LES ÉQUATIONS A INVARIANTS ÉGAUX
Happel des propositions déjà signalées relalivement aux équations dont les inva^ riants sont égaux. — Emploi des solutions données au Chapitre précédent. — Condition nécessaire et suffisante pour que l'équation proposée ait des invariants égaux et soit intégrable par la méthode de Laplace. — Détermination de toutes les équations à invariants égaux dont l'intégrale peut être obtenue sous forme explicite. — Deuxième solution de ce problème. — Théorème de M. Moutard. — Expression précise de la solution générale. — L'emploi du théorème de M. Moutard permet d'obtenir toutes les équations dont la méthode de Laplace peut donner l'intégrale générale.
387. Nous avons déjà signalé plusieurs propriétés très simples des équations linéaires du second ordre dont les invariants sont égaux. Nous savons (n° 329) qu'on peut les ramener à la forme simple
Nous avons aussi remarqué (n" 365) que, si on les écrit sous la forme précédente, elles sont identiques à leur adjointe, et que, dans tous les cas, on peut passer d'une équation dont les invariants sont égaux à son adjointe en remplaçant z parX^, X étant une fonction convenablement choisie de x et de y. On peut encore signaler la propriété suivante, qui est une conséquence immédiate des propositions déjà obtenues.
Soit (E) une équation à invariants égaux ^ comme elle est équivalente à son adjointe, la suite de Laplace relative à cette équation se confond, évidemment, avec la suite analogue relative à son adjointe. Si donc la suite se termine dans un sens, à l'équation (Ert«) par exemple, il faudra nécessairement (n** 365) qu'elle se termine en sens contraire à l'équation (E;,^|). Ainsi, les équations à invariants égaux ne peuvent jamais admettre ces
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intégrales générales dans lesquelles une des deux fonctions arbitraires est nécessairement engagée sous un signe d'intégration. Si la méthode de Laplace peut donner leur intégrale générale, les deux fonctions arbitraires y entreront dégagées de tout signe de quadrature; et cette intégrale sera du même rang à la fois par rapport à x et par rapport à y. Cette remarque est essentielle, et elle va nous permettre de déterminer toutes les équations à invariants égaux que l'on pourra intégrer par l'application régulière de la méthode de Laplace. Ecrivons, en effet, la suite de Laplace
(E-„+i), (E,4+,), ..., (E-i), (E), (Ej), ..., (Ert-i), (Ert i),
relative à l'équation (E), et supposons que cette suite se termine aux deux équations (E;,<), (E.^^i). On aura ici, en conservant toutes les notations du Chapitre précédent,
et
L'invariant k de (E„| ) et l'invariant h de (E;,^i ) auront respectivement pour valeurs
dx ày dx ày
La suite de Laplace relative à (E) se confond, nous l'avons déjà remarqué, avec la suite analogue relative à son adjointe. Il résulte de là (n** 365) que l'équation (E^) de la suite précédente aura pour adjointe l'équation (E a) de la même suite; ou, plus exactement, ces deux équations auront leurs invariants égaux, à l'ordre près. Si l'on applique cette remarque aux deux équations qui terminent la suite, oa reconnaît immédiatement que l'on devra avoir
dxày ~ dxôy ^ OU, en intégrant,
(3) « = pe(a7)(T(^),
8 et a- désignant deux fonctions inconnues de x et de^. On peut les faire disparaître comme il suit.
J7ir,i
arjT^i
. . -r- Xin-
-l'iî/i-
• .-^ \ln-
\yin-
LES ÉQUATIONS A INVARIANTS EGAUX. iBq
Si l'on divise par ô(a?) le premier membre de Téquation linéaire d'ordre an — i dont Xi^ x^j • . • , ^2/1-1 sont les solutions particulières y les nouvelles fonctions adjointes f, , Ç'o? ••• ^^"^ égales aux anciennes multipliées par ^{x)\ l'équation précédente se réduira donc à la forme
Une opération analogue, appliquée à l'équation dont les solutions particulières sont j^i, y^^ . . ., jK2«-!j permettra de même de faire disparaître la fonction ^{y)- Ainsi, par un simple changement d'écriture et sans diminuer en rien la généralité, on peut ramener l'équation (3) à la suivante
d'où les fonctions 6 et «r ont disparu.
