X:= JTp, Y = yp

p désignant un des nombres i , 2, . . . , /i + i • H en sera de même, évidemment, pour toutes les dérivées de zi et, par suite, pour z qui est une fonction linéaire de ces dérivées. On aura donc, quel que soitTindice/?,

Les équations ainsi obtenues déterminent les rapports mutuels de P, Pi, . .., y, y,, ..., yy et conduisent à l'expression suivante de z

•^«4-1 yn-¥\ ^rt+1

N'étant une fonction que Ton peut choisir arbitrairement et dont la valeur n'a aucune influence sur les invariants de (E) (*).

Il est intéressant de vérifier directement que la valeur précédente de z satisfait, quelles que soient les fonctions X, Y, à une équation linéaire du second ordre. On y parvient aisément de la manière suivante.

(*) Nous avons admis dans le texte que les équations

P^P 4- ^,x'p-\-. . .-h ^,xf + ^y^-^-. . .-HT/^^y^ = o

déterminent les rapports mutuels des coefficients p^,, 7^. On pourrait objecter que, pour certaines formes des fonctions x^^y y^^ ces équations deviendront indéterminées. Si on les résout suivant la méthode ordinaire, on trouvera, en désignant par A le déterminant qui figure dans Texpression de 2,

d\^'> OY

Nous verrons plus loin, au n" 342, que les deux déterminants -jr-r-» -rr,-^ ne sont

jamais nuls tant que les fonctions 07 et les fonctions y sont linéairement indépendantes. Cette hypothèse étant ici réalisée, les équations considérées ne seront jamais indéterminées.

Si ron dîfférentie réquation (62), on aura successivement

dx ox ' dx Ox

Oy oy dy dy '■'

dx dy dx dy dy dx dy dx

Il suit de là que Texpression

d^z d\os,^f dz c^loi'v/ dz dxdy dy dx dx dy

ne contiendra les dérivées de X et de Y que jusqu'aux ordres / et j respectivement. D^ailleurs elle s'annule, comme z, pour

X =Xpj Y = y,,.

Elle est donc proportionnelle à 5, et l'on a

dxdy dy dx dx dy ~~ '

8 étant une fonction déterminée de x et de y. On peut l'obtenir comme il suit.

Si, dans l'expression de z, on attribue à X la valeur i et à Y la valeur o, on trouve 5 = p. Si l'on fait de même X = o, Y = i, on trouve J5 = y. Les deux fonctions p et y sont donc des solutions particulières de l'équation précédente. En les substituant dans l'équation à la place de z, on aura deux relations dont chacune suffira à déterminer 8.

En résumé, voici le résultat auquel on parvient : si l'on veut obtenir toutes les équations linéaires pour lesquelles la suite de Laplace est limitée dans les deux sens et se compose de m équations, on choisira m couples de fonctions Xp, yp, les fonctions Xp ne dépendant que de x et les fonctions yp ne contenant que y, de telle manière qu'il n'y ait aucune relation linéaire à coefficients constants, soit entre les fonctions Xp^ soit entre les fonctions y^. Les différentes équations qui composent alors la suite de Laplace

48 LIVRE IV. — ClIAP. II.

sont celles qui admettent les intégrales générales suivantes

X \' ... .V'^ Y Y' ... YJ'

xi x\ ... x'^/^ yi y\ .". . y^{^

X2 x\ ... a™^/' yi, y\ ... //'

^in ^m • • • "^'//i y m y m • • • y m

la somme i-h J étant égale à m — i et M désignant une fonction déterminée, dont la valeur n'a aucune importance, au point de vue auquel nous nous plaçons, puisqu'elle n'influe pas sur les invariants de chaque équation. Comme on peut donner à i les valeurs o, 1, . .., m — I, la suite de Laplace se composera de m équations.

Le cas le plus simple est celui où l'on a /?2 = i. Alors on peiil écrire

ou plus simplement

La suite de Laplace se compose d'une seule équation pour laquelle les invariants sont nuls.

Puis vient le cas où l'on a deux équations admettant respectivement les intégrales générales

et ainsi de suite.

^'i yi

^i y\ y\ ^î yi y't

341. Nous rencontrerons, dans la suite, des expressions semblables à celle qui est donnée par la formule (65), mais les fonctions Xi^ ainsi que les fonctions j^,-, pourront ne plus être linéairement indépendantes. Nous terminerons ce Chapitre en indiquant quelques propriétés très simples des expressions ainsi définies.

