A«-+- AB'— BA'— B«(^ H- A) = F(A
F (A) désignant un polynôme entier et à coefficients constants.
Soit A = Al une racine de ce polynôme. On peut admettre que l'hypothèse A = A| n'annule pas à la fois A et B. Sans cela il n'y aurait qu'à diviser Ay -H By par A — A| et à reprendre le raisonnement précédent. Substituons partout A| à A, et soient A| et B| les valeurs que prennent A et B. Si l'on désigne par y^ une solution particulière de l'équation (i5) où l'on a remplacé A par ht, la
fonclion correspondante
qui ne sera pas nulle si Ton a choisi convenablement j^i, sera une solution de Uéquation
dt^
= [4/(0 + Ai]^;
et, par suite, si Ton applique le théorème général du n^ 408, la fonction
sera l'intégrale de l'équation
dt^
=Kiy-^^-^^^
qui est de même forme que l'équation (17). Nous allons ramener la valeur de Z à la forme (16) et examiner quel est le degré de ses deux termes par rapport à A.
La valeur de Z peut s'écrire
Z = (A^ + By)'-(A^ + B/)lAlZl±^'.
En développant et tenant compte de l'équation (i5), on la ramène à la forme
Z = Aoj^H- Bo/, où l'on a
( A,^,-h B^y, )Ao= [A'Ai-+- BAi(«p -h A) - AA', - ABi(^ -4- h,)]yy
-4- (B, A' H- BBi(© -f- A) - AA, - AB; )y\,
(A,7,-hB,y,)Bo= [AiA-f-A,B'-BA;-BB,((p-+-Aj)]^i
(AB1-+-B1B'— BAi -BB'i)/!.
Remarquons d'abord que ces valeurs de Âq, Bq s'annulent pour h^=hx] on le reconnaît immédiatement en remplaçant Â, B, h par A|, B|, Ai et tenant compte de la formule (19) où Ton aura fait h = ht. On pourra donc diviser les valeurs de A©, Bo par A — A, et, par conséquent, réduire d'une unité leur degré par rapport à A.
Cela posé, supposons d'abord que A et B soient d'un même
202 LIVRE fV. — CHAP. IX.
degré n par rapport à A. Le coefficient Aq sera au plus de degré /i + i; mais ce degré se réduira à n après la division. Le degré de Bo sera n et, après la division, il se réduira au plus k n — i •
Supposons maintenant que A soit du degré /i et B de degré inférieur. Le coefficient A^ sera du degré n au plus, ainsi que B©; et par suite, après la division, ils se réduiront Tun et l'autre au degré n — i .
Par conséquent, si les degrés de A et de B sont d*abord n et /i, on les réduira par la première opération à n et à n — i , puis à n — i et à /i — i, et ainsi de suite. On voit donc que Ton finira par parvenir à une équation pour laquelle le degré de A et de B par rapport à h sera zéro.
Les formules (i8) nous donnent alors
A'h- A(© — ^;-hB«>'= o.
Il est très aisé de résoudre ces équations et de montrer qu'elles conduisent, soit à Téquation (i5) pour B= o, soit, pour B = i, à celle que l'on obtient par la première application de la méthode. La proposition que nous avions annoncée est ainsi établie.
Proposons-nous, par exemple, de caractériser les équations que l'on peut faire dériver en nombre illimité de l'équation (i3). D'après la proposition précédente, leur intégrale générale sera de la forme
f Q\-f\ désignant deux polynômes entiers en A. Si l'on remplace j' par sa valeur, on trouvera
F et F| désignant des polynômes entiers par rapport à y/A. Ainsi ces équations sont les seules qui admettent des intégrales de la forme
F étant entier par rapport à y/Â ( * ).
(') 'On pourra consulter une Note sur les équations différentielles linéaires du second ordre publiée en 1875 par M. Moutard et insérée aux Comptes rendus,
410. Revenons aux propositions générales que nous avons établies.; elles peuvent être résumées comme il suit : à toute équation harmonique on peut rattacher une suite illimitée (Inéquations harmoniques qui s'intégreront toutes en même temps que ^équation initiale. De plus, si Ton sait déterminer les solutions harmoniques de la première équation, on pourra connaître aussi, sans aucune intégration, les solutions harmoniques de toutes les autres. Ces résultats, que nous avons déduits du théorème de M. Moutard, peuvent être complétés par l'emploi de l'une des transformations générales définies au n^ 399.
Étant donnée Féquation
nous avons vu (n^ 399) qu'il existe une infinité de fonctions de la forme
satisfaisant également à une équation du second ordre : cherchons s'il est possible de déterminer les fonctions H, P, Q de telle manière que l'équation nouvelle soit de la forme
{il) '-r = Ài^,.
ox dy
La substitution de la valeur de z^ dans cette équation nous donne un résultat de la forme
HX
^^^(^ + ^M)L^/^H^^^Px\^-
dx dy dx ^y A \ ^y ^^ ^y / ^-^
\dx ' Oxây
)xdy ) dy dy dx^ Ox ây^ dx ^dy
Celte relation doit être vérifiée identiquement : il faut donc que
Ton ait d'abord
^ - ^ dy dx '
(t. LXXX, p. 739). Le savant géomètre y établit, par uae méthode toute difTérente, un résultat équivalent à celui que nous venons d'énoncer en dernier lieu, relativement aux équations différentielles qui dérivent de l'équation initiale y" z= 0.
2o4 LIVRE IV. — CHAP. IX.
c'est-à-dîre
Ne nous arrêtons pas au cas, dont l'analyse est facile, où Tune des fonctions f (^), ^{y) serait nulle; on peut alors, en prenant comme nouvelles variables x ely les fonctions
r dx r dy
J ^{xY J ^{y/
réduire P et Q à l'unité. Supposons donc
nous aurons encore à résoudre le système
Ox dy ' dx Oy
di^dy^^''^^'
On voit que H doit être une fonction de la seule variable x-hy] pour la commodité des calculs, nous poserons
Les formules précédentes donnent alors
. . e* e'î dU
dik dl „<^H d^U
dx dy dx dx*
Cette dernière équation admet la solution particulière
