CHAPITRE VIII

Défiaitioa des expressions (m, /i). — Transformation que subit une telle expression quand on applique la méthode de Laplace. — Une expression (m, /i) est définie, en général, à un facteur près, par la condition de s'annuler quand on y remplace z par m + /t solutions particulières de Téquation proposée. — Discussion des cas exceptionnels dans lesquels cette proposition se trouve en défaut. — Détermination de toutes les expressions (m, n) qui satisfont à une équation linéaire du second ordre. — La méthode de Laplace est comprise comme cas limite dans celles qui résultent de l'emploi des expressions (m, n) les plus générales. — Recherche de la fonction la plus générale satisfaisant à

une équation du second ordre et définie par la quadrature /"(P dx H- Q dy')

où P et Q sont des fonctions linéaires de z et de ses dérivées. — Application au cas oCi P et Q contiennent les dérivées jusqu'au premier ordre seulement. Extension au cas de deux variables des propriétés des systèmes adjoints. — L'intégration de l'ii^ne [quelconque des deux équations, ponctuelle ou tangentielle, relatives à un système conjugué tracé sur une surface quelconque se ramène à celle de l'autre.

397. Nous nous proposons, dans ce Chapitre, d'indiquer quelques propositions générales qui permettent de rattacher à toute équation linéaire du second ordre une série d'équations de même forme et de môme ordre, que l'on saura intégrer en même temps que celle dont elles dérivent.

Étant donnée une intégrale quelconque z de l'équation aux dérivées partielles

d^z âz , ôz

^^' ôxOy dx ôy *

cette équation permettra, nous l'avons déjà remarqué, de calculer toutes les dérivées de z prises à la fois par rapport k x el k y Qn fonction des dérivées prises par rapport à x ou par rapport à y seulement.

On est ainsi conduit à des relations de la forme suivante :

d"*-*-"Z ,, ^^ àz r, à^Z à"*Z r\ ^^ r\ ^'* ^

Oam Oyn " "' ^ ' ' àx ^ dx* "' Ox'n ^' dy ^" dy^

LÀ RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. l65

Un calcul facile donne les valeurs de P^ et de Q„. Si l'on suppose m ci n différents de zéro, on trouve

p ^gj^dyà^ -fady

Pm et Q« ne sont pas nuls, en général, mais ils peuvent le devenir, ainsi que quelques-uns des autres coeHicients, dans certains cas particuliers. C'est ainsi que, lorsque a est égal à zéro, les dérivées de s par rapport à x disparaîtront de la formule, si l'on a n^rriy et n'y figureront que jusqu'à l'ordre m — /i, si m est supérieur à n.

Si l'on combine linéairement, en les multipliant par des fonctions quelconques de x et de y^ l'intégrale z et ses dérivées successives jusqu'à un ordre déterminé, on pourra toujours, par l'application de la formule précédente, ramener la fonction linéaire de z et de ses dérivées ainsi obtenue à la forme

dans laquelle ne figurent que des dérivées prises par rapport à une seule des variables indépendantes. Nous désignerons, pour abréger, par la notation (m, n) une expression de ce genre ou, plus exactement, pour comprendre le cas où les coefficients P^, Q/i deviendraient nuls, une expression qui contiendra les dérivées de z par rapport à ^ au plus jusqu^à l'ordre m, et les dérivées de z par rapport à y au plus jusqu'à l'ordre n. Par exemple, la

dérivée ^ est une expression {m^ n). La dérivée par rapport

à X d'une expression (m, n) est une expression (m -+- i, n) et la dérivée par rapport à y une expression (/n, /i H- i).

On aperçoit aisément les transformations que subit une expression (m, n) quand on applique la méthode de Laplace. Imaginons, par exemple, que l'on emploie la substitution par laquelle on passe de (E) à (Et), celle qui est définie par les formules

l66 LIVRE IV. — CHAP. VIII.

