BX S'Y

ce qui donne, en intégrant et négligeant les constantes qui entrent

en facteur,

X =^ (x - a)-?, Y = (^ - aH'.

Ainsi, quelle que soit la constante a,

sera une solution particulière de l'équation proposée. Si l'on applique la proposition énoncée à la fin du n® 34o, on verra qu'il en est de même de

349. Le calcul des invariants h et k de l'équation n'offre aucune difficulté. On a

OC) /, = ?:^i^, ^=f^^,-

Ces valeurs si simples mettent sur la voie de la plus importante des propriétés de l'équation E(p, P').

Nous avons vu en effet au n** 327 que, si l'on effectue sur les variables indépendantes la substitution

l/ÉQUATION D'EULER ET DE POISSON. Sq

les nouvelles valeurs h\ k* des invariants sont

Il suit de là, et de la valeur particulière que prennent ici h et A*, que ces invariants conserveront la même valeur lorsqu'on effectuera sur X et sur y une même substitution linéaire, d'ailleurs quelconque. Par conséquent, si ^(^, y) désigne une solution quelconque de Féquation E(^, ^'), la fonction

/ ex -\- d cy-T-d\

• \ax -t- o a y -^ b }

OÙ les constantes a, 6) c, d ont des valeurs quelconques, sera une solution d'une équation linéaire ayant les mêmes invariants. On retrouvera donc une solution de Téquation proposée (n® 328) en multipliant l'expression précédente par une fonction déterminée, la même pour toutes les solutions. Voici comment on pçut obtenir ce multiplicateur.

Considérons la solution particulière déjà donnée au numéro précédent

Si l'on effectue «ur x et sur j^' une même substitution linéaire définie par les constantes a, 6, c, rf, elle prend la forme

A étant une constante et a! étant définie par la relation

Cl' -^ d