TRAJECTOIRES ORTHOGONALES D*UNE FAMILLE DE SURFACES

admettant au point M deux plans tangents rectangulaires [qui sont les plans principaux de (S)].

Nous allons maintenant démontrer la réciproque, et prouver que cette relation géométrique est équivalente à Téquation (5). Reprenons pour cela les équations différentielles des courbes de la

congruence

dx __ dy __ dz

Les surfaces engendrées par ces courbes devront satisfaire à Téquation linéaire

(8) pX-hqY — Z^o,

Si l'on veut exprimer qu'une de leurs directions principales au point {x^y, z) est la tangente à la courbe de la congruence, il faudra, dans l'équation difTérentielle des lignes de courbure

dx -hp dz dy -+- q dz dp dq

remplacer dx^ dy^ dz par X, Y, Z, ce qui donnera

rX-i-^Y - 5X-+-/Y

En difTérentiant l'équation (8) successivement par rapport à x et à y y on obtiendra les valeurs de

rX-h^Y, 5X-+-^Y

en fonction des dérivées premières; et ces valeurs, portées dans l'équation (9), nous donneront

àZ dx

'Pdx'

^ dx

"^ày

dZ dz '

d\ ^^dz'

c)Y '^dz

Cette équation du second degré par rapport à /> et à q, jointe

à l'équation (8), définira deux systèmes de valeurs de p et de q.

Supposons, par exemple, que l'on ait pris le point considéré

iGl LIVRE IV, — CHAP. XII.

pour origine des coordonnées et la tangente à la courbe de la congruence pour axe des jr. On aura

(il) } Y — ax -^- by -h cz -h . . . ,

L'équation (8) donnera

/? = o, et l'équation (lo)

(il) cq"^ -^{b— c' )q — b' =o.

Aux deux valeurs de q correspondent deux plans tangents; les surfaces qui satisfont à la condition proposée doivent être tangentes à Tun ou l'autre de ces plans.

Avec les valeurs (i i) de X, Y, Z, la condition (5) se réduit à la

et elle exprima, par conséquent, que les deux plans définis par l'équation (12) sont perpendiculaires. Nous obtenons donc la proposition suivante :

Etant donnée une congruence quelconque, les surfaces de la congruence qui sont assujetties à contenir une courbe (R) de cette congruence et à admettre en un de ses points M la tangente MT à la courbe comme direction principale forment deux séries distinctes et sont tangentes à deux plans différents passant par la droite MT. Réciproquement, toute surface de la congruence tangente en M à un de ces deux plans satisfait à la condition proposée.

Pour que les courbes de la congruence admettent des surfaces trajectoires orthogonales, il faut et il suffit que les deux plans précédents soient toujours rectangulaires (').

C) On peut proposer une autre interprétation géométrique de la condition d*orthogonaIité. Étant donnée la courbe (K) et un point M déterminé de cette courbe, considérons les courbes infiniment voisines de la congruence, et prenons sur chacune d'elles le point M' pour lequel la tangente à cette courbe vient rencontrer la tangente en M à la courbe (K). Le lieu des points M', ou mieux le lieu des droites MM', est un cùnc du second degré contenant la tangente en M;

TRAJECTOIRES ORTHOGONALES d'cN'E FAMILLE DE SURFACES. 2GJ

441. Pour montrer par des exemples rulilllé de la proposition précédente, supposons que l'on connaisse deux familles de surfaces orthogonales se coupant mutuellement suivant des lignes de courbure communes. Si l'on considère la congruence formée par toutes ces lignes de courbure, la condition précédente sera évidemment vérifiée : il existera donc une troisième famille de surfaces coupant à angle droit les lignes d'intersection et, par conséquent, les surfaces des deux premières familles. Ainsi :

Lorsqu'on a deux familles de surfaces se coupant mutuellement à angle droit, et sui^'ant des lignes de courbure communes, il existe nécessairement une troisième famille de surfaces qui forme avec les deux premières un système triple orthogonal.

Supposons encore que la congruence soit formée de droites. Toutes les surfaces de la congruence passant en un point M d'une droite (rf) de la congruence admettront cette droite pour tangente asymptotique. Mais elle sera, en même temps, direction principale si la surface réglée est l'une des surfaces développables de la congruence. Donc :

La condition nécessaire et suffisante pour que les droites d'une congruence soient les normales d'une surface est que les développables de la congruence se coupent à angle droit.

C'est là une proposition très importante au point de vue géométrique (*) et dont il sera utile de développer les conséquences.