données au n° 330. L'emploi de la première de ces formules permet d'éliminer les dérivées de z par rapport à j^ et de les remplacer par les dérivées de z^ se rapportant à la même variable, mais prises jusqu'à l'ordre n — i seulement. La seconde formule permet ensuite de remplacer z et ses dérivées par rapport à x par les dérivées analogues de Z|, mais prises jusqu'à l'ordre m -ht. Ainsi une expression (m, /i) relative à l'équation (E) se transforme en une expression (m 4- 1 , /i — i) formée avec la solution correspondante de l'équation (E| ); et, inversement, on démontrerait de même que toute expression (/n-|-i,n — i) relative à (Ei) se transforme en une expression (m, n), relative à (E). On peut donc conclure que l'expression (m, n) la plus générale formée avec une solution de (E) admet pour transformée l'expression (m-|-i,/i — i) la plus générale relative à (E|) et, par suite, l'expression (m-|- f, n — i) la plus générale formée avec la solution correspondante de Téquation d'indice positif (E,), au moins tant que i sera inférieur ou égal à n. Si l'on suppose i= n, on obtiendra une expression de la forme

M--'+ P« dï + P» d^ -^- • •■*- '^"-'' dï^^'

qui ne contiendra que les dérivées prises par rapport à la seule variable x. Si l'on continuait à appliquer la méthode de Laplace, on serait conduit à des expressions (m + w -f- A", o) ; elles seraient de même forme, mais ne seraient pas les plus générales de leur définition. Nous supposerons donc que l'on s'arrête à (E^).

Si Ton emploie de même la deuxième substitution de Laplace, on reconnaîtra qucTexpression (m, n) la plus générale admet pour transformée l'expression (m — y, n-\-j) relative à Téquation (E y), qui sera aussi la plus générale tant que j sera inférieur à /n-f- i. En résumé, i étant positif ou négatif, l'expression (/?i, n) la plus générale formée avec une solution quelconque de (E) a pour transformée l'expression (m4- i, n — i) la plus générale formée avec la solution correspondante de (E/), tant que l'on attribue à l'entier i les valeurs

— m, — m -H I , ...t o, I, .... n. 398. Une expression (m, n) contient m + n-f-i coefficients.

M, P/, Qa, qui sont des fonctions arbitraires de x et de y. Elle sera donc déterminée à un facteur près, au moins en général, si on Tassujettit à s'annuler lorsqu'on y remplace z par m -\- n solutions particulières

• 5 ^tn-vn

de l'équation proposée. Si, pour abréger, on pose (3) m -^ n = Pj

son expression sous forme de déterminant est alors

-22 -rr

dz dx

àzi dx

dzi dx

àzp dx

d^z dx"*

d'^Zi

dz dy

dzi

Ox'"^

d'^Zi

dZî

dx"'

dZf

dy

d"z "dy"

"dyf^ d'^Zi

d"z,y ày"

Il peut cependant arriver qu'une expression (m, n) ne soit pas déterminée par les conditions que nous venons d'énoncer : c'est ce qui aura lieu si les mineurs qui sont, dans l'expression précédente, les coefficients de z et de ses dérivées sont tous égaux à zéro. On peut définir d'une manière précise ces cas exceptionnels . dans lesquels l'expression précédente devient illusoire.

Désignons par la notation (m, n)i le résultat de la substitution de Zi à z dans une expression (m, n). Si l'expression doit s'annuler, comme nous le supposons, pour les valeurs déjà indiquées de Zj on aura les équations de condition

auxquelles devront satisfaire les coefficients inconnus de la fonction (m, n). La première ne sera pas vérifiée d'elle-même tant que Z| sera différent de zéro; la seconde ne sera pas, en général, une conséquence de la première; mais, en poursuivant, on arrivera nécessairement, si le système précédent est indéterminé, à une équation qui sera la conséquence de celles qui la précèdent. Cette équation, dont nous désignerons le rang par A, s'obtiendra néces-

l68 LIVRE IV. — CHAP. VIII.

sairement par une combinaison linéaire des équations précédentes. On aura donc Tidentité

(5) ^i(/w, fi)i-^ ^ti^n, n)t-^. . .-{- X;i(m, n)h = o,

applicable à toute fonction (m, n). D'après la manière même dont on l'obtient, il est évident qu'«7 n^y aura aucune autre relation linéaire de même forme entre les quantités (m, /^)^, ..., (m, n)h.

