X— 2 ^AZ(Y
Introduisons maintenant le système
yu yty "-y ym
de solutions de l'équation (ao) qui admet pour adjoint le système
""iiï ''lî» • • • » "^ttf On aura, nous l'avons vu au n** 370,
Si l'on fait Y =j^>i, l'expression de 6 deviendra donc
6 = X — Xfi\
et 0 s'annulera pour X = xa, Y =y/^] c'est le résultat qui nous a servi de point de départ et qui permettra de retrouver la solution donnée au n® 340.
Supposons maintenant qu'au lieu de considérer la suite de Laplace comme commençant à (E|), on adopte comme point de départ l'équation (E y) : on obtiendra évidemment des résultats analogues, que l'on déduira des précédents par l'échange de x et dey, de i et dey. A l'équation (20) correspondra la suivante :
{72) /■((«) = X^iw'"»^ -4- X„i(o'«-*^ H-...-+-Xaj = o,
COMPLÉMENTS ET SOLUTIONS NOUVELLES. l3l
à laquelle satisferont les fonctions xi. Soient
si» Ç*> • • • > \m.
les solutions adjointes à ^i,j?2) --•i'^m- A a correspondra la fonction
(23) p =ri5i-+-r»?t -*-••• -^r/nçm,
et l'invariant li j de (E y) aura la valeur suivante
^ ^ r)MogP
loute semblable à l'expression (3) déjà donnée pour A/|. A la fonction 0, il faudra substituer la suivante
et, SI Ion pose
(a5) A/./(X)rfx = <F(X, U),
on reconnaîtra que o- s'annule, comme 6, pour X = xa, Y=j^a.
383. Ces remarques étant admises, formons la suite de Laplace relative à Téquation adjointe (E'). Nous savons (n** 365) qu'elle se terminera aux équations (Ey), (El,); et l'invariant A* de (Ey) sera égal à l'invariant h de (E y), c'est-à-dire à
dxây
Si donc on compare à la première suite, on voit que l'on obtiendra tout ce qui se rapporte à l'équation adjointe en échangeant I et y, a et p, c'est-à-dire en remplaçant les fonctions Xpj jp par leurs adjointes \p^ v)^. Ainsi :
Pour passer de l'équation proposée (E) à son adjointe (E'), il faudra échanger i etj et remplacer les couples (j^p^yp) par les couples adjoints (Çy,, r^p).
L'intégrale de l'équation (E') sera donc de la forme
I Ç/M Ç//I • • • S/1» 'i//» u/n • • • Um
N étant un facteur que l'on saura déterminer.
384. Mais on peut obtenir une solution plus précise en faisant usage des résultats que nous avons donnés plus haut pour le cas où la suite de Laplace se termine dans un sens. Si nous considérons cette suite comme se terminant à l'équation (E/), il faudra prendre pour a la valeur déjà donnée
et les invariants de (E) seront
d^lOfrUf
dx dy àx dy
Si, au contraire, nous considérons la suite comme se terminant à Féquation (E y), on aura
et, si Ton pose
(a8) Ko=?,
d^3 ày
les invariants de (E) seront de même
f)S log Ky-,
f)Mo{ïKy
dx ôy dx dy
Nous allons vérifier d'abord que ces expressions différentes (27) et (ag) donnent les mêmes valeurs pour les deux invariants.
D'après le théorème de Cauchy et de Binet relatif à la multiplication des systèmes linéaires, la fonction H/ sera le produit des deux systèmes rectangulaires
X\ Xf ...
ar
Tu
Tii
c'est-à-dire qu'elle sera la somme des produits de tous les déterminants formés avec i -f- 1 colonnes du premier système et avec les colonnes de même rang du second. De même, la fonction Ky-f sera le produit des deux systèmes rectangulaires
yi y\
ri
COMPLÉMENTS ET SOLUTIONS NOUVELLES. l33
Or, d'après les formules (19) et (20) du Chapitre précédent, à chacun des produits de la première somme correspond un produit de la seconde qui est au premier dans le rapport de jjl'^* A' à ( — i)^'+*^^X;(„A, A et A' étant les déterminants formés respectivement avec les dérivées des fonctions Xi et des fonctions y/ jusqu'à l'ordre m — i . On aura donc
Ho)
et, par suite,
. Ky-1
a«logH/ (jMogKy-t
dxdy
dxdy
On trouvera de même, en changeant i en i — i , y en y -f- 1 ,
Ox ôy ôx dy '
et ainsi se trouve établie la concordance des deux expressions différentes que nous avons obtenues pour chacun des invariants de (E).
385. On peut, en faisant usage de l'identité que nous venons d'établir, mettre sous une forme plus simple l'expression déjà donnée
X\ Xy
ri ri
. . . X ,n y ni y m
ylj) J m
pour l'intégrale générale de (E). Multiplions le déterminant précédent par le suivant
'Il
jcy-i)
'un
en ajant soin de faire la multiplication colonne par colonne. Si l'on tient compte des relations (i4) et (i5) établies au n"* 370
[p. io3] entre les fonctions de deux systèmes adjoints et si Ton pose, pour abréger,
/ BA,i = « *'y*'
-tin J m
on a le résultat suivant
Aoo
Ai»
Aoi
Ao,/-i
Ai,/-i
Ao/ Al/
Boo
Boi
o By|,o By|,|
Boy
By-i.y o
Ce déterminant se développe sans difficulté et nous donne
(— iy(i-^y)MKy-i