Réciproquement, si la condition précédente est vérifiée, Téquation (E) aura ses invariants égaux. D'après les résultats du n° 386, cette équation peut, en effet, être ramenée à la forme simple
dxdy ùy àx dx ày ' dy dx ~ '
et elle admet pour invariants
dx dy dx ùy
Or on a ici
iK...,.D,(,,g,...,£;8).„.(,.| p),
a étant égal à ^, on a nécessairement
et, par suite, l'équation proposée a bien ses deux invariants égaux. Si, dans l'équation (5), on effectue la substitution
elle prend la forme simple
dx dy dx dy
l{o LIVRE IV. — CHAP. VII.
et, d'après les résultats du Chapitre précédent, son intégrale peut se mettre sous l'une des trois formes suivantes :
[ i n /v ^* d'^-^oiX
Toute la difficulté se ramène, on le voit, à la détermination des fonctions ;r>i, y/i pour lesquelles on aura identiquement
c'est-d-dire
Voici comment on peut résoudre cette équation.
388. Prenons les dérivées des deux membres, par rapport à y par exemple, jusqu'à l'ordre 2/1 — 2 inclusivement, et donnons ensuite à y une valeur particulière quelconque. On obtient ainsi 2/1 — I relations linéaires à coefficients constants entre les fonctions xa, Ça'- Ces équations peuvent être résolues par rapport aux inconnues; car leur déterminant
ne peut être nul pour toute valeur particulière de j^, les fonctions Yi étant, par hypothèse, linéairement indépendantes.
IjCS valeurs ainsi obtenues des fonctions Ça sont évidemment des combinaisons linéaires des fonctions x^ ; on peut donc énoncer le résultat suivant :
L'équation linéaire d'ordre impair considérée au n**382, et dont X|, ^2, . . ., X2n-i sont les solutions particulières, doit être équivalente à son adjointe; et il en est évidemment de même de Téquation linéaire d'ordre impair à laquelle satisfont les fonctions j'a-
Il faut, nous allons le voir, ajouter quelque chose encore à cette
LES ÉQUATIONS A INVARIANTS ÉGAUX. Ml
double condilion. Soit
la forme quadratique à coefficients constants définie au n® 375 et qui permet d'exprimer les solutions adjointes parles formules
Soit, de même, la forme analogue relative aux solutions j^>^. On aura
et l'égalité à vérifier prendra la forme
^iÂt"^ ^ ^2«-i :j,t-^ =yy :^ -■ ^y^n-i
On peut encore l'écrire comme il suit
ô'^ d^ do do
Xx -r-î- -+-••• H- X^n-\ \ ■ — = ^i T"*' -T- • • • -t- ^in-\ '
et, sous cette forme, on reconnaît immédiatement que les deux fonctions (f et ^ doivent être les mêmes. S'il en était autrement, il suffirait d'attribuer à la variable y une valeur particulière quelconque et Ton obtiendrait, contrairement à l'hypothèse faite au début, une relation linéaire entre les fonctions x^, 0:2, ..., ^2«-J' On est donc conduit à la proposition suivante qui, rapprochée des résultats obtenus dans les deux derniers Chapitres, donne la solution complète et précise du problème proposé :
On détermine toutes les équations à invariants égaux qui s'intègrent par la méthode de Laplace en prenant, pour les fonctions Xh et yn^ les solutions particulières de deux équations linéaires d^ordre impair équivalentes à leur adjointe et en choisissant ces solutions particulières de telle manière qu!il existe entre les solutions y^ et leurs dérivées jusqu'à Vordre n — VL la même relation quadratique qu'entre les solutions Xh et leurs dérivées jusqu'au même ordre.
389. Appliquons la proposition précédente aux cas les plus simples. Si l'on a
il y a un seul couple (xi^ y^ ) que l'on peut réduire à (i, i). On a
et Téqualion correspondante est
ôx ày
Si /lest égala 2, il y a trois couples {Xi, y^), (^27 J^'a)» (^3» JKa)- Les fonctions j;<, X2^ ^3 devront être reliées par une équation du second degré que nous supposerons ramenée à la forme
Les fonctions ^« , ^^2? y 3 devront alors être liées par Inéquation
Si l'on prend comme nouvelles variables x, y les rapports — >
— et si l'on réduit (n** 341 ) le couple {x^ , jkO ^ l'unité, on obtient,
en tenant compte des relations quadratiques, les trois nouveaux couples
On a ici
;i = — , $1 = — ^, Çs = l.