Nous savons que les droites d'une congruence sont, en général, tangentes à deux surfaces (S), (S'). Des deux familles de développables, les unes ont leurs arêtes de rebroussement (C) sur la pre-

nous laisserons au lecteur le soin de le démontrer. Pour que les courbes admet- Icnt des trajectoires orthogonales, il faut et il suffit que les deux droites dMntersection de ce cùne par le plan normal à la courbe (K) soient rectangulaires, c'est-à-dire que le cône soit équUatère.

(*) Elle était connue de Malus et de Dupin; mais elle a été établie pour la première fois, d'une manière complète, par M. J. Bertrand, dans le Mémoire sur la théorie des sur/aces inséré en i8'/i au Journal de Liouvillej (i" série, t. IX, p. i33).

mière surface et touchent la seconde surface suivant des courbes (D'); les autres touchent la première surface suivant des courbes (D) conjuguées des courbes (G) et ont leurs arêtes de rebroussement (C'), conjuguées des courbes (D'), sur la seconde surface. Si donc les deux séries de développables se coupent à angle droit, les courbes (C) et les courbes (C) auront, en chaque point, leur plan osculateur normal à la surface sur laquelle elles sont tracées. Les lignes qui sont tracées sur une surface et qui satisfont à cette condition que leur plan osculateur soit toujours normal à la surface ont reçu le nom de lignes géodésiques. Il résulte donc de ce qui précède la proposition suivante :

Quand des droites sont normales à une surface, les arêtes de rebroussement des développables formées avec ces droites sont des lignes géodésiques de celle des nappes de la surf ace focale sur laquelle elles sont tracées.

Réciproquement, les tangentes à une famille de lignes géo^ désiques tracées sur une surface sont les normales d^une autre surface. Dans ce cas, en effet, les plans focaux de chaque tangente sont le plan tangent à la surface et le plan osculateur de la ligne géodésique; et ces deux plans sont rectangulaires, diaprés la définition même des lignes géodésiques.

Ces propositions sont immédiatement applicables dans Tétude des lignes de courbure. Comme conséquence des remarques précédentes, nous obtenons les résultats suivants.

Soient (S) une surface donnée, (2) et (2') les deux nappes de la surface des centres de courbure de (S). Toute normale en un point M de (S) est tangente en un point C à (S), en un point C à (5/); C et C sont les centres de courbure principaux. Toutes les surfaces réglées, engendrées par des normales de (S), qui contiennent la normale en M sont tangentes en C à la nappe (2) et en (C) à la nappe (2'). Les plans tangents en C et en C sont rectangulaires; ce sont les plans principaux de (S) pour le point M.

Si l'on se déplace sur une des lignes de courbure, la normale à la surface engendrera une surface développable dont Taréte de rebroussement, lieu du point C par exemple, sera une ligne géodésique de (2); cette développable sera tangente à la nappe (2')

TRAJECTOIRES ORTHOGONALES d'uNE FAMILLE DE SURFACES. '265

en tous les points de la courbe (D') décrite par le point C. Si Pon se déplace de même sur l'autre ligne de courbure, le centre de courbure correspondant C décrira sur la nappe (S') une ligne géodésique, arête de rebroussement de la développable engendrée par la normale; cette développable touchera la première nappe (S) en tous les points d'une courbe (D) décrite par le point C.

Si, plaçant l'œil en un point quelconque, on regarde dans la direction de l'une des normales de (S), les deux nappes de la surface des centres paraîtront se couper à angle droit.

Réciproquement, étant données deux sur/aces (2), (S'), s'il existe des tangentes communes à ces deux surfaces j formant une congruence et telles que les deux surfaces paraissent se couper à angle droit lorsqu'on regarde dans la direction de l'une de ces droites, ces tangentes communes seront les normales d'une surface,

442. Cette dernière proposition trouve une application très intéressante dans la théorie des surfaces du second degré. On sait, en effet, qu'étant données deux surfaces homofocales du second ordre (S), (S'), elles paraissent se couper à angle droit quand on les regarde d'un point quelconque de l'espace; en d'autres termes, les cônes de même sommet circonscrits aux deux surfaces sont orthogonaux. 11 suit de là que les tangentes communes à deux surfaces homofocales quelconques sont les normales d'une famille de surfaces parallèles. Les arêtes de rebroussement des développables formées par ces tangentes communes seront donc des lignes géodésiques de celle des surfaces (2), (S') sur laquelle elles sont tracées.

Ces simples remarques donnent immédiatement l'intégrale première de l'équation différentielle du second ordre qui caractérise les lignes géodésiques dans le cas des surfaces du second degré. Adjoignons, en effet, à la surface donnée (2) une surface homofocale (S'). L'équation différentielle du premier ordre qui définit les lignes de (2) dont les tangentes sont aussi tangentes à (2') sera, évidemment, une intégrale première de l'équation différentielle des lignes géodésiques; car elle contient une constante qui dépend du choix de (2'). Nous reviendrons plus loin sur ce sujet au Chapitre XIV et nous montrerons que les remarques précé-

•a66 livre IV. — CHAP. XII.

dentés conduisent à la détermination complète des lignes géode* siques pour les surfaces du second degré.

