Prenons comme point de départ Téquation

âxày On aura ici

^ = X — Y, w = Xi — Vi,

Bi(w, i^) — o, Bj(tt, v) ~ o,

^i(tt) — a, ^j(w) = — M.

L'application de la formule (49) donnera donc (53) g z. X -+. Y - .^^l y XX', rfar -.- ^-1-^J\Y\ dy.

Remplaçons X par ^> Y par y" > nous aurons

et 7 satisfera à Téquation

Pour continuer les calculs, supposons que Ton ait choisi comme nouvelles variables x el y les fonctions X| et Y|. L'expression de z deviendra

Prenons pour valeur de la solution w

(5;) co = ?'h-y'

^ désignant une fonction de ^ et y une fonction de y. On aura ici

l58 LIVRE IV. — CHAP. VII.

L'application de la formule (49) donnera donc

X — y X — y tù dx ^ ày

si Ton introduit la fonction

0 = lai y — x)

et si Ton remplace X par ^„,> Y par -7j;> on retrouvera l'expression

de l'intégrale générale

déjà donnée au n° 389. L'application de la formule (34) montre que 0" satisfera à l'équation

tous ces résultats sont en parfait accord avec ceux que nous avons déjà obtenus.

396. L'application de la méthode peut encore se poursuivre. Les deux exemples que nous venons de traiter nous permettent de reconnaître qu'elle conduit aux équations les plus générales pour lesquelles l'inlégrale générale est de rang 2 ou 3. Mais donnerat-elle toutes les équations dont la méthode de Laplace peut fournir l'intégrale générale? Ce point n'est nullement évident, et M. Moutard n'y a peut-être pas assez insisté. On peut faire disparaître toute difficulté à l'aide des remarques suivantes, qui nous donneront d'ailleurs des indications utiles sur le passage de chaque équation à la suivante.

Nous prenons comme point de départ la valeur générale de z donnée par la formule (38), etnous supposerons que cette expression soit effectivement de rang A:, soit par rapport à j;, soit par rapport à^'. Il résulte, en effet, des développements donnés au n° 387 que l'intégrale générale d'une équation à invariants égaux est nécessairement du même rang par rapport aux deux variables indépen-

LES ÉQUATIONS A INVARIANTS ÉGAUX. iSq

dantes. L'expression de z sera formée avec ak — i couples

(^o rOî (^2, ^2), . • • , (^2k-i , y2k-i ); c'est-à-dire qu'elle s'annulera quand on y remplacera X par x/i et Y par y/tj h prenant les valeurs i, 2, ..., 2 A" — i. Par suite, si l'on remplace dans l'expression de (1) les fonctions Xi et Y| par x^ et ^'>i, o) s'annulera identiquement, ainsi que toutes ses dérivées. On aura donc nécessairement

On voit que l'équation linéaire

dont les coefficients sont fonctions de x (n° 394), admet les solutions particulières ^i, ^2, . . ., x^/c-i (*)•

On peut énoncer évidemment la même propriété pour le polynôme f2(w), qui s'annule quand on y remplace u parj^^, ^'21 • • • -i

Admettons d'abord que les deux fonctions X| et Yi, qui entrent dans l'expression de w, ne vérifient aucune des équations

«pi(Xi) = o, cp,(Y,) = o.

Alors la formule {02) présentera a* sous la forme d'une expression de rang au plus égal à k -^i, soit par rapport à x, soit par rapport à y. Nous allons montrer que o* est effectivement de rang égal à A- 4- I .

La valeur de z s'annule, par hypothèse, lorsqu'on y remplace X par Xhy Y par^>i. Si l'on tient compte du changement de notation par lequel on passe de la formule (49) à la formule (52), on pourra conclure que la valeur de cot donnée par cette dernière

{*) D'après une des propositions énoncées à la fin du Chapitre V, on reconnaît immédiatement que le polynôme 9, (u), défini par cette égalité

est égal et de signe contraire à son adjoint. Ce résultat, que nous retrouverons plus loin sous une autre forme, confirme ceux que nous a fournis notre première solution.

l6o LIVRE IV. — Cil A P. VII.

formule s'annule quand on y remplace X et Y respectivement par

lxuoi(Xi)dx, jyh^i{^\)dy.

pourvu que l'on détermine convenablement l^une des deux constantes que Von peut toujours ajouter à ces intégrales.

Les dérivées de wt s'annulent encore lorsqu'on remplace dans la formule (49) X par X| et Y par Y|, ce qui donne 3 = to, ou lorsqu'on remplace dans la formule (Sa) X et Y par

|Xio,(X,)éfx, j^\\o,iY,)dy;

G- s'annulera donc encore si l'on choisit des déterminations convenables de ces deux intégrales.

On reconnaît enfin, à la simple inspection de la formule (Sa), que 0" s'annule aussi lorsqu'on y remplace X et Y par i .

