RÉSOLUS AU CHAPITRE II

Étude nouvelle du cas où la suite de Laplace se termine -dans un sens. — Calcul direct des invariants pour les différentes équations de la suite. — Expression précise de la solution générale pour chacune de ces équations. -- Relations entre les intégrales générales de deux et de trois équations consécutives de la suite. — Intégrale générale de l'équation adjointe. — Application au cas où la suite de Laplace doit se terminer dans les deux sens; nouvelle solution du problème résolu au Chapitre II. — Relations entre l'équation proposée et son adjointe. — Indication de trois formes différentes sous lesquelles on peut mettre l'intégrale générale de l'équation aux dérivées partielles.

378. Dans le Chapitre précédent, nous avons étudié d^une manière détaillée les relations qui existent entre une équation linéaire et son adjointe, pour le cas d'une seule variable indépendante. Nous avons vu qu'à tout système fondamental de solutions particulières de Péquation proposée on peut faire correspondre un système analogue de solutions particulières de Téquation adjointe, que nous avons nommé le système adjoint au premier. La notion des systèmes adjoints et les propriétés que nous y avons rattachées vont nous permettre de compléter les solutions que nous avons données au Chapitre II et les propositions que nous avons développées à la fin du Chapitre IV.

Nous traiterons d'abord le cas où la suite de Laplace relative à une équation (E) se termine dans un sens, par exemple à l'équation d'indice positif (E,). Nous avons vu (n° 337) que cette équation peut se ramener à la forme

^L __ ^logg ^ dx dy àx ày ~ ^

COMPLÉMENTS ET SOLUTIONS NOUVELLES

et son intégrale générale sera

b = x-h fyoLdy,

X et Y désignant les deux fonctions arbitraires. Si Ton conserve, pour les invariants, les notations du n** 331, on aura ici

La formule de récurrence

permettra ensuite de calculer successivement les invariants des équations (E,«), (E/^a), .... On aura, par exemple,

(5) hi-i = ihi-i —

a«logA/,

dy ~~ àxây ^\ dx dy dx dy

Mais nous allons voir que l'on peut obtenir directement l'expression de l'un quelconque de ces invariants.

Introduisons, en effet, les quantités H^ définies par les formules suivantes :

/ Hn =

Ht =

dx dx dy

dP% dyP

d% dx

d^% dx dy

d^% dx^

dPOL

dxP dxPdy

dxP dyP

Si l'on convient de désigner par la notation le déterminant formé avec k fonctions ai, . . . , a^ de ^ et leurs dé-

la» LIVRE IV. — CHAP. VI.

rivées par rapport à t jusqu'à Tordre k — i, on voit que l'on

pourra écrire

d% d^oL dPaL\

Cela posé, nous allons établir que Ton a, pour toutes les valeurs de/?,

à^ Ioî?H,,,

( 8 ) hi.p r=

dx ôy

Cette relation se vérifie pour les deux premiers invariants hi\ et A/2, dont nous avons déjà donné l'expression. Pour établir qu'elle est générale, il suffira donc de montrer que les valeurs ainsi définies des invariants satisfont à la relation de récurrence (4)i c'est-à-dire que l'on a

/ N ^* 1. /w II ^ '^^ 1 /il ^^^P ^^P ^^P\

-^^ ôxùy ^^ ' ' '^^^ ôxdy ®\ ^dxdy dx ôy J

Or, si l'on considère le déterminant H^+i et .si l'on désigne, pour un instant, par ap^p, ap^p^i, ap^t^p, a^+i,;,+i les éléments qui appartiennent aux deux dernières lignes et aux deux dernières colonnes, une formule très importante, mais bien connue, de la théorie des déterminants nous donne la relation

La dérivée seconde qui entre dans le premier membre est évidemment H/,|. Quant aux quatre dérivées premières qui figurent dans le second membre, on reconnaît aisément qu'elles ont respectivement pour valeurs

dnip jj ^, ^Hp

dxdy ^' dy dx

On est donc conduit à l'identité

d«n„ dU„ ÔH^

(lo) Hp-iUp^i r-. 11^

p VMMp UKlp

dx dy dx dy d'où découle la relation (9) que nous voulions vérifier.

complëments et solutions nouvelles.

