LES ÉQUATIONS A INVARIANTS ÉGAUX

et, inversemenl, z peut s'exprimer en fonction de a* par la relation analogue

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Si l'on connatt une solution particulière (o de l'équation

et que l'on forme l'équation nouvelle

toute solution de Vune des deux équations permettra de déterminer, par une simple quadrature, une solution de l'autre. Si donc on connatt l'intégrale générale de l'une des deux équations, on pourra déterminer l'intégrale générale de * l'autre équation,

La relation entre les deux équations est évidemment réciproque ; «i, pour abréger, nous disons que Ton passe de la première à la seconde par la solution o), on passera de la seconde à la première

par la solution - •

391. On peut rattacher la proposition précédente à la considération de certains systèmes du premier ordre qui se présentent dans différentes questions de Géométrie. Ces systèmes contenant deux fonctions inconnues p elq sont de la forme suivante

(27) ^=X»^, ?l^-=Xî^?,

^ ^ * dx dx' dy ^y^

où X est une fonction donnée. Comme les équations précédentes

ne changent pas lorsqu'on échange p el q en remplaçant \ par ^ >

il est clair que, si on sait les intégrer pour une valeur de \ on saura aussi le faire pour la valeur inverse de "k. Nous allons voir que cette simple remarque donne la proposition de M. Moutard.

l48 LIVRE IV. — CHAP. VII.

Eliminons en effet p. Nous aurons Téquation qui a ses invariants égaux et se ramène à la forme

(28) %aq)=^%a)\

si l'on change dans cette équation q en p^Xenl, on aura

La comparaison de ces résultats établit immédiatement le théorème énoncé plus haut : De chaque solution de Vèquation

on peut, par une simple quadrature, déduire une solution de Vèquation

392. Les propositions que nous venons d'établir permettent évidemment de déduire de toute équation

que Ton sait intégrer, une suite illimitée d'équations nouvelles et de même forme dont l'intégrale se déterminera par de simples quadratures. Donnons en effet aux arbitraires, fonctions ou constantes, qui entrent dans l'intégrale générale de l'équation précédente, des valeurs particulières, mais quelconques; et soit o> le résultat obtenu. Nous pourrons, par une simple quadrature, obtenir l'intégrale générale de l'équation nouvelle

Donnons de même aux arbitraires qui entrent dans cette seconde intégrale générale des valeurs particulières, et soit o>, la valeur

LES ÉQUATIONS A INVARIANTS ÉGAUX. I.IQ

qu'elle prend alors. Nous pourrons de même déterminer par de nouvelles quadratures l'intégrale générale de l'équation

et ainsi de suite. En continuant indéfiniment, on obtiendra toujours des équations de la forme (3o), dans lesquelles \ contiendra un nombre de plus en plus grand de constantes ou de fonctions arbitraires.

On peut signaler quelques relations intéressantes entre toutes ces équations. Ecrivons-les sous la forme

et soit (ûfi la solution par laquelle on passe de l'équation de rang A* -f- I à l'équation de rang A* -4- •>.. On aura

On en déduit

dxdy

et, si l'on ajoute toutes les équations obtenues, on trouvera

(34; l,= l — 2-— --log(a)w, ...II)/-,).

Si l'on a obtenu, par exemple, avec deux fonctions arbitraires, l'expression générale de (o, cof contiendra deux fonctions arbitraires nouvelles, et ainsi de suite : l'expression de X/ contiendra donc, en tout, ni fonctions arbitraires. Si l'on a choisi des solutions particulières, on sera conduit à des équations nouvelles qui ne contiendront pas nécessairement plus d'arbitraires que la première, mais qui seront, en général, d'une forme différente.

50 LIVRE IV, — CHAP. vil.

Nous choisirons comme exemple l'équalion

qui comprend comme cas particulier l'équalion d'Euler (n" 34€). Elle admet la solution paniculiëre

(36) ^-^{r~yy{T^y)':

Si l'uD emploie cette solution, on sera conduit à l'équation nouvelle

qui ne diffère de la précédente que par le changement de m et n en m-t-i, « + I. Si l'on désigne par A(m,n) l'équation (35), on voit que l'inlégralion de A(mH-i,/i + i) et celle de A(m,n) sont deux problèmes équivalents. On développera aisément les conséquences Ae cette remarque; il eu résulte que l'on peut intégrer l'équation A(m, n) toutes les fois que m et n sont des nombres entiers ( ' ).

