Taxe entre «a eta^+i» on doit passer, sur la surface, du point m au point m^ qui estThomologue ou le symétrique de ni dans le segment (MJ). Si, au contraire, on suit le chemin /,3/, qui coupe Taxe réel entre a^-i et a*, on obtiendra le point ni-i symétrique de m dans le segment (MJ,). 11 suit de là que le lacet /| ^^a/| effectuera sur les deux intégrales particulières relatives au segment (MJ,) précisément la substitution linéaire par laquelle on passe de ce segment au suivant (Al^)*

Les deux formes canoniques de cette substitution ont été données au n** 284. Elles sont contenues dans les deux systèmes suivants

qui conviennent, le premier au cas où les deux éléments du contour qui se croisent au sommet a^ sont de même espèce, le second au cas où ces éléments sont d'espèce différente. On déduit immédiatement de là qu'il existe, pour le point critique Qk^ deux inté-

LES FORMULES DE M. WEIERSTRASS. ^Cyg

grales G et H telles que les produits

pour le premier cas, et

pour le second, soient des fonctions uniformes dans le domaine du point aif.

Comme les quadratures

fG^dt, fGUdt, fW^dt,

qui entrent dans les équations par lesquelles se détermine la surface, ne peuvent devenir infinies ou indéterminées dans le voisinage de la valeur a^, il est inadmissible que les fonctions uniformes auxquelles nous sommes conduits admettent le point a^ comme point singulier essentiel. Ce point ne peut être qu'un pôle et, par suite, V équation linéaire devra admettre deux intégrales régulières à exposants réels. On voit même que la somme des exposants de ces deux intégrales sera un nombre entier ou la moitié d^un nombre impair, suivant que les éléments du contour qui se réunissent au sommet considéré sont de même espèce ou d'espèce différente.

!291. On peut encore établir tous ces résultats en utilisant les deux représentations conformes de (M). Supposons seulement que la portion de (M) infiniment voisine du sommet an ait une représentation sphérique (S) et une représentation plane (S) parfaitement définies. Alors, en suivant la marche indiquée aux n**' 131 et 133 et appliquée déjà dans le Chapitre précédent, on reconnaît qu'avec des axes convenablement choisis la valeur de w, dans le voisinage du point t = ak, est

oL/iTz étant l'angle dont il faut faire tourner l'un des côtés du contour dans la représentation sphérique (S) pour l'appliquer sur le suivant, en restant toujours dans la surface de Riemann qui sert de représentation sphérique à (M). De même, dans la représenta-

47«» LIME III. — CHAP. \l.

tion plane 1 1; définie au Chapitre précédent, il faudra faire tourner

Fun des côtés du contour d^un angle n y pour l'appliquer sur le

suivant; n sera pair si les deux éléments consécutifs sont de même espèce, c'est-à-dire si les portions du contour qui se réunissent au sommet sont toutes deux des droites ou toutes deux des lignes de courbure planes; il sera impair dans le cas contraire. On aura donc

7 = it — an' P{ t — ai ..

Ces deux valeurs de tt et de t permettent de déterminer deux, intégrales particulières G(/ ) et H(/). On déduit en effet des formules ('i) et (5) les valeurs suivantes

dudt

de (i et de U. En y portant les développements en série obtenus pour 7 et pour w, on trouve les expressions

îP i

--ai).

— if

— Ol K

<[ui mettent en évidence la forme régulière de G et de H. II sera ])lus commode d'écrire par la suite

\ G = (t — ai.)^ ^V it-aj^L

I^ nouveau nombre entier /i^ se déterminera d'ailleurs comme l'ancien. Il sera pair si les deux côtés consécutifs du contour sont de même nature : nous dirons alors que le sommet considéré est de première espèce. Il sera impair si les deux côtés consécutifs sont de nature différente : nous dirons alors que le sommet est a'e seconde espèce.