379. Une fois connue l'expression des invariants, on pourra obtenir l'intégrale générale; il suffira d'appliquer la formule (4o) donnée au n° 336 [p. 38]. Mais on parvient à un résultat plus élégant par la méthode synthétique suivante, à laquelle nous avons été conduit par induction.

6 étant la fonction déterminée par la formule (2), introduisons la quantité suivante :

Dx étant le symbole déjà défini par la formule (7) ; 8^ est un déterminant d'ordre p-\-i. Nous allons voir que les valeurs de 9^ correspondantes aux valeurs b, i, 2, ... de/? sont les solutions générales des différente^ équations de la suite de Laplace; Hp sera la solution générale de l'équation (E|^). Pour établir ce résultat, il suffira, évidemment, de montrer que 0;, satisfait, quelles que soient les fonctions arbitraires X et Y qui figurent dans l'expression de 6, à une équation qui admet les invariants de (E/^). Or, si l'on met ^p sous forme de déterminant et si l'on désigne par a„t,n l'élément de ce déterminant qui appartient à la ligne m et à la colonne /i, une formule déjà rappelée nous donnera les identités

^ft.

dOn

àb^

da.

âa

da.

P,P+i ^^p-hi,p

db^

de,

àcip-hi.p àai^p^i

dap^p dax^p^i

àap+i^p^i dai^p

dup^pdai^p^i

Pour éviter toute confusion, écrivons le déterminant comme il suit

dH dPb \

dx dxP

d% dP%

dx dxP

d^OL dP-^-ij.

d% dy

dP-^i dyp-^

ôx dy

dP% dxdyP

dxP dy

dxP dyP-^

126 livre' IV. ~ CHAP. VI.

SI Ton remarque que les dérivées par rapport à y des éléments de la première ligne sont proportionnelles aux éléments correspondants de la seconde ligne, on calculera sans aucune difficulté les valeurs suivantes des mineurs qui figurent dans les identités précédentes

dUp^i^p^x àap^p ôxdy

[p Pzl f* = ^^P-l

àap^p^i dy dUp+i^p àx

àct'i.p-hi àup^pâup+x^p+x

Oai^p ôx dai^pàup^i^p^i

ôup^pdai^p+x ày

La substitution de ces différentes valeurs nous donnera les trois relations suivantes :

d^^p-x t^Vi^Vi ft ft

Il ^'Q/> i ^Hp-t O^p-x ^ Q dllp-^ ^ * ôx ôy Ox ôy ^ dy

Si Ton élimine ^p entre les deux dernières, on sera conduit à Inéquation aux dérivées partielles

\ dx dy dy dx

\ t)]ogHp-i d^p -1 dXo^Up.-^ f)logH;,-i^

( i^:^ dT""^ cj^^ di «/>-!- o,

dont ô/>i, qui contient les deux fonctions arbitraires X et Y, sera évidemment l'intégrale générale. Les invariants h et A' de celte équation ont pour valeurs

dx dy dx dy '

ce sont précisément les invariants de Féqualion (Ej^+i).

COMPLÉMENTS ET SOLUTIONS NOUVELLES. 127

380. Le problème que nous nous étions proposé est ainsi complètement résolu. Nous savons, en effet, former toutes les équations qui composent la suite de Laplace : l'équation (E/^) est donnée par la formule

.„ d^z d\o^}\p-x dz d\ogHpdz <) logHp d logH^-i

^^ ôxdy dy dx àx ôy dx ày ^ ^

et elle se présente précisément sous la forme réduite que nous avons signalée au n^ 328 [p. 26]. Nous connaissons de plus son intégrale générale, qui est

(i4) ^=ôp=D,(e, a,^

dy dyP-^

Enfin les identités (12) établissent des relations précises entre les intégrales générales de deux ou de trois équations consécutives.