Nous obtenons ainsi 2 A: 4-1 couples pour lesquels s'annule la valeur de tj et, dans ces couples, les fonctions de chaque groupe sont linéairement indépendantes; car, s'il j avait une relation linéaire entre les fonctions

I, l^i^ii^OdXy J xi^i{\i)dx, .. , Jx2A-i^i{^i)dx,

par exemple, il y en aurait une aussi entre leurs dérivées; ce qui est impossible tant que X| ne satisfait pas à l'équation

'fi(Xi) = <>,

et n'est pas, par conséquent, une combinaison linéaire des fonctions OTi, ^2, • - •; ^2A-1'

L'expression de too-, admettant 2A" -h i couples pour lesquels les fonctions de chaque groupe sont linéairement indépendantes, est donc nécessairement (n°* 340 à 343) d'un rang égal à A" -f- 1.

Il est ainsi établi que l'application de la méthode conduit généralement d'une solution z à une solution a- de rang immédiatement supérieur. Mais là n'est pas le point essentiel de la démonstration : il faut établir, au contraire, que l'on peut aussi, en choisissant convenablement la solution co, passer de la solution z à une solution de rang inférieur. Nous allons montrer qu'il suffira, pour ob-

LES EQUATIONS À INVARIANTS ÉGAUX. l6l

tenir ce résultat, de prendre, pour les fonctions X| et Y| qui entrent dans l'expression de io, des solutions convenablement choisies des équations

<pi(Xi) = o, ç,(Yi) = o.

Supposons d'abord que Ton ait seulement

?i(Y,) = o, c'est-à-dire

Yi = X,J^i -H X,^,-h. . .H- liA-iyik-ly

^o • • •? ^2^-1 désignant des constantes. On pourra, en remarquant que ct> ne change pas si Ton y remplace X|, Y| respectivement par

Yi — Xi^i — . . . — ^tk-iytk-ij

réduire Y| à zéro. Supposons donc

X| demeurant encore tout à fait arbitraire. Si l'on fait, dans la

formule (^o),

c'est-à-dire ^ = co, la fonction o)? devra se réduire à une constante. On aura donc

/,(X,) — îBj/Xi, ^j— 2 /Xt<p,(Xi)^ = const.

ou encore

[/ifX0]*-:fcB,(x,,^^^^^)~2y'XiÇi(X,)fl?^ = const.

Cette équation, où X| désigne une fonction arbitraire de x^ suffirait seule à établir que la fonction '^|(X|) est égale et de signe contraire à son adjointe : elle exprime en effet que cette fonction devient une dérivée exacte quand on la multiplie par X{ . L'expression

est l'intégrale du second degré considérée au n** 373.

Choisissons maintenant pour X| une solution particulière de D. -IL II

l62 LIVRE IV. — CHAP. Vil.

Téquation

qui annule en même temps Vintégrale du second degré. Nous avons vu au n° 374 que les solutions de ce genre peuvent être réelles. Alors la partie (T| de a- qui dépend exclusivement de X se réduira, d'après la formule (47), à (*)

i[/.(X,)/.(X)-aB.(x/-A^>)];

et, comme elle s'annule pour X = X| , on pourra y remplacer X par

Xi / X djT,

sans introduire aucun signe de quadrature. Après cette substitution, elle ne contiendra plus les dérivées de X que jusqu'à l'ordre k — 2. L'intégrale <t sera donc de rang k — i au plus par rapport à Xj ou par rapport à y^ puisque son rang est nécessairement le même par rapport aux deux variables. Elle ne saurait être de rang inférieur, puisque, dans l'opération inverse par laquelle on passe de a- à >3, le rang ne peut s'élever, nous l'avons vu, de plus d'une unité.

En résumé, l'application de la méthode conduit généralement d'une solution d'un certain rang à une solution de rang immédia-

(*) En toute rigueur,' il faudrait ajouter à cette expression — » C désignant la

constante arbitraire introduite par l'intégration. Mais, si une équation linéaire,

intégrable par la méthode de Laplace, admet la solution générale

j; = AX -h A, X' -i- . . . -+- A^XC") -h. . . -^ B„ Y(») -h 6,

6 étant une fonction déterminée quelconque, on peut toujours supprimer 0 sans diminuer la généralité de la solution. En effet, si l'on fait X — 0, Y = o, on a 2 = 6, et, par suite, 6 est une solution particulière. Soient alors X, et Y, les valeurs de X et de Y qui donnent pour z la solution particulière 2O. En remplaçant X par X — X,, Y par Y — Y„ on fera disparaître le terme en 6 ; et il restera simplement

5 = AX -4-. . .H- A^XC"») -4- BY -4- B.r +. . .4- B^YC"). Cette expression a le môme degré de généralité que la précédente.

LES ÉQUATIONS A INVARIANTS ÉGAUX. l63

tement supérieur; mais elle peut conduire aussi à une solution de rang inférieur (*).

Puisqu'il est toujours possible d'abaisser le rang d'une unité, on pourra, après k — i opérations, passer de toute équation admettant une solution générale de rang k à l'équation

dxdy

qui est la seule dont la solution générale soit de rang i. Les opérations inverses permettront de passer de cette équation à toutes celles dont l'intégration peut être obtenue par la méthode de Laplace.

(*) On reconnaît aisément que Ton peut aussi choisir la solution u de telle manière que le rang demeure le même dans le passage de l'équation à celle qui lui succède.

l64 LIVRE IV. — CHAP. VIII.