CHAPITRE III

l'équation d'euler et de poisson.

Indications historiques. — Forme réduite de l'équation à étudier. — Cas particulier où les deux constantes p, p' qui y figurent deviennent égales; formes diverses de réquation. — Solutions particulières homogènes ou entières. — Solutions particulières qui sont le produit d'une fonction de x par une fonction de y, — Invariants de l'équation. — Propriété fondamentale relative aux substitutions linéaires; cas 'particulier où p, p' sont égaux. — Application de la méthode de Laplace. — Recherche directe de l'intégrale dans le cas où la méthode de Laplace peut fournir cette intégrale. — Etude du cas où la suite de Laplace relative à l'équation est illimitée dans les deux sens; on peut para mener p et p' à être compris entre zéro et i. — Intégrale de Poisson et de M. Appell. — Cas limite où l'on a ^ + ^' = i. — Indication d'un problème de Géométrie, déjà étudié au tome I, qui se ramène à l'intégration de l'équation

344. Avant de continuer l'exposition des théories générales, nous allons faire l'application des propositions déjà obtenues à une équation remarquable, que nous rencontrerons d'ailleurs dans l'étude de plusieurs questions de Géométrie.

Cette équation est la suivante

, . d^z n dz m ôz p

Ox ôy X - - y Ox x — y ^y ( -^ — ^ )* '

oxxm^n^ p désignent trois constantes auxquelles on peut attribuer des valeurs quelconques. Sous sa forme la plus générale, elle a été traitée par Laplace dans le Mémoire que nous avons cité au n^ 325 [p. 22]. Le cas particulier où m est égal à n s'était déjà présenté dans les recherches d'Euler relatives à la propagation du Son. Le grand géomètre a étudié cq cas particulier sous toutes ses formes dans le t. III de son Calcul intégral (Chap. III, IV et V de la seconde Section); il a montré que la solution la plus générale de l'équation peut être obtenue, sans qu'il y ait une intégrale première, toutes les fois que, p étant ramené à zéro par une transfor-

l'éqcation d ëuler et de poisson. 55

raalion que nous allons indiquer, la valeur commune de m et de n est un nombre entier; et il a donné cette solution générale sous une forme développée qui était alors tout à fait nouvelle dans la Science et qui contenait les dérivées des fonctions arbitraires jusqu^à un ordre quelconque. D'autres travaux très importants, que nous aurons l'occasion de citer, ont pour objet, soit l'équation générale, soit le cas particulier oii m est égal à n. De toutes les équations que nous aurions pu choisir, il n'en est aucune dont l'étude présente plus d'intérêt et puisse fournir autant d'indications précieuses sur l'intégration des équations linéaires les plus générales.