Des expressions de G et de H, on déduit par les formules (17)

LES FORMULES DE M. \V E lERSTR AS8. 47'

celles de p et de q. On a ainsi

A, B, /lyt, A|, B|, ... étant des coefficients qui pourront elre nuls, mais sont évidemment réels.

292. Les formules précédentes dépendent de nombres entiers qu'il ne sera pas toujours facile de fixer a priori. Nous donnerons plus loin des relations auxquelles ils doivent satisfaire; mais il ne sera pas inutile de montrer comment on peut les déterminer immédiatement lorsqu'on a une idée nette et une vue générale de la surface cherchée.

D'abord a^^ sera déterminé sans anibiguïté si l'on aperçoit nettement la représentation sphérique de la surface.

En ce qui concerne /«a> remarquons d'abord que, si le sommet considéré est à distance finie, il faudra que les intégrales

/G«(/)rf/, f\\Ht)dt, fG(t)U(()df

demeurent finies pour < r= a/^ Cela donne la relation d'inégalité

- — ax-i-i^> o, 'À

qui devra toujours être vérifiée.

D'autre part, si l'on néglige les termes de degré supérieur, l'équation de la surface dans le voisinage du point a^^ est de la forme

A étant une constante quelconque réelle ou imaginaire. Par con séquent, lorsque la variable t décrira, dans la partie supérieure du plan, un demi-cercle infiniment petit autour du point «a, le point correspondant de la surface décrira un petit arc de cercle

^•yà LIVBK III. — CIIAP. XI.

égal à

Cet angle est donc celui dont tourne le rayon vecteur qui joint le point de la surface au sommet infiniment voisin quand on passe d'un côté du contour au suivant. Il est évidemment connu si Ton a une idée générale de la forme de la surface; sa valeur sufGra à déterminer fiff.

î293. Les formes de G, II, p, q étant déterminées dans le voisinage de tous les points du plan, il est aisé maintenant d'obtenir les expressions générales de p et de q. Désignons par la lettre b les valeurs de / qui correspondent aux points à apparence singulière réels et par /i', U les valeurs correspondantes de l'exposant et du coeflficient h qui figurent dans les formules (19). Désignons de même par les lettres c, C\ les valeurs de t imaginaires conjuguées correspondantes aux différents points à apparence singulière qui sont deux à deux imaginaires conjugués, et soient de même /i'^, A'', A", les valeurs de l'entier n et de la constante h relatives à ces points. D'après les résultats établis plus haut et les formules (19)) (2-\ les deux fonctions

^^~~ Zàt — (ik ~~ 2d t — b ~ 2d \t — c '" t — cj'

demeureront finies et continues pour toutes les valeurs finies de t\ elles deviennent d'ailleurs nulles, d'après les formules (22), pour / = X. Ces deux fonctions seront donc nulles pour toutes les valeurs de /, et l'on pourra poser

«ay)

p "^làT:^, -^2à-rru -^2à\T-c- -^ T^J

11 faudra de plus, pour que les fonctions p cl q admettent la forme (22) dans le domaine de Tinfini, que les constantes satisfassent aux équations

Telles sont les relations qui déterminent, autant que possible, Téquation linéaire; il faudra leur ajouter encore, pour chacun des points à apparence singulière, Téquation de condition, d'une formation facile, par laquelle on exprime que l'intégrale générale n<» contient pas de logarithmes, dans le voisinage de ce point.

29-4. L'équation dilTérenlielle une fois formée, le problème esl loin d'être résolu. Il y a encore à examiner deux questions très essentielles. Reprenons ces segments (M^), (M!J), ...,(M") qui sont les symétriques de (M) par rapport aux divers éléments de la chaîne; et soient, par exemple, G(<|), n(/|) les valeurs des intégrales qui correspondent au premier segment. Pour passer de ces valeurs à celles qui correspondent au second segment, il faut suivre un lacet qui, partant du point ti, pénétrera dans la partie supérieure du plan en passant entre ai et ^Tj, puis reviendra au point de départ en passant entre ^2 et ^3. On reviendra alors au point /| et les nouvelles valeurs de G et de II seront des fonctions linéaires des anciennes. Or ces nouvelles valeurs, nous l'avons déjà remarqué, sont connues a priori. On les obtiendrait en eflcctuant sur les intégrales primitives la substitution, au déterminant 4- i ou — I suivant les cas, par laquelle on peut passer directement du segment (M,) au segment (M!j).

