CHAPITRE XIJ

TRAJECTOIRES ORTHOGONALES d'uNE FAMILLE DE SURFACES.

Condition pour que les courbes d'une congruence défînie par deux équations différentielles du premier ordre soient normales à une famille de surface*^. — Interprétation géométrique de la relation analytique à laquelle on est coi duit. -~ Condition nécessaire et suffisante pour que les droites d'une congruence soient les normales d'une surface. — Propriétés relatives aux deux nappes de la surface des centres de courbure. — Intégrale première, obtenue par In Géométrie, de l'équation difTcrentielle des lignes géodésiques tracées sur une surface du second degré. — Étude du cas où Tune des nappes de la surface des centres se réduit à une courbe. — Surface à lignes de courbure circulaires ; cyclide de Dupin. — Condition pour que les courbes d'une congruence admettent une famille de surfaces trajectoires orthogonales lorsqu'on connaît les équations en termes finis qui définissent chaque courbe de la congruence.

438. Nous allons maintenant continuer l'étude des congruences de courbes en nous plaçant à un point de vue nouveau. Nous chercherons la condition pour que les courbes d'une congruence donnée soient les trajectoires orthogonales d'une famille de surfaces.

Considérons d'abord une famille de surfaces définie, en coordonnées rectangulaires, par l'équation

si l'on se propose de déterminer leurs trajectoires orthogonales, on aura à intégrer le système d'équations différentielles

. dx dv dz

dx dy dz

Les deux intégrales de ce système contiendront deux constantes arbitraires et détermineront, par conséquent, une congruence de courbes qui couperont à angle droit les surfaces considérées.

Donnons-nous maintenant une congruence de courbes, et sup-

TRAJECTOIRES ORTHOGONALES d'uNE FAMILLE DE SURFACES. ^5y

posons d'abord que les courbes qui la composent soient définies seulement par leurs équations différentielles, qui seront de la forme

d.r ^ dy dz

X, Y, Z étant des fonctions données de x^ y, z. S*il existe une surface (S) coupant à angle droit toutes les courbes, on aura, pour chaque point de cette surface,

p ei q désignant les dérivées de z considérée comme fonction de X et de^.

On voit qu'il n'existe pas, en général, de surface normale à toutes les courbes de la congruence; car les deux équations (4) peuvent être envisagées comme deux équations aux dérivées partielles auxquelles doit satisfaire une même fonction 2 de x et de ^', et deux telles équations n'ont pas, en général, de solution commune. C'est ce que montre, du reste, le raisonnement suivant.

S'il existe une fonction z satisfaisant aux deux équations (4), les

valeurs de t^> -p-» obtenues en diflférentiant ces deux équations, devront être égales; on devra donc avoir

En développant et en remplaçant /? et y far leurs valeurs tirées des équations (4), on trouve

S4]pposons d'abord que cette condition ne soit pas vérifiée identiquement. Alors elle fera connaître 5, et il faudra chercher si les valeurs de z qu'elle détermine satisfont aux équations (4)- Cela peut arriver; mais il n'est pas démontré, et il n'est pas vrai en général, que les valeurs de z définies par l'équation (5) soient, D.— II. 17

en tolalilé ou en partie, des solutions communes des équations (4)* Ainsi :

Quand V équation (5) n^aura pa^ lieu identiquement, les courbes de la congruence ne pourront être normales qu^à un nombre limité de surfaces fournies par les valeurs de z qui satisfont à cette équation; mais, si aucune de ces valeurs de z n^est solution commune des équations (4)^ il fi'y aura aucune surface coupant à angle droit toutes les courbes de la congruence.

Considérons, par exemple, le système d'équations différentielles

dx cfy dz

x-Y-bz — cy y-^cx — az z -¥ ay — bx

La condition (5) se réduit ici à la suivante

ax ■+■ by -H c-5 = o,

et il est aisé de voir que les équations (4) ne sont pas vérifiées lorsqu'on y substitue la valeur de z qui est définie par cette équation.

439. Supposons maintenant que Téquation (5) soit identiquement vérifiée; dans ce cas, les deux équations (4) admettront une solution commune qui contiendra une constante arbitraire.

