LÉQUATION ADJOINTE DE LAGRANGE

/i(ci)) désignant une fonction linéaire de o> et de ses dérivées jusqu'à l'ordre 2n — 3. Nous allons montrer que celte fonction nouvelle est, elle aussi, égale et de signe contraire à son adjointe.

Considérons, en effet, l'intégrale

/ ^fii^ )dx.

Si l'on y remplace, pour un instant, lo par la dérivée u' d'une autre fonction, elle devient, en vertu des équations (Sg) et (4o)

/ u' fi {u')dx — I u'W{ uvy ç)dx := I du 1 i^fiuv) dx.

En intégrant par parties, on a

l du I V f{uv)dx —ut p/( uv) dx — / uvf( uv) dx

ou, en tenant compte des formules (Sg) et (S^),

/ (afi{oi)dx — u^{uv, V ) — -^{uv, uv ).

Tous les termes qui contiennent u disparaissent dans le second membre; on le reconnaît immédiatement si l'on remarque que les termes en u dans W{uv^ uv) ont pour expression

Si donc on substitue a> à u' dans le second membre, la relation précédente prend la forme

w/i(a)) dx = II (o>, to', . . ., 0)^"*-*^),

qui, nous ravons vu, caractérise les fonctions/i((«)) égales et de signe contraire à leur adjointe. La proposition que nous avions énoncée est donc démontrée. On en déduit aisément la conséquence suivante, qui n'est autre qu'une transformation de l'équation (4o) :

Toute fonction d'ordre impair 'An — i égale et de signe D. — II. 8

H\ LIVRE IV. — CIIAP. V.

contraire à son adjointe peut se mettre sous la forme

/, ((o) désignant une fonction d'ordre 2/1 — 3 qui est aussi égale et de signe contraire à son adjointe; quant à la fonction v^ on peut toujours lui attribuer d'une infinité de manières une forme réelle quand le polynôme linéaire f{u) a ses coefficients réels.

L^appllcation répétée de celte proposition permettra évidemment de former toutes les fonctions égales et de signe contraire à leur adjointe. On sera conduit à une expression def{u) qui s'écrira comme il suit :

•^ «1 dx oLi dx %n-\ dx a„ dx a^ dx T-n-i dx \ «i

C'est la forme générale donnée au n® 372, mais avec cette restriction que, dans la suite

les fonctions à égale distance des extrêmes sont égales. Pour la démontrer dans toute sa généralité, il suffira de prouver, ce qui n'offre aucune difficulté lorsqu'on emploie la formule (40» 9"^» si elle est vraie pour les équations d'ordre an — 3, elle s'étend d'elle-même à celles d'ordre 2/1 — i .

375. La forme précédente de /(//) une fois établie, reprenons les deux sj^stèmes de solutions d'une équation linéaire et de son adjointe définis au n° 371

W|, Wj, . . ., Ui/f-li

11 faudra remplacer, dans les formules ('>>9) et (32), n par '>. n — I et supposer aussi

On trouvera ainsi que l'on a, pour toutes les valeurs de /,

l'équation adjointe de lagrange. ii5

Si Ton porte ces expressions des Vi dans les formules (i3), on trouvera

I ^{ui, w,„,) = (-i.y-s

et, si Ton effectue ensuite la même substitution dans les formules (i4) et (i5), on obtiendra, en particulier, les relations suivantes :

a Ml U2n-t — •-*«! "î/i-s -+-...-+-(— I /*-» mJ = o, ^^^^ 2M;'Jat/i..i--2ai'' «</],, 4-...-+- (-i)«-i(w}{'0*=o, (i<n-i),

Il existe donc, dans tous les cas, au moins une relation homogène du second degré entre les intégrales d'un système fondamental quelconque ; et cette relation ne cesse pas d'être vérifiée lorsqu'on remplace les intégrales par leurs dérivées du premier, du second ordre, et ainsi de suite jusqu'à l'ordre n — a. On s'assurera aisément que les formules (45) conduisent par des différentiations répétées à toutes celles que Ton pourrait déduire des systèmes (i4) et (i5) et contiennent, par conséquent, toutes les relations réellement distinctes entre les intégrales du système fondamental considéré et leurs dérivées.

De ce système particulier on peut évidemment passer au système le plus général par une substitution linéaire quelconque effectuée sur les intégrales m/. Alors les relations précédentes revêtent une forme élégante et se résument dans l'énoncé suivant ;

Étant données les intégrales

formant un système fondamental absolument quelconque, elles vérifient nécessairement n équations de la forme

[ ç(Mi, Uî, ..., Mjrt-i) = O,

TV"l » "'i »•••: "'tn-iJ — "» YV**! f ""î l'-'î '♦2/1-1/ — ^'

Il6 LIVRE IV. — CHAP. V.

OÙ ç désigne une forme quadratique à coefficients constants que Von peut toujours réduire à une somme de n carrés positifs et de n — i carrés négatifs.

De plus y les intégrales

du système adjoint au précédent sont définies par les formules

(47) Vi^-

'1 dui

Cette dernière relation a lieu, en effet, quand la fonction o se réduit à la forme simple

et, par sa nature même, elle doit subsister lorsqu'on effectue sur les fonctions ui une substitution linéaire; car les fonctions i^i sont alors transformées, en vertu des relations (i 1\ par la substitution inverse.

376. Si, dans les formules (29), on remplace n par 2/1 — i en faisant a/ = a^rt-Z+M ^^ ^^^a une expression très simple des intégrales particulières avec lesquelles on peut composer la solution complète de l'équation linéaire la plus générale d'ordre 2/1 — i équivalente à son adjointe. Pour les applications que nous aurons à traiter, on peut désirer des expressions équivalentes, mais débarrassées de tout signe de quadrature. Voici comment on les obtiendra.

Le problème se résout immédiatement pour l'équation du

troisième ordre équivalente à son adjointe. Cette équation est en

effet de la forme

et elle se ramène, par un choix convenable de la variable indépendante, à la forme réduite