Soit maintenant

une équation dont on puisse obtenir l'intégrale générale sans aucun signe de quadrature. Écrivons cette intégrale

;5 := MX -+- MiX' -+-. . .-4- Ma-, X^^-»' -^ N Y -^ N, Y' -f- . . .-r- N^-i Yl^-^^

Pour abréger, nous désignerons \i^v f^{u)y /^{u) les polynômes linéaires suivants :

on aura ainsi

Introduisons les polynômes g\{u)j gï{u)^ adjoints respectivement kfx (w),/*2( w). Ils donneront naissance à des identités de la forme

OÙ B| et Bj sont les fonctions bilinéaires de u, r et de leurs dérivées qui ont été définies au Chapitre précédent. Ces notations étant admises, donnons, dans la solution générale Zy des formes particulières X|, Y| à X et à Y; nous aurons une solution particulière

(40) ai=/i(Xi)-i-/,(Yi); et^nous savons que la fonction cr définie par Tégalité

(il) wj=/(a), z--)djc — l(D~ — z — ] dy \

^^ J l\ àx OxJ \ Oy oy) -^ \

l54 LIVRE IV, — CHAP. VII.

sera Tintégrale générale de l'équation

Pour calculer o" nous remplacerons successivement z par ses deux parties

(43) ^i = /i(X), z, = MY).

Soient a-,, o-^ les deux parties correspondantes de c; on aura

(44) <T = ffi-4-ffj et

(45) cuTi = tusj — ^llzi — dx -h (3} -^ dy j ,

Dans la première des identités (Sg), substituons X à u et j- k V. elle prendra la forme

<« '•t-Mt)=fA^-t'

dcuN

et donnera une expression de Z\ -r- que Ton peut substituer dans l'expression de <t,. On a ainsi

WTi

OU, en intégrant partiellement,

tOÎ|

=„..-.B,(x,S)-,/|x.,(£).,.[.^-iB,(x,g)].4

La quadrature qui figure dans cette formule est de celles auxquelles s'applique la proposition précédente. Le coefficient de dx et celui de rf^ y sont ordonnés suivant les dérivées de la fonction arbitraire X-, comme celui de dx ne contient que X, il faut, d'après la remarque même qui constitue le point fondamental de la démonstration du numéro précédent, que Ton ait

-tM^' S) - «.

LES ÉQUATIONS A INVARIANTS ÉGAUX. l55

et qûeg'i (-p) dépende de la seule variable x. On vérifie aisément

l'égalité précédente. Comme le premier membre y est ordonné suivant les dérivées de la fonction arbitraire X, il suffit de montrer que sa dérivée par rapport à x est nulle. Cette dérivée a pour expression

dx ày ùx dy dyâx \ ^ ôx )

~ ôxdy dx dy dy \^^ àx " \^J^/ j~ dxdy ^dxdy~^ On a donc, en définitive,

et Ton trouverait de même, en échangeant x et y^

(48) o>^,=.-a)/,(Y)-^aB,^Y,^)-4-2jY^,(g)d>.

L'expression définitive de o- sera donnée par la formule

ja>^ = a>/,(X)-a)/,(Y)-2B,(x,g)-H2B,(Y,g)

et il suffira de remplacer X et Y respectivement par

pour obtenir une expression de cr débarrassée de tout signe de quadrature. On pourrait objecter que ^i ( t- ) ou S'^-KT] seront toujours nuls; mais on reconnaîtra aisément, en prenant le coefficient de la plus haute dérivée de X, dans 5^1 (j- ) > que cette expression, ainsi que/^i ( ;r- ) > ne peut être nulle dans le cas général. On a évidemment

l56 LIVRE IV. — CHAP. Vit.

Le second terme est ordonné suivant les dérivées de la fonction arbitraire Y< ; le premier membre dépendrait certainement de y si toutes ces dérivées ne disparaissaient pas. Il faut donc que l^on ait identiquement

et de même

Il serait aisé de vérifier toutes ces identités en s'appuvant sur notre première solution et sur les formules que nous avons données au n® 387. Elles permettent évidemment de simplifier les calculs et nous donnent

Si l'on pose, pour abréger,

il faudra, dans l'expression de wt, remplacer X et Y respectivement par

et Ton obtiendra l'expression définitive

bJ7

— 2Bi( y -r- -+-2B2 j — ) — !i\-^2Y,

qui est de rang A" -f- i au plus par rapport à ^ et à j\ Remarquons que cette dernière transformation de l'expression t suppose essentiellement les fonctions cpi(X<) et ^2(^1) différentes de zéro. Ces fonctions pourront devenir nulles pour certaines valeurs particulières de X| et de Y| ; nous aurons à examiner plus loin cette

LES ÉQUATIONS A INVARIANTS ÉGAUX. l57

hypothèse ; mais nous allons auparavant indiquer les applications des résultats précédents.