Il suffit, pour le démontrer, de répéter un raisonnement déjà fait au Livre L Considérons une fonction quelconque z satisfaisant à la première des équations (4). Elle ne vérifiera pas, en général, la seconde de ces équations. En tenant compte de la première et de ridentité (5), on sera conduit à la relation

qui aura lieu pour toutes les valeurs de x et de^. On déduit de là

rindice o indiquant la valeur de ^r+^pour x=:Xq, On voit

TR.UECTOIRES ORTHOGONALES D*UNE FAMILLE DE SURFACES. sSg

donc que, si y 4- « est nul pour x=:Xq quel que soil y, il sera nul pour toutes les valeurs de x et dey. Ainsi :

Toute/onction z satisfaisant à la première des équations (4) pour toutes les valeurs de x et de y^ et à la seconde de ces équations pour X =: Xq, satisfera aussi à cette dernière équation pour toutes les valeurs de x et de y.

D'après cela, faisons x = Xq dans la seconde équation (4)) et déterminons la fonction Zt dey qui satisfait à cette équation et se réduit à Zq TpouTy=yQ, Cette fonction ^i contiendra la constante arbitraire ^q. Puis déterminons une fonction z satisfaisant à la première équation (4) et se réduisant à Z| pour j? = Xq. En vertu de la proposition précédente, cette fonction z^ qui dépend de la constante Zqj satisfera également aux deux équations (4).

Toutes les fois que Téquation (5) sera identiquement vérifiée, il y aura, on le voit, une famille de surfaces coupant à angle droit toutes les courbes de la congruence considérée. Soit

Féquatlon de cette famille de surfaces. On pourra déterminer la fonction y(x,^, z) par les trois équations

(6) i^=XX, ^=XY, ^ = ).Z.

^ ox ây ' dz

En égalant les différentes valeurs de t— r-» • • • que Ton peut déduire de ces équations, on verra que X doit satisfaire aux trois équations

X^— Y— x/"— — — W dy ôx \ày dx ) '~ ^

Z — — X^ • )(— -—\-o ôx '' dz \dx dz )

On retrouverait la condition (5) en ajoutant ces équations après les avoir multipliées respectivement par Z, X, Y. Supposons, par exemple, que l'on ait

26o LIVRE IV. — CHAP. XII.

Les formules (6) nous montrent tout de suite que l'on pourra prendre X == i , et Ton aura

440. Après avoir obtenu, sous la forme (5), la condition pour que les courbes d'une congruence admettent des surfaces trajectoires orthogonales, il nous reste à interpréter cette condition et à la traduire par une relation géométrique équivalente. Commençons par considérer une famille de surfaces (2) et leurs trajectoires orthogonales (C). Soit M un point quelconque de l'espace par lequel passe une surface (S) et une courbe (C). Considérons toutes les surfaces (S), engendrées par des trajectoires orthogonales, qui contiennent cette courbe (C); et cherchons toutes celles de ces surfaces (S) qui admettent en M pour une de leurs directions principales la tangente à la courbe (C). La seconde direction principale sera, évidemment, la tangente commune en M à (S)Qtà(S); et, comme ces deux surfaces se coupent à angle droit, cette tangente commune ne peut être direction principale de (S) sans l'être en même temps de (2) (*). Aiiisi :

Quand les courbes d'une congruence sont normales à une surface (S), toutes les surfaces de la congruence qui passent en un point M de (S) et admettent en ce point la normale à (S) pour direction principale forment deux séries distinctes,

C) Considérons, en efTet, les représentations sphériques des deux surfaces (S), (S) sur une même sphère. La courbe d'intersection (T) aura deux représentations distinctes (y), (f') suivant qu'on la regardera comme appartenant à l'une ou à l'autre des deux surfaces (£), (S); et les points m, m' qui se correspondent sur ces deux courbes sphériques, c'est-à-dire qui sont les représentations sphériques d'un môme point M de (F), seront toujours à une distance égale à un quadrant. La tangente MT en M à la courbe (F) étant, par hypothèse, une tangente principale de (S), la courbe décrite par le point m' aura sa tangente m' <' en m' parallèle à MT (n"* 142) et, par suite, perpendiculaire à l'arc de grand cercle mm'. Or on sait que, lorsqu'un arc de cercle de longueur invariable se meut sur la sphère, il ne peut être normal à la courbe décrite par une de ses extrémités sans être normal à la courbe décrite par l'autre extrémité m. II résulte de là que la tangente m,t en m à la courbe décrite par ce point est aussi perpendiculaire à l'arc mm' et, par suite, parallèle à la tangente MT. Il est ainsi établi que MT est aussi une tangente principale de (S).