Cela posé, appliquons la transformation de Laplace, en passant de (E) à l'équation (E/,). L'identité (5) se transformera dans la suivante

(6) Xi(/n-h 71, o)i-4-Xj(/n -h n, o)i4-. . .-h ^h{rn -h /i, o)^ = o,

qui se rapporte à la nouvelle équation, mais qui ne contient plus que les dérivées de l'intégrale par rapport à la seule variable x. Si l'on substitue successivement à (/w-f-/i, o) les fonctions z^

— ♦ •••> . "ji^^f en nombre nécessairement supérieur à A, on obtient

un système qui se présente dans la théorie des équations linéaires à une seule variable indépendante; et Ton reconnaît immédiatement que les rapports mutuels des quantités X<, ^25 •••? ^a doivent être constants lorsque x varie, c'est-à-dire ne peuvent dépendre que de la variable y. En passant de même de (E) à (E^^) et en répétant le raisonnement précédent, on reconnaîtra de même que les rapports mutuels de ^0X2, ..., Xa ne peuvent dépendre de j^. Ces rapports sont donc constants; et, par suite, les solutions Zi, ^27 ""t Zh ne sont pas linéairement indépendantes. Ainsi :

Dans le cas où la suite de Laplace relative à l'équation proposée (E) s'étend au moins depuis l'équation {E^m)jusqu*à Inéquation (E^), une expression (m, n) est toujours définie à un facteur près par la condition de s* annuler lorsqiCon y remplace z par m-\- n solutions particulières de V équation, pourvu que ces solutions soient linéairement indépendantes (* ).

(*) On peut aussi discuter très simplement le cas où la suite de Laplace se termine entre (E„) et (E„). Supposons d'abord qu'elle se termine d'un seul côté, à l'équation (E^) par exemple, i étant positif et inférieur à n. On reconnaîtra, comme on l'a fait dans le texte, que les rapports mutuels deX^, \, • • •> \

399. Après cette discussion, revenons au cas général et supposons que les solutions

^ii ^l'i • • • » ^m-t-n

aient été choisies de telle manière qu'une expression {m, n) soit définie, à un facteur près, par la condition de s'annuler quand on

ne peuvent dépendre de y et sont, par conséquent, des fonctions de la seule variable X. Si Ton applique maintenant la relation (5) à l'équation (EJ, elle prend la forme

(a) \ ( m -h i, /i — i)^-h...-h\{fn-hij n — i)^ = o.

L'intégrale générale de (E^) a été donnée au n*> 333; elle est de la forme

YotdvY

a et ^ étant des fonctions déterminées de x et de y. Comme n — i est au moins égal à I, on peut prendre d'abord, pour l'expression (m-^i, n — i) qui figure dans l'identité précédente, la fonction

On aura alors

Xtf Xaf '••* Xh désignant les valeurs que prend la fonction arbitraire Y pour les solutions particulières ^,, 2,, ...,^h. On peut supposer que les coefficients \, \i "'f \ soient linéairement indépendants. S'il en était autrement, on les exprimerait tous en fonction d'un certain nombre d'entre eux; et l'identité (5) se transformerait en une identité analogue où h serait remplacé par un nombre plus petit h' et [les solutions ^^ ^,1 ^ ., Zj^ par des combinaisons linéaires de ces so> lutions.

Supposons donc \, \, -"t \ linéairement indépendants; l'identité {b) nous donne alors

car, s'il en était autrement, il suffirait d'attribuer à y une valeur particulière quelconque pour obtenir une relation linéaire entre \, ..., \.

Soient maintenant x^f x^, ,,., Xj^ les valeurs que prend la fonction arbitraire X pour les diverses solutions particulières. En substituant dans l'égalité (a) les diverses fonctions

y remplace z par Tune quelconque de ces solutions. Soit

le résultat obtenu. Nous allons, en répétant le raisonnement du n® 340, montrer que 6 satisfait à une équation linéaire du second ordre. Si l'on differenlie, en effet, la formule précédente successivement par rapport à a: et par rapport à y^ on obtient des expressions des dérivées premières qui sont de la forme

on obtieDt des relations de la forme

(rf) \ar(*) -^ X,a:l*> +. . .-f- X^ar^f' = o.

