Si Ton effectue la substitution

(2) z = {x--yy^,

on obtiendra pour 0 l'équation suivante

oxuy X — y àx X — y oy (x — y)^

où l'on a

(4) m'=m-+-a, n'=/n-a, p' = p -h a^-^- oLÇ/n-i- n — i).

L'équation (3) est de même forme que la proposée, mais on peut disposer de a, ce qui permet de la simplifier. Par exemple, il existe en général deux valeurs de a pour lesquelles le terme en 8 disparaîtra. Nous pourrons donc, dans ce qui va suivre, nous borner à considérer l'équation

^.^^ d^z p' dz p dz

ox oy X — y ox x — y oy

débarrassée du terme en z. Nous l'appellerons l'équation E(P, ^') et nous désignerons par la notation Z(p, ^') une quelconque de ses solutions.

Il résulte des formules (4) que, si l'on pose

z = ^{x — yy-^-^', l'équation en 0 sera

oxOy X — y àx x — y ày

5r> LIVRE IV. -— cil A p. III.

Celle équation est de même forme que l'équalioo (E), mais ^ et ^' y sont remplacés respectivement par i — P' et i — p. En faisant usage de la notation indiquée plus haut, on peut dire que Ton a

Cette propriété si simple joue un rôle important dans l'élude de Téquation.

346. Si Ton applique à Téquation (E) la substitution générale définie par la formule (2), elle prend la forme (3), m', /i', // ayant les valeurs particulières suivantes :

On peut donc disposer de a de manière à faire disparaître soit le terme en ~ > soit le terme en -r- • On ne peut les faire disparaître simultanément que si Ton a

Supposons cette condition vérifiée. En effectuant la substitution

z = (37 — ^)-Pe,

on obtiendra pour 0 Téquation

en sorte que, si l'on désigne par Zp une solution quelconque de cette équation, on aura

(8) Zp=(a7-^)?Z(p, P),

c'esl-à-dire que Ton obtiendra toutes les solutions de Téquation (e) en multipliant par(jc — y)P toutes les solutions de l'équation

Par des changements de variables que Ton apercevra facilement, l'équation {e) peut se mettre sous l'une des formes suivantes

d^z Oy*

d^z 2 m âz

~~ Ox^ X dx

d^z d^z dyi Ox'-

l'équation d*euler et de poisson. 57

qui ont été données par Euler et qui la rapprochent de l'équation de Riccati.

347. Revenonsà Téquation générale E(P, P'); on peut obtenir, et de différentes manières, un grand nombre d'intégrales particulières de cette équation. Cherchons, par exemple, les intégrales homogènes en r et x. Si l'on pose

(II) "^^^' -=^a">-o(/),

on sera conduit, par la substitution de la valeur de z dans l'équation (E), à la relation

C'est, avec des notations diflerentes, l'équation différentielle ù laquelle satisfait la série hjpergéométrique. On peut prendre pour (p deux quelconques des intégrales particulières de cette équation, par exemple les deux suivantes

F (-).,?',,-).-?, ^), qui conduisent aux valeurs suivantes de z :

( z = x-pj^^x F ^3, p'^ p -.- X, I - ? -^ X, Ly

Quelques-unes de ces Solutions jouent, comme nous le verrons plus loin, un rôle important dans la recherche de l'intégrale générale de l'équation.

Si l'on donne à \ une valeur entière et positive, la première solution

devient un polynôme homogène et entier de degré X. On voit donc que l'équation proposée admet une infinité de solutions entières.

348. On peut aussi, en suivant une méthode très usitée en Physique mathématique, chercher si Téquation proposée admet des solutions qui soient le produit d'une fonction X de x par une fonction Y dey. Si l'on substitue à la place de z le produit XY, on obtient la relation

(a^— y)X'Y'— 3'X'Y -f- pxr= o,

A laquelle on peut donner la forme suivante :

La valeur commune des deux membres ne peut être qu'une constante; on aura donc