Comme ce raisonnement peut s'appliquer à tous les lacets décrits autour des dilTérents points critiques, nous sommes conduits à la conclusion suivante :

Il ne suffira pas de sas^oir former r équation différentielle; il faudra encore exprimer que deux intégrales convenablement choisies subissent des modifications parfaitement déterminées lorsqu'on suit un chemin quelconque ramenant au point de départ.

Ce problème est pose depuis la publication des recherches récentes sur les équations linéaires, el il n*a encore reçu de solution que pour certains cas particuliers.

Quoi qu'il en soit, supposons résolue cette première diflîculté. Une énumération de constantes que Ton trouvera dans le Mémoire de Riemann, et que nous omettrons ici, montre facilement que l'on pourra disposer de celles de ces constantes qui demeurent arbitraires pour identifier le contour obtenu avec celui qui est donné a priori, c'est-à-dire que Ton aura autant d'équations que d'inconnues. Mais le problème qui consisterait à résoudre ces équations, ou à démontrer au moins qu'elles sont possibles, n'a pas été traité d'une manière générale et n'a été examiné par Riemann que dans un cas particulier, qui sera étudié plus loin au n" 307. Tous les exemples complètement achevés donnés dans le Chapitre précédent appartiennent, comme nous l'avons remarqué, à la classe de ceux* pour lesquels la forme du contour est entièrement définie par la direction des éléments.

295. On peut éclaircir encore les remarques précédentes en supposant donnée a /?rio/*/ l'équation linéaire (i6), dans laquelle p et q auront les valeurs déterminées par les formules ('^p), et en étudiant la famille de surfaces minima (n*' 283) définie par cette équation. Pour chacune des surfaces de cette famille, il existe un segment (M) correspondant aux valeurs de / dont la partie réelle est positive, segment parfaitement continu et limité par un contour dont la représentation sphérique (S) est formée par des arcs de grand cercle ou de petit cercle, se coupant consécutivement sous des angles déterminés. Cette dernière propriété a été déjà donnée au n® 135 pour une équation linéaire plus générale et résulte uniquement de ce que l'équation admet deux solutions particulières réelles dans chacun des intervalles réels déterminés par les points singuliers. Considérons maintenant la représentation

plane (2) définie par la formule

dt

Les portions du contour qui devraient élre des droites ont ici pour représentation des droites (o), toutes parallèles ou perpendiculaires les unes aux autres; il en est de même pour les portions du contour de (M) qui devraient être des lignes de courbure planes; elles ont pour représentation plane des droites (S') qui font avec les précédentes (o) des angles égaux à un multiple impair de 7« Si donc on a choisi arbitrairement deux solutions par-

ticulières, G et H, de l'équation linéaire, on pourra toujours, en les multipliant par une même constante, ce qui ne change pas leur rapport et ne modifie pas, par conséquent, la représentation sphérique de la surface minima correspondante, donner à la constante G qui figure dans la formule (3i) un argument tel que les droites (5') deviennent, toutes, parallèles aux axes coordonnés, tandis que les droites (o) seront parallèles aux bissectrices des mêmes axes. Alors toutes les portions du contour qui devaient être des droites seront au moins des lignes asymptotiques; toutes celles qui devaient être des lignes de courbure situées dans des plans coupant normalement la surface seront au moins des lignes de courbure.