Les premiers membres des équations auxquelles satisfont les solutions Xi et les solutions j', sont
eu
On a encore
A = X3 = A'= fX3 = I, Hn-î = a = ^ -^^.
L'application de la formule (8) nous donne donc
* dx
LES ÉQUATIONS A INVARIANTS ÉGAUX. l43
OU
L'équation dont Zx est l'Intégrale générale est
ôx oy Oxôy {x — y)*
Si Ton n'avait pas fait un choix particulier des variables indépendantes, on aurait obtenu l'équation
dxdy -(Xi-Y,)»"
et l'intégrale générale serait
Xj - Yj X; Y'j
Passons maintenant au cas où il y a cinq couples. Les expressions des fonctions xa, y h résultent des formules données au n** 376. On aura, si l'on choisit convenablement les variables indépendantes X et y^
^1 = 1, ri~'»
j-2 -- ?% yi = y',
Xj = X^''-?\ y^ = yY-Y^
P désignant une fonction de :c et y une fonction de y. De plus, la formule (43) du n" 37o nous donnera
U = (— i)^-^Xi-n, r,A = (- iy*-'^6-;i.
On aura donc
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L'application de la formule (8) nous donne, lout calcul fait,
^^-vfv (?)
(X-YK:r-^)-l-^;[P'-Y'-?'(^-r)] + ^![ï'-r-ïV-:r)]
L'écrilure de celte formule se simplifie si Ton introduit la fonction suivante
On a alors
et Zi satisfait à Téquation
(i8) :nrn:=-2 " '
dxdy ~ dxùy *
Le calcul détaillé, que nous omettons, révèle un fait intéressant et qu'il serait possible d'élablir d'une manière générale. Le déterminant H„2 est toujours un carré parfait; ou, plutôt, il est de la forme
et le facteur K figure à la première puissance seulement dans les dénominateurs des différents termes de Z\.
Si l'on employait les expressions générales sous forme d'intégrales, indiquées au n° 376, des fonctions Xh^ yn^ on pourrait écrire la valeur générale de z^ sous une forme où tout serait connu; nous nous contenterons ici des exemples que nous venons de traiter.
390. Dans la troisième Partie du Mémoire que nous avons cité au n** 343, M. Moutard s'était occupé spécialement des équations de la forme
LES ÉQUATIONS A INVARIANTS ÉGAUX. l45
et il a publié une nouvelle rédaction de celte Partie de ses recherches dans le XLV" Cahier du Journal de r École Polytechnique ('). La méthode de M. Moutard repose sur un beau théorème que nous n'avons pas eu à employer dans la solution précédente; nous allons la faire connaître ici d^une manière détaillée.
Désignons, pour plus de netteté, par ^{z) l'expression
et supposons que Ton connaisse une solution quelconque co de l'équation
Cette équation étant identique à son adjointe, le produit
dxôy I
pourra se mettre sous la forme
t)x ày
et, en effet, on a
— Az ) = œ-r— , z
I àxày
ùxdy ] dxdy dxây
î â / àz f)(jù\ \ r) / âz dit) \
•2 ôx \ Oy ôy I '2 oy \ Ox Ox J
Écrivons donc l'équation
d / dz âio\ 0 I w^ viM \
dz ^^*^\ àx ** ôx )
( * ) Moutard, Sur la construction des équations de la forme
"z dxôy~^^^'^^'
qui admettent une intégrale générale explicite {Journal de l'École Polj technique, XLV* Cahier, p. i; 1878).
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qui est identique à la proposée (21). Elle exprime évidemment que
est une différentielle exacte. On peut donc, à chaque solution Zy associer une fonction 6, telle que Ton ait
. «>6 dz ^(o d^ ôz dtu
^ ^ dx ôx dx ôy dy dy
Il est aisé d^éliminer z et de trouver une équation linéaire du second ordre définissant la fonction 0. Les formules précédentes, écrites comme il suit
(0* àx dx (u* dy dy
montrent, en effet, que l'on aura
dy\u}^ dx/ dx\tu^ dy J
OU, en développant,
, ,, di(i dit} t)0 dM (^6
dxdr dy dx dx dy
Or, si Ton pose
6 = co.a,
l'équation en <t prend la forme
Pour déterminer [x, il suffit de remarquer que l'équation en H admet la solution particulière 6=1; réquation en o- doit donc
admettre la solution - et l'on a
ta
0" peut s'exprimer en fonction de z par la formule
« . n .'(^K Ai) A
