LEQUATION ADJOINTE DE LAGRANGE. II

dont les intégrales sont

va?*

Nous pouvons donc supposer que le problème proposé est résolu jusqu'à un ordre donné 2 n — i . Soit

/(m) = o l'équation la plus générale de cet ordre et soient

ses 2 n — I solutions particulières, débarrassées de tout signe de quadrature. D'après la proposition du n° 374, l'équation

OÙ Y et 8 désignent deux fonctions arbitraires, sera la plus générale de l'ordre aw -f- 1 équivalente à son adjointe.

Pour obtenir les différentes solutions particulières de cette équation, nous la remplacerons par la suivante

où G désigne une constante arbitraire. Si l'on fait d'abord G = o, on obtiendra les 2 n solutions

Y, ^iuxldx, ..., -(Jutn-i^dx.

Si l'on attribue ensuite à G la valeur i, il faudra déterminer une solution de l'équation

On y parvient en mettant la fonction 3 sous la forme suivante ;

p désignant une nouvelle fonction arbitraire. On pourra prendre alors

Il8 LIVRE IV. — CBAP. V.

OU

u = tJ^/(?)dT.

En résumé^ nous obtenons les 2n-\-i solutions

qui forment, on s*en assure aisément, un système fondamental toutes les fois quey(P) n'est pas nul. Il est vrai que ces solutions nouvelles contiennent des signes de quadrature; mais on les fera disparaître en s'appuyant sur les identités fondamentales (36) et (37), qui donnent ici

On peut donc représenter le système des solutions cherchées par les formules suivantes :

(52) Uj„,.,= -^^(?, p),

qui ne contiennent plus aucun signe de quadrature. Le premier membre de l'équation correspondante est alors

et la nouvelle valeur de W(^u^v) relative à cette équation sera

On vérifiera sans difficulté que, si les solutions Ui sont celles que nous avons définies au n^ 375 et qui sont caractérisées par les relations

vcii/, w,„>/) = (-iy-i

les nouvelles solutions U/ définies par les formules (5i) vérifieront

LÉQUATION ADJOINTE DE LAGRANGE. IIQ

les relations analogues

et la relation quadratique entre les intégrales U aura, ici encore, la forme simple

Appliquons la méthode précédente à la formation des solutions particulières de Péquation du cinquième ordre; en prenant comme point de départ les valeurs

données plus haut pour les solutions particulières de Téquation du troisième ordre, on obtiendra le résultat suivant :

On vérifiera aisément la relation

u;-2U,U4-4-2U,Us = o,

qui a lieu identiquement entre les intégrales et subsiste quand on les remplace par leurs dérivées premières.

377. Dans les Mémoires que nous avons cités, M. Bertrand et Otto Hesse ont montré, d'après Jacobi, que toute équation linéaire d'ordre pair équivalente à son adjointe peut être écrite de la manière suivante :

dè^ '^""'' '^ d^i ^"-^ "^""^^ -^. . .-h Aoi/ = o. La forme analogue relative aux équations d'ordre impair est la

I20 LIVRE IV. — CIIAP. V.

suivante :

Nous nous contenterons de la signaler, en laissant au lecteur le soin de la démontrer. D'autres propositions permettent encore de former des polynômes égaux, au signe près, à leur adjoint. Par exemple, il résulte du mode de formation même des polynômes adjoints que, si deux polynômes /(w), f\(jt) ont respectivement pour adjoints les polynômes g{u)^ g^ (w), la combinaison linéaire of-\-bf\j où a et 6 désignent des constantes, aura pour adjointe ag-^-bg^. Il suit de là, en particulier, que le polynôme af{it) -f- b g{u) a pour adjoint ag{u) -f- b f{u) et que les deux

fonctions

sont Tune égale, Taulre égale et de signe contraire à son adjointe. On peut indiquer encore les propositions suivantes : Reprenons l'équation du n** 368

(5G) j [Vf {il) - M^O)] dx = W{u, P),

et soient y*, (m), g\{u) deux nouveaux polynômes linéaires, adjoints l'un à l'autre. Si, dans l'identité précédente, on remplace u par g\{u)^ elle prend la forme

Echangeons dans cette identité /ety<, g et g^, u cl v] ce qui est évidemment permis. Nous aurons

f\i^/iiS'(v))-S'(^)S'i(u)\dx = Wo(g(i^),u).

En retranchant membre à membre les deux égalités que nous venons d'établir, nous trouvons

l'équation adjointe de LAGRAN6E. 121

D*après la proposition du n° 369, nous pouvons conclure immédiatement que/4'(^(££)) est l'adjoint de/{gi («)).

En remplaçant dans l'identité (56) u par —^j^—^ on verrait de même que les deux pol^^nômes

sont adjoints Tun à l'autre. Supposons maintenant que ft soit identique à /et, par suite, gh ^ g\ nous obtiendrons la proposition suivante :

Etant donnés deux polynômes linéaires f{u)^ g{^) adjoints l'un à rautre, la fonction

/(^(")) sera identique à son adjointe, et la fonction

sera égale et de signe contraire à son adjointe.

L'application de la formule (42) nous permet d'ailleurs de montrer que toute fonction égale et de signe contraire à son adjointe peut se mettre, et d'une infinité de manières, sous la forme que nous venons d'indiquer; car, si Ton pose

le polynôme o*(w) adjoint à 6(w) sera égal (n" 372) à

et la formule (4*^0 pourra s'écrire