Gomme les lignes asymptotiques qui figurent dans le contour ont pour représentation sphérique des arcs de cercle, elles seront, on le reconnaît aisément, des hélices tracées sur un cylindre quelconque si l'arc de cercle appartient à un petit cercle, et des droites si Tare appartient à un grand cercle (*). De même, les lignes de

(') D'après une proposition énoncée au n*» 142, les tangentes d'une ligne asyniptotique sont perpendiculaires aux tangentes correspondantes de la représentation sphérique de celte ligne. Il suit de là que, si une ligne as3'mptotiquc admet pour image sphérique un petit cercle de la sphère, ses tangentes seront parallèles aux génératrices reclilignes du cùne circonscrit à la sphère suivant ce cercle, cl feront, par conséquent, un angle constant avec le diamètre perpendiculaire au plan du cercle. La ligne asymptolique sera donc une hélice tracée sur un cylindre, d'ail-

courbure qui (Igurent dans le coolour seroat des lignes planes situées dans des plans coupant obliquement la surface si elles ont pour représentation sphérique un arc de petit cercle, et des lignes situées dans un plan normal à la surface si Tare qui leur sert de représentation appartient à un grand cercle, .\insi :

Parmi les surjaces de la famille définie par V équation linéaire, il en existe une infinité (qui dépendent de quatre paramètres réels) pour lesquelles le segment (M) est limité par des lignes asympto tiques hélicoïdales et des lignes de courbure planes se succédant suivant le même ordre que les droites et les plans qui composent le contour donné a priori.

La première question proposée dans le numéro précédent s'interprète donc géométriquement de la manière suivante :

Peut-on choisir deux solutions particulières G et H de l'équation linéaire de telle manière que la représentation sphérique du contour (M) de la surface correspondante soit composée exclusivement d'arcs de grand cercle?

Considérons une surface quelconque de la famille, correspondante à deux intégrales particulières déteririinées Cet H', et pour laquelle la représentation sphérique du contour sera un polvgone (P) composé d'arcs de petit cercle, polygone (P) que l'on saura construire si l'on a intégré l'équation linéaire. Si Ton pose

" = -ïï' " ^-ïf'

on aura évidemment

mu -- /i Ha; M = — ,

pu - q

m^ Uj p, q étant des constantes arbitraires et inconnues. I«a question proposée revient évidemment à la suivante : Peut-on, par l'emploi d'une transformation de la forme précédente, substituer au polygone (P') un autre polygone (P), exclusivement composé d'arcs de grands cercles?

leurs quelconque. Réciproquement, si la ligne asymptotîque est une hélice, sa représentation sphérique, on le reconnaît aisément, sera un petit cercle de la sphère.

Or la formule (82) définît ce que nous avons appelé, au n° 124, une transformation circulaire ^ c'est-à-dire une transformation qui résulte d'un nombre pair d^inversions et dans laquelle, à un cercle, correspond un cercle. Pour qu'une telle transformation fasse correspondre au polygone (P) un polygone (P) exclusivement composé d'arcs de grand cercle, il faut et il suffit, comme on sait, que tous les petits cercles qui forment les côtés de (P') soient orthogonaux à un même cercle, qui sera nécessairement imaginaire. On aura ainsi autant de conditions à écrire qu'il y aura de côtés moins 3. Ces conditions seront nécessairement transcendantes; mais, d'après les recherches de M. Schwarz relatives au principe de Dirichlet, elles peuvent toujours être résolues et permettront de déterminer un nombre égal de constantes.

Cette première difficulté une fois levée, on obtiendra cfiectivement des surfaces minima limitées par des contours dont les éléments seront parallèles aux éléments correspondants du contour donné a priori; et il faudra disposer des constantes restées arbitraires pour rendre l'un de ces contours superposable au contour donné. Cette dernière question est celle dont l'étude générale n'a pas encore été entreprise.

On remarquera les caractères distinctifs de la méthode employée dans ce Chapitre. Les propriétés relatives aux deux représentations conformes de la surface n'y interviennent que d'une manière accessoire, et auraient même pu être complètement supprimées.

iyS LIVRE III. — CHAP. XII.