D'abord, il est clair que le facteur M seul est changé si l'on combine linéairement les couples .(.Ti, y/), c'est-à-dire si l'on effectue une même substitution linéaire sur les Xi et sur les yi.

Il en est de même si l'on multiplie toutes les fonctions xi par

une même fonction de x, et toutes les fonctions ^7 par une même fonction de y", car on reconnaîtra par un calcul facile que, si Ton remplace x/ par px/, X par pX, yi par vyi et Y par a- Y, p désignant une fonction de x et a* une fonction de j'j le déterminant se reproduit multiplié par p'+' o-^"^*.

Il en est encore de même si Ton effectue un changement des variables indépendantes en remplaçant x par une fonction de x et y par une fonction de y.

En combinant les deux dernières propriétés, on reconnaît que, par un simple changement de notations, on pourra toujours réduire l'un des couples {xi, yi) au couple simple (i, 1). De plus,

si Ton prend comme nouvelles variables x et y les rapports — »

^ et que Ton réduise le couple (x,, yt) à Tunité, le second

couple sera réduit à (x, y).

Supposons maintenant qu^il y ait des relations linéaires, soit entre les fonctions x/, soit entre les fonctions j^/. Par des combi* naisons linéaires des couples, on pourra réduire à zéro autant de fonctions x/ qu^il y a de relations linéaires distinctes entre ces fonctions. On anra ainsi des couples

(OyyoLh (o»7a-»-i)i •..' {o,ym)j

pour lesquels les fonctions y a, J'a+i» ••■? y m seront linéairement indépendantes; car, sMl en était autrement, Tun des couples précédents serait une combinaison linéaire de tous les autres et * l'expression considérée serait nulle.

Considérons maintenant les relations linéaires entre les fonctions^/; d'après la remarque que nous venons de faire, elles contiennent toutes au moins l'une des fonctions ^'4, j'a, . . ., y^^i et Ton peut, par conséquent, en combinant linéairement les a — 1 premiers couples entre eux et avec les suivants, ramener ces relations à la forme simple

Après cette double transformation, il nous reste donc ^ — 1 couples

(^lîji), (^sO'î)» ...» (^p,»J'p,) D. — II. 4

5o LIVRE IV. — CH\I». II.

pour lesquels les fonctions Xi et les ibnclions j^/ sont linéairement indépendantes ; puis les couples

et

pour lesquels une des fonctions est nulle, les autres étant linéairement indépendantes et, de plus, n'étant liées par aucune relation linéaire avec les fonctions correspondantes des ^ — i premiers couples. Nous allons voir qu*on peut faire disparaître les couples des deux derniers groupes par les transformations que nous avons déjà signalées.

Considérons, par exemple, le couple (o, Vm^* Si l'on multiplie

toutes les fonctions y^par-r-» ^c couple se réduira à (o, i) et

l'expression considérée prendra la forme

Tx r\ ... x'I^ yt y\ ... T^J^ M

dans laquelle la dernière ligne a un seul élément diflerent de zéro : elle se réduit donc à une expression analogue dans laquelle Y est remplacée par Y' et yk par y\. Les nouvelles fonctions œ^ sont égales aux anciennes; quant aux nouvelles fonctions j^a, elles sont respectivement égales aux dérivées des anciennes divisées par y ni. En d'autres termes, chaque couple ancien (xa, y^) est

placé par Xk, ( -^ ) 1 • Il ne peut évidemment exister aucune

relation linéaire entre les fonctions (•^j > sans cela, il y aurait

une relation analogue entre les yk et ym» L'application de la méthode ne sera donc pas arrêtée, et l'on pourra faire disparaître successivement tous les couples pour lesquels une des fonctions est nulle. Si l'on remarque que la suppression de chaque couple (oj^a) diminue d'une unité l'ordre des dérivées de la fonction arbitraire de y^ on peut énoncer la proposition suivante :

Une expression de la forme (65), en apparence de rang i-\- i par rapport à x eij -\- i par rapport à j^, dans laquelle les couples

rem

LA METHODE DE LAPLACE. 5f

sont linéairement indépendants, sans qu^il en soit de même des fonctions xi et yi considérées séparément, peut toujours être réduite à une expression de même forme dans laquelle toutes les fonctions xi eiyi sont linéairement indépendantes, et dans laquelle le nombre des couples est diminué du nombre total des relations linéaires distinctes qui existent entre les fonctions xi et les fonctions ^1, considérées séparément; d'après les résultats de ce Chapitre, Texpression ainsi obtenue est irréductible, de sorte qu'elle sera, par rapport à x, d'un rang égal au nombre i + i diminué du nombre total des relations linéaires entre les fonctions yp et, par rapport à y^ d'un rang égal à y 4- i diminué du nombre des relations linéaires entre les fonctions Xp.