Si les fonctions x^, x^, ..., x^ ne sont pas linéairement indépendantes, il en est de même, évidemment, des solutions z^ 2,, "--H ^^ l'équation primitive (E ). Si les fonctions x^, ..., â?^ sont linéairement indépendantes, les équations précédentes, qui déterminent, par hypothèse, les rapports mutuels de X^ X,, «..y^ donnent, comme on sait, des valeurs constantes pour ces rapports tant que l'on

n'a pas

Ainsi, dans le cas où la suite de Laplace se termine entre (E^) et (E„), et d'un seul càté^ par exemple à Véquation ( E^.), l'expression (m, /i) ne cessera d'être déterminée par les conditions énoncées que si les solutions 2,, z^^ . . ., jSj^, ne sont pas linéairement indépendantes, ou s'il y a plus de m +k + i solutions Zf^ se déduisant de cette partie de la solution générale qui est de la

forme

AX-^A.X'-4-...-hA..X(•'),

par l'attribution de valeurs particulières quelconques à la fonction arbitraire X.

Dans le cas où la suite de Laplace se termine dans les deux sens entre (E^) et (E„), il est inutile de recommencer la discussion. Car alors soient (E •), (Ej) les équations auxquelles se termine la suite. Si l'on désigne par X et Y les fonctions arbitraires qui entrent dans l'intégrale générale, par {x^y y^) les couples pour lesquels s'annule cette intégrale et par ( j;^, y'f^) le système des valeurs particulières qu'il faut attribuer à X et à Y pour obtenir la solution >s^, une expression (m, n) contiendra les dérivées de X jusqu'à l'ordre 1+ m, celles de Y jusqu'à l'ordre y + /t. Les conditions pour lesquelles nous l'avons définie l'assujettissent simplement à s'annuler quand on y remplace le couple (X, Y) par les couples {Xg^^y^) et {x'f., y^), au nombre total de

L'étude détaillée de l'expression obtenue et des cas dans lesquels elle s'annule a été donnée au n*>* 341 et 342.

Un calcul facile donne ensuite ( * )

«-Hl

En combinant ces trois formules, on sera conduit à une expression de la forme

dx dy

«>iogB,„\ de

ày

we / «)iogC„\ <J6

Or, si Ton remplace z par l'une quelconque des solutions 2/, la fonction 8 s*annule ainsi que toutes ses dérivées. Le second membre de l'équation précédente s'annulera donc quand on y remplacera z par 5,-; et, comme une expression {m, n) est définie à un facteur près, d'après l'hypothèse, par ces conditions, ce second membre sera nécessairement proportionnel à 0. Si l'on désigne par — y le facteur de proportionnalité, on voit que l'on aura

(II

dxôy

dloffB

oy

^IogG«\ d^

dx

0 satisfera donc bien, comme nous l'avons annoncé, à une équation linéaire du second ordre, dont elle sera évidemment l'intégrale générale.

Imaginons, par exemple, que Ton parte de l'équation

On aura alors

àx ày Zi = Xl-^-yi, ^ = X-hY,

et le déterminant (4) se réduira au suivant

^1 Jl

Xp "^ y p ^1

Jp ' ' ' J P

(*) Ces formules doivent subir des modifications que le lecteur trouvera aisément lorsqu'un des nombres m ou /i est égal à zéro.

Par Taddition d'une colonne, on peut le transformer ainsi I X Y X' ... X^'^^ r ... Y^"^ '

kI 371 ^, < ... ar'^' jr\ ... yn)

on retrouve, avec une très légère différence de notation, les expressions que nous avons étudiées au Chapitre II et qui sont les intégrales générales des équations pour lesquelles la suite de Laplace se compose d'un nombre limité d'équations; elles dérivent toutes, comme on voit, de l'équation élémentaire

dxdy

par une simple application de la proposition générale que nous venons d'établir relativement à une équation linéaire quelconque.

400. Cette proposition générale définit certains cas dans lesquels une expression (/n, n) satisfait à une équation aux dérivées partielles du second ordre \ nous allons nous proposer maintenant de déterminer toutes les fonctions (m, n) jouissant de la même propriété.