393. Revenons au théorème général. Il serait aisé de montrer que, si l'on connaît la solution de Riemann, délinie au Chapitre IV, pour l'équation primitive, on saura déterminer cette solution pour chacune des équations suivantes. Mais nous laisserons de côté cette question pour nous attacher au problème particulier qui a

(■) Si l'on pose

on obtient pour 6 l'équalion

dont l'iDlégrale est

que m et n sont entiers positifs. Comme l'équation A{m, n) ne change pas ad on y remplace m par i — m, ou n par i — n, on peut toujours supposer t n positifs.

LES EQUATIONS A INVARIANTS ÉGAUX. l5l

fait l'objet des recherches de M. Moutard, et montrer comment l'application de la proposition générale fournit un procédé régulier qui permet de former toutes les équations de la forme considérée pour lesquelles l'intégrale sera donnée par la méthode de Laplace.

Nous établirons d'abord la proposition préliminaire suivante, qui nous sera d'ailleurs utile dans d'autres recherches.

Etant données les expressions

Wo = AX -T- Al X' -^ . . . -t- A;tX(*\ ^1=. BXH-BiX'-h...-HBAXi'»J,

OÙ A, B, Ai , B, , ... désignent des fonctions déterminées de x et de y et IL une fonction arbitraire de x, si V expression

^Fo dx H- Wi dy

est une différentielle exacte pour toutes les formes possibles de la fonction arbitraire X, on pourra toujours, par des opérations purement algébriques, mettre l^ intégrale

ri=J{Wodx-^Widy)

sous Vune ou Vautre des formes suivantes :

Xj-h Cix;-f- GsX'; -4-. . .-^ Ck\\^\

GiXi -f- GïX'i -f-. . .1- GA:Xi*-»»-i- const ,

X| désignant une nouvelle Jonction arbitraire qui, dans la seconde forme, peut être prise égale à X.

En effet, on peut toujours, en effectuant des intégrations par parties, ramener ^*o à la forme

yi\= -A[DXH-D,X'-4-...-i-D;i.,X{*-i^]-f-liX, ox

ayant

la valeur

dx '

ôx^

Ox'^'

Si donc on considère la différence

Ç - DX - D, X'—. . . - Da-iX(^-») = Ç',

ï5'A LIVRE IV. ~ CHAP. VII.

on aura

W2 étant ordonné, comme ^"1, par rapport aux dérivées de la fonction arbitraire. Le second membre étant encore une différentielle exacte, on devra avoir

dx dy

Cette équation ne peut être vérifiée que si ^2 est identiquement nul : siU'2 contenait, en effet, un seul terme en X ou en X', ..., la

différenliation par rapport à x introduirait dans -~- au moins une

dérivée de X 5 et le premier membre de l'égalité précédente ne pourrait être égal au second pour toutes les formes possibles de la fonction arbitraire. On a donc nécessairement

Q dépend donc seulement de la variable j?; si Q est nulle, on a

;; == DX -f- Di X'-f- . . . -T- D^. -1 X<^ -J' H- const. ;

c'est la seconde des formes signalées dans l'énoncé. Si û n'est pas nulle, elle dépendra seulement de x\ on aura

Ç == DX-h D,X -h. . .^ D)t-,X(^-i) -H faXdx,

Si l'on pose

ÛX = X\,

X , désignant une nouvelle fonction arbitraire, Ç prendra la forme

X' /\'.\' /X'.\tA'-i)

qui est la première indiquée dans l'énoncé.

La proposition énoncée se trouve ainsi entièrement établie \ elle s'élend évidemment au cas où Wq et ^1 seraient des fonctions linéaires d'une fonction arbitraire Y de j>^ et des dérivées de cette fonction, ou même contiendraient simultanément deux fonctions

LES EQUATIONS A INVARIANTS EGAUX. l53

arbitraires X, Y de x et de y et leurs dérivées jusqu'à un ordre déterminé.