V-in

Aoo Aoi

Ao,i-i Y

Boo Bio

Aïo

Bol Bu

By-1,0 By,,, ... By i,

Aio A/1

Boy B.i

Si l'on attribue à M la valeur r^^^^ r-r— — et si Ton remplace

ensuite le rapport i^-^ par sa valeur tirée de la formule (3o), on

COMPLÉMENTS ET SOLUTIONS NOUVELLES

aura enfin Texpression suivante de l'intégrale générale

^'mA

Aoo

JX. • . . A.

Ajo • • • "lO

Ao,/-i A/,/i '

Boo

Y' Bo

By-1,0

oy

• • By,,^

qui est parfaitement symétrique par rapport aux indices i et j et ne contient plus que des déterminants d'ordre i-4-i et y 4-1, tandis que Texpression primitive exigeait le calcul d*un déterminant d'ordre i + j. L'expression précédente peut encore s'écrire

— - Dx(X, a, -^y

ày ày

dxT

Comparons cette formule à celle que nous aurions obtenue en appliquant la formule générale (n)- L'expression de 0 a déjà été donnée par l'équation (21), et l'on peut écrire

En la substituant dans la formule (i4) où l'on fera ensuite p=iy on aura la valeur de 0/. Cette valeur est nécessairement proportionnelle à Z, et la comparaison des parties des deux expressions qui dépendent de la seule fonction arbitraire X nous permet de conclure

Mi„ Min \ ^y

A cette nouvelle expression de l'intégrale, on ajoutera la suivante qui se démontre de la même manière

ôx

dxJ-i J

(Tétant la fonction analogue à 8, définie par les formules (24) et (25).

386. Ces différentes expressions permettent de former sans nouveau calcul l'équation aux dérivées partielles dont Z est Tinté-

l36 LIVRE IV. -— CHAP. VI. — COMPLÉMENTS ET SOLUTIONS NOUVELLES.

grale générale. Comme on a

il suffira de substituer cette valeur dans réquation à laquelle satisfait 6/. Si l'on fait /? = « dans Téquation (E/|,)[p. 127], on trouve

()«e/ ()logH/-t d^ __ Jlog:H/ ^ ^}^ri^ (^logH^-i dx ôy ôy ôx Ox dy Oj^ ùy ' ~

En eOfectuant la substitution indiquée, on obtiendra pour Z réquation suivante

(35) ^'^ ^Mon:H^,, àZ ()logKy-t (^. ^ ()losHf-t aiogKy-i 7^ ^ ^ âx dy Oy dx dy dy dy dx ^ ^

qui est également sous forme réduite et parfaitement symétrique par rapport à « et à y.

On passera de la proposée à son adjointe en échangeant / et y, a et p. Si l'on pose

l'adjointe à l'équation (35) aura pour intégrale générale

Zo

Ce résultat s'établit par la méthode que nous avons employée au n° 381. On peut, d'ailleurs, ajouter à la formule (36) deux autres expressions équivalentes, toutes semblables à celles que nous avons données pour Z,