Soit

(12) 9 = Az + B,^-+...H-B„^^+C.^-+...+ C„^

une expression (m, n) que nous supposerons d'abord tout à fait quelconque. Si l'on calcule les dérivées de 8 jusqu'à un ordre

quelconque p, on obtiendra en tout — — ^ équations. On

peut éliminer, au moyen de l'équation aux dérivées partielles, toutes les dérivées prises à la fois par rapport k x et à y^ i\ restera donc seulement, dans les expressions des dérivées de 6, m-h n-\' 2p dérivées de z, soit, en comprenant Zj

quantités. Ce nombre finit toujours par être inférieur à celui des

LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. IjS

dérivées de 9; rélirainalion de z et de ses dérivées conduira donc à une ou plusieurs relations entre 6 et ses dérivées, c'est-à-dire à une ou plusieurs équations aux dérivées partielles pour 0, qui seront, en général, d'ordre supérieur au second.

Si l'on connaît une fonction 0 satisfaisant à toutes ces équations, on pourra déterminer z et ses dérivées en fonction de 6, sans aucune intégration.

Ces conclusions ne s'appliquent évidemment qu'à l'hypothèse la plus générale; elles sont complètement modifiées, nous allons le voir, si 6 satisfait à une équation aux dérivées partielles du second

ordre. Il faut alors retrancher des ~ — équations qui

pourraient, lorsque 9 est connu, déterminer ;; et ses m -f- n -h a/? dérivées, toutes celles que l'on obtient en prenant l'équation du second ordre à laquelle satisfait 0 et lui adjoignant toutes ses dérivées jusqu'à l'ordre/? — 2, ce qui donne en tout

équations. Il restera donc seulement

— — an -f- I

relations qui ne peuvent déterminer z et ses m-\- n-h ^p dérivées. Il y aura toujours m-]-n de ces fonctions qui demeureront arbitraires. Dès que l'on aura écrit les trois équations qui ex-

priment 9, -r-> ;p> il sera inutile de continuer les dérivations; elles

introduiraient autant de dérivées nouvelles de ^ à déterminer que de nouvelles relations.

Les équations qui donnent U, -r-9 -.— constituent donc ce que

M. Mayer a appelé un système complet, c'est-à-dire un système dans lequel toutes les conditions d'intégrabilité sont satisfaites. Si l'on prend comme inconnues auxiliaires les fonctions suivantes

dz d^z d'«5

> Wj = -r— - 9 • • • > U,n =

dx^ '" dx"^

dz d^z d^z

que l'on ajoutera à z, ce qui donnera /7i -f- n -h i fonctions inconnues, Téquation qui donne 0 fournira une relation entre ces inconnues; on aura

dz du\ àu„i-i __

âz dvi àv„ !

Les autres dérivées des fonctions w, ..., Um-\\ ^j •••? ^«-i seront définies par l'équation au^ dérivées partielles à laquelle

Au

satisfait z. L'équation qui donne -7- et qui contient en général ^^^ déterminera -r^y celle qui exprime y- déterminera de même

-T-^: enfin les deux autres dérivées de Um et de Vn s'obtiendront ày

au moyen de l'équation aux dérivées partielles.

Nous avons bien, on le volt, un système complet, de la nature de ceux que M. Mayer a étudiés (* ). Les fonctions inconnues sont au nombre de m -H n 4-1; mais, comme elles sont liées par l'équation qui donne 9, l'intégrale générale contiendra seulement m-{- n constantes arbitraires. Par suite de la forme linéaire des équations, la valeur générale de z sera de la forme

On - . . j cim+n désignant des constantes arbitraires que l'on devra pouvoir déterminer de telle manière que z et ses m -\- n premières dérivées prennent les valeurs les plus générales satisfaisant à l'équation qui donne 9. Si l'on porte la valeur précédente de z dans l'expression (12) de 9, le coefficient de ai devra être nul; et, par suite, 9 s'annulera lorsqu'on y remplacera z par zi. Gomme on a m -H /i quantités zi^ 9 sera déterminée à un facteur près par cette condition; 9 rentre donc dans la catégorie des fonctions que nous venons d'étudier.

On pourrait objecter que les solutions zi peuvent rendre illusoire la forme (4) de 9; mais on verra aisément que ce fait excep-

(') Mayer (A.)> Ueber unbeschrànki inte g rable Système von linearen totalen Differentialgleichungen und die simultané Intégration linearer partieUer DifferentialgleichuéXgen {Mathematische Annalen^ t. V, p. 418; 1872).

LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS LINEAIRES, ETC. JjS

tionnel ne se présente pas ici; car les déterminants qui sont, dans

cette formule (4), les coefficients de ^-~> ^— ^ ne sont jamais

nuls. Ce sont ceux que l'on obtient lorsqu'on veut déterminer les constantes a/, de telle manière que z et ses dérivées, moins la dernière prise par rapport à a; ou par rapport à y^ prennent des valeurs données à l'avance ; et nous avons indiqué que, d'après les propriétés de la solution générale, ces déterminants ne peuvent être nuls. Mais on peut adresser au raisonnement précédent une autre objection plus sérieuse que nous allons examiner.

Nous avons admis que les deux équations par lesquelles on

exprime v-> -r- peuvent être résolues respectivement par rapport

à -T — 7, » ^ T' Cela a toujours lieu, en effet, si les nombres m et

n sont supérieurs à zéro; mais, dans le cas exceptionnel où l'un de ces entiers se réduit à zéro, la proposition peut être en défaut. Supposons, par exemple, que 8 ne contienne pas les dérivées de z par rapport à ^; et donnons-lui, pour la commodité du raisonnement, la forme suivante

0 = kz H- Bi ( -; \-az

qui est tout aussi générale que si on l'avait ordonnée simplement par rapport aux dérivées de z. Si l'on forme la dérivée de 8 par rapport à x, on aura, en général,

dP fdz \ dP~^ Vf da\ .dz-\

et, par suite, l'expression de — sera de la forme

d^ .dz ^ ^ dz d^z

âx dx dy o[x'

A ayant la même valeur que précédemment. Si A n'est pas nul,

dz cette équation donnera —, et l'on pourra appliquer sans modification le raisonnement général. Il reste donc seulement à examiner

le cas où Ton a

mais alors substituons à réquation proposée (£) sa transformée (Ef) par la méthode de Laplace; c'est-à-dire posons

àz

- -+■ az = z .

L'expression de 9 prendra la forme nouvelle

dz' <^«-»V

6 = Bj ^ -+- B j h . . . -+-Brt -T — - — i" >

qui contient une dérivée de moins. En recommençant sur cette nouvelle expression de 6 les raisonnements précédents, on reconnaîtra que cette fonction doit s'annuler lorsqu'on y remplacera z' par n — 1 intégrales particulières de (E|); ou bien on sera encore conduit à appliquer la transformation de Laplace et à passer à l'équation (E2). On peut donc énoncer la proposition suivante :

Si la fonction

dz d"' z

ày " dy'^

satisfait à une équation du second ordre, elle s'annulera lorsqu'on y remplacera z par n intégrales particulières de V équation linéaire proposée, et elle sera définie à un facteur près par ces conditions ; ou bien elle pourra être ramenée, par V application successive des substitutions de Laplace^ à une expression de la forme

définie par les mêmes propriétés relativement à l'équation (E,).

Si l'on suppose f= /i, on retrouve la substitution de Laplace.

En résumé, le théorème du n^ 399, combiné, dans certains cas exceptionnels où l'un des nombres /n et /i doit être nul, avec l'application de la méthode de Laplace, donne toutes les fonctions (m, n) satisfaisant à une équation linéaire du second ordre.

Supposons, par exemple, que Ton prenne

OU, plus simplement,

en vertu de la proposition précédente, 9 ne pourra satisfaire à une équation du second ordre que si Ton a

ce qui donne la première substitution de Laplace, ou si l'on a

(18) X = --Lî^,

Zi désignant une intégrale particulière de Téquation proposée. Ce résultat avait été déjà obtenu et étudié par M. Lucien Lévy ( * ) dans un intéressant Mémoire sur lequel nous aurons l'occasion de revenir.

401. Au milieu de toutes les transformations précédentes, celle de Laplace apparaît donc, on serait tenté de le penser, comme une sorte de transformation singulière échappant à la loi générale qui donne toutes les autres. Nous allons montrer qu'une telle vue .serait inexacte : ta transformation de Laplace est comprise, comme cas limite, dans celles que nous venons de définir.