On peut, en les combinant et en éliminant 6/,i, --^*» en déduire la relation nouvelle

6p. 1— Up-i—Cî^ — Hp i6p,.

Si Ton joint cette équation à la seconde des identités ((2), on obtient les relations

^p-i — Hp-j ^ — Hp t 6p 2,

àllp-\ ft „ à^p-i

—A—^P-i^^P-i —T-- = Hp-Î^/»»

qui représentent ici les deux formules du n** 330 par lesquelles on passe d'une équation de la suite aux deux équations voisines et qui, à elles seules, suffiraient à établir que 0^ est bien l'intégrale générale de l'équation (E|y,). Remarquons encore que la première des identités ((2) établit une curieuse relation entre les intégrales générales de trois équations consécutives de la suite. On peut la généraliser et l'étendre au cas où la suite de Laplace est illimitée dans les deux sens, mais nous laisserons ce point à l'examen du lecteur.

381. L'étude de la suite de Laplace relative à l'équation (E'), adjointe de (E), ne présente plus aucune difficulté. Nous savons

rjl8 LIVRE IV. — CHAP. VI.

(n® 365) que cette suite se termine à Téquation d'indice négatif

(El,).

L'invariant k de cette équation est égal à Pinvariant h de (E/), c'est-à-dire à

^— — — ^— -^— • dxdy

Il suffira maintenant de répéter, en partant de (El^), les opérations que nous avons faites en prenant comme point de départ Téquation (E/), c'est-à-dire, en définitive, d'échanger partout j? et y en conservant la valeur de a; si donc on pose

( iG) (S ^\ -^ j aX dx,

<T sera l'intégrale générale de (E'^.) et la fonction

satisfera à l'équation ^

-i-^p c^j? ày dy dx Ox dy àx ôy *

qui a les mêmes invariants, à l'ordre près, que (E/^) et qui est, par suite, équivalente à l'adjointe de cette équation. Pour avoir exactement l'adjointe de (E|^), il suffira de faire la substitution

en sorte que cette adjointe aura pour intégrale générale

H„Hp i

382. E?caminons maintenant le cas où la suite de Laplace se termine dans les deux sens, par exemple aux équations (E|), (E y). On peut, en s'appuyant sur les résultats précédents, retrouver la solution déjà donnée au Chapitre II. Posons, en eifet,

i-f-y —m — i; les invariants de l'équation (E y) sont, d'après la formule (8),

ôx ôy àx dy

COMPLÉMENTS ET SOLUTIONS NOUVELLES. I29

Pour que la suite se termine à cette équation, il faudra donc que Ton ait

Si Ton tient compte de l'identité déjà démontrée (lo)

on voit que Ton devra avoir

sans qu'aucune des quantités antérieures H,».!, H„i 2, . . . soit nulle.

L'équation précédente s'intègre immédiatement : elle exprime

qu'il y a entre les fonction a> ^ » • • • une relation linéaire

dont les coefficients sont indépendants de x et sont, par suite, de simples fonctions dey. Cette relation peut être considérée comme une équation linéaire à laquelle doit satisfaire a et dont l'intégrale générale est, évidemment,

^H« ''^29 » ' '-ifim désignant m solutions particulières, linéairement indépendantes et fonctions de y seulement; et X|, . . ., Xm des fonctions quelconques de x. Ces fonctions devront être aussi linéairement indépendantes^ sans cela un des déterminants H^-fi antérieurs à Hm serait nul.

Reprenons maintenant la valeur déjà donnée de 0

= x-^J\oLdr.

nous allons montrer qu'on peut la débarrasser de tout signe de quadrature. Soit, en effet,

l3o LIVRE IV. — CHAP. VI.

réqiialion linéaire dont les coefficients sont fonctions dey et qui est adjointe à l'équation (19). Si, dans Texpression de 0, on remplace Y par — ?(Y), on a

Or, les Y) étant les solutions de l'adjointe à Téquation (20), toutes les quadratures qui figurent dans cette formule peuvent être efiectuées ; et, si Ton pose

y^ étant la fonction bilinéaire définie au n° 368, on aura

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