On voit qu'en dehors du cas, que nous avons signalé en premier lieu, où l'un des couples serait une combinaison linéaire des autres couples, l'expression sera encore identiquement nulle s'il y a entre les fonctions d'une variable, par exemple entre les fonctions Xp^ des relations linéaires en nombre supérieur au rang apparent y 4- i de l'expression par rapport à la variable dont ne dépendent pas les fonctions considérées.

342. Nous examinerons enfin une dernière question relative aux expressions définies par la formule (65). Supposons une telle expression réduite à sa forme la plus simple, c'est-à-dire à la forme dans laquelle les fonctions Xp et les fonctions y^ ne sont liées par aucune relation linéaire, et cherchons quelle valeur il faut attribuer aux fonctions arbitraires X, Y pour que l'expression s'annule. Nous allons montrer que cela ne pourra avoir lieu que si le couple (X, Y) est une combinaison linéaire des couples {xp, yp). Cette proposition est évidente pour les fonctions à un seul couple

Il suffira donc de montrer que, si elle est établie pour les expressions km — i couples, elle est vraie aussi pour les fonctions à m couples.

Les coefficients de X^'^ et de Y^^^ dans l'expression (65) ne sont pas nuls; car, si l'on y regarde le couple (X|, y^) comme tenant lieu du couple (X, Y) des fonctions arbitraires, ils peuvent être

52 LIVRE IV. — CHAP. il.

considérés comme des expressions formées avec ni — i couples (j^îj ^a)î •••, {^m^ y m) pour lesquels les fonctions de chaque groupe sont linéairement indépendantes; et, d^ailleurs, le couple (•^Tiy y%) nVst dans aucun cas une combinaison linéaire des précédents. Par suite, si Texpression (65) est nulle pour un système de valeurs attribuées à X et à Y, on pourra déterminer des coeflicients finis ).|, . . ., \mj tels que Ton ait

X — A| JTi — ... — t^m^mi A = A|jr| -^ ...-*- Au, x,„,

Différentions toutes ces équations, sauf la i — i **"•, par rapport à x; nous aurons

c'est-à-dire « -i- y -f- i ou m équations à m inconnues -t-^> . . ., — ^•

Le déterminant de ces équations, qui est le coefficient de X^'^ dans l'expression (65), n'est pas nul d'après une remarque déjà faite. On a donc

et, par suite, les coefficients Aa ne dépendent pas de x. On établirait de même qu'ils sont indépendants de y; ils se réduisent donc à des constantes, et la proposition que nous avions en vue est ainsi établie.

343. Les résultats donnés dans ce Chapitre ont été exposés à plusieurs reprises dans notre enseignement et, en particulier, dans le cours de i883. Nous avons été conduit à traiter de la méthode

de Laplace par l'étude approfondie du théorème de Géométrie donné au n^ 322 [p. i6]. Mais nous devons signaler ici un travail très important, présenté en 1870 à TA^cadémie des Sciences par M. Moutard (*). Dans la seconde Partie de son Mémoire, cet habile géomètre avait traité et résolu précisément la question que nous avons étudiée dans ce Chapitre; et il avait formé toutes les équations linéaires dont l'intégrale s'obtient sans signe de quadrature. Malheureusement, l'extrait qui a paru aux Comptes rendus ne donne aucune indication ni sur la méthode suivie par M. Moutard, ni sur la forme définitive donnée à la solution. Le Mémoire original a disparu en 1871, dans les incendies de la Commune; et, dans la rédaction nouvelle qu'il a publiée d'une partie de ses recherches au XLV* Cahier du Journal de V Ecole Polytechnique j M. Moutard a traité seulement les équations de la forme

àxùy '^' sur lesquelles nous reviendrons plus loin.

(') Ce Mémoire, portant pour titre Recherches sur les équations aux dérivées partielles du second ordre à deux variables indépendantes, a été présenté le 18 avril 1870. Un extrait en figure au Compte rendu de la séance de ce jour, t. LXXf p. 834* Un Rapport fait sur le Mémoire par M. Bertrand se trouve à la page 1068 du même tome.

5î LITRE IV. — CIIAP. III.