Pour donner plus de précision au raisonnement, bornons-nous aux expressions de la forme (16). Il faudra, semble-t-il, pour que la substitution de Laplace soit comprise dans les transformations générales, que l'on puisse obtenir une solution particulière de l'équation aux dérivées partielles satisfaisant à la relation

i dz' dz'

Or il suffit de substituer dans l'équation aux dérivées partielles

(*) LÉVY (Lucien), Sur quelques équations linéaires aux dérivées partielles {Journal de l'École Polytechnique, LVI* Cahier, p. 63; 1886).

la valeur précédente de — ; on trouvera

Comine z* ne peut être nul, il faudra que Tinvariant h le soit; c'est là un cas exceptionnel que nous pouvons écarter.

Il n\ a donc pas, en général, de solution particulière de Inéquation proposée pour laquelle on ait

i dz'

z dy

mais nous allons montrer qu'// existe une infinité de solutions pour lesquelles le premier membre est aussi voisin qu'on le

veut de — a,

Posons, en effet,

i dz (.0) -„ =a-ix.

L'inconnue [x, que nous substituons ainsi à c, satisfait à une équation non linéaire du second ordre. Si l'on porte, en effet,

dans l'équation à laquelle satisfait ^, la valeur de — déduite de l'équation précédente, on a

ou, en développant,

ÔX dx [A

On aura donc (21) dXo^z = — (-^ -4- 6 + - j rfx - (a -I- fx) ^7,

et il suffira d'écrire la condition d'intégrabilité pour obtenir l'équation à laquelle doit satisfaire |x. On trouve ainsi

d'ix d\ï. du. ,, iv . àh ,d\k ^ du.

à chaque solution, différente de zéro, de cette équation corres-

pondra une valeur de z définie, à un facteur constant près, par la formule (21).

L'équation ( 22 ) admet évidemment la solution [jl = o, à laquelle ne correspond aucune valeur de z; mais cette solution n'est pas isolée; il y a des valeurs infiniment petites de [jl qui sont exprimées d'une manière approchée par la formule

|x = hX,

X désignant une fonction arbitraire, mais infiniment petite, de x. Il y aura donc des intégrales de Téquation aux dérivées partielles

proposée pour lesquelles - — sera infiniment voisin de — a.

On pourrait encore le reconnaître en étudiant les différentes équations particulières dont nous avons donné l'intégrale générale. Nous avons vu, par exemple, au n" 352, que l'équation E(o, p') admet pour intégrale générale

Z(o, P') = Y -+- fxix — 7)-P' dx.

Faisons ^'= — i et remplaçons X par X", nous aurons

La valeur de [jl sera

Il n'y a aucune solution pour laquelle [x soit nul ; mais, si Ton annule la fonction Y, il reste

il suffira de choisir la fonction arbitraire X de telle manière que ^

soit très grand, et l'on aura des valeurs de [jl très voisines de zéro.

402. La proposition générale que nous avons étudiée depuis le commencement de ce Chapitre nous a permis de rattaeher à toute équation linéaire une série d'équations semblables dont l'intégrale se forme avec l'intégrale générale de la proposée et avec ses

l8o LIVRE IV. — CHAP. VIII.

dérivées prises jusqu'à un ordre déterminé. Nous allons indiquer maintenant une autre proposition qui conduit au même résultat, mais par des moyens tout à fait différents, puisqu'elle repose essentiellement sur l'emploi de certaines quadratures. Désignons par P et Q deux fonctions linéaires de z et de ses dérivées prises jusqu'à un ordre quelconque, et proposons-nous de déterminer P et Q de telle manière que

Vdx-^Cldf

soit une différentielle exacte e/Q, et que son intégrale 6 satisfasse à une équation linéaire du second ordre.

Ecrivons d'abord la condition d*intégrabilité. Si, pour abréger, on désigne par ^{z) le premier membre de l'équation à laquelle satisfait z^ il faudra évidemment que l'on ait une identité de la forme

^Q àv ^^ ^di ^d:f -^d^f

ox oy ox oy dx*

A, B, C, D, ... étant des fonctions quelconques de x et dey. On peut, au moyen des intégrations par parties, donner au second membre la forme suivante :

Par suite, si l'on écrit

ox

au lieu de P et de Q, ce qui change seulement la forme de P et de Q sans changer leur valeur^ on aura l'identité plus simple