443. Les propositions que nous venons d'établir se rapportent au cas où la congruence formée par les normales admet une véritable surface focale. Il peut arriver que les nappes de la surface focale se réduisent à des courbes; on obtient sans difficulté la définition géométrique des surfaces correspondantes.

Supposons, en effet, que les normales à une surface rencontrent toutes une courbe (C). Alors il en passera une infinité par chaque point M de (C); et, comme toutes ces normales forment un cône, qui est une surface développable, leurs pieds décriront une ligne de courbure de la surface; de plus elles seront toutes de même longueur. La sphère décrite du point M avec un rayon égal à la longueur d'une de ces normales sera donc tangente à la surface considérée en tous les points d'une courbe; et, par suite, cette surface est l'enveloppe d'une sphère de rayon variable dont le centre décrit une courbe (G). Réciproquement, il est évident que toute surface susceptible de ce mode de génération jouira de la propriété indiquée.

Dans ce cas, l'une des nappes de la surface focale se réduit à une courbe; l'autre nappe est, en général, une véritable surface dont on peut donner la génération suivante.

Considérons une sphère variable dont le centre (^, j>% z) décrit une courbe (C) et dont le rayon R est une fonction de la position du centre sur la courbe (G). Elle enveloppera une surface (2) dont on obtiendra l'équation en éliminant le paramètre variable entre les deux équations

( (X^xy-r- (Y-y)' H (Z-cr^-R»,

Ces deux équations, prises simultanément, représentent une des lignes de courbure circulaires de la surface. L'équation

(X - :r)»-4- ( Y — j^)«-t- (Z ~ >G)« que l'on obtient en les combinant et qui est homogène par rap-

TRAJECTOIRES ORTGOGONALES d'uNE FAMILLE DE StRPACKS. 167

port à X — x^ Y — y, Z — 5, représente évidemment le cône de révolution formé par les normales en tous les points de cette ligne de courbure circulaire. Par suite, en prenant l'enveloppe de ce cône, on devra retrouver la deuxième nappe de la surface des centres de courbure. Associons à l'équation précédente sa dérivée par rapport au paramètre; nous aurons

Le premier facteur, égalé à zéro, pous donne une surface imaginaire qui est l'enveloppe d'un plan tangent à la courbe (C) et au cercle de l'infini ; le second

, , ... d fdjp\ dx^ -4- dy^ -+■ dz^ (.5, (\-^}5J^ (gpj -^...-4-. ^i =0

fait connaître la courbe de contact du cône avec la surface des centres ou le lieu des centres de deuxième courbure correspondants à tous les points de la ligne de courbure circulaire; ce lieu, on le voit, sera une conique.

Ainsi la deuxième nappe de la surface des centres sera une surface engendrée par des coniques et telle que le plan langent en tous les points de chaque conique enveloppe un cône de révolution.

44i. La proposition précédente permet de définir immédiatement la surface dont les normales rencontrent deux courbes (C), (C). En effet, (C) devra contenir les centres de courbure principaux situés sur toutes les normales passant par un point de (C). Donc (C) sera une conique, il en sera de même de (G) ; et chacune de ces deux coniques devra être le lieu des sommets des cônes de révolution passant par Vautre.

On sait qu'il existe deux coniques satisfaisant à ces conditions : ce sont les ybca/e5 de Dupin. Si nous nous contentons d'étudier le cas le plus général, la première est une ellipse, qu'on peut

définir par les équations

(.6) z^o, ^ + fr=';

l'autre est une hyperbole

Prenons un point quelconque M'(j:', y) sur la première, un point quelconque M"(:r", z!^) sur la seconde. On trouvera facilement

et, par suile, les deux sphères qui ont leurs centres respeclivement sur les deux focales et qui sont définies par les équations

sont constamment tangentes Tune à Tautre, la distance de leurs centres étant toujours égale à la somme ou à là différence de leurs rayons. Elles enveloppent, par conséquent, la même surface; et cette surface répond évidemment aux conditions posées : par suite de son double mode de génération, ses normales rencontrent nécessairement les deux coniques (*).

La variation de la constante k fera connaître toutes les surfaces parallèles dont les normales rencontrent les deux coniques.

Le moyen le plus simple de définir la surface précédente à laquelle Dupin avait donné le nom de cycUde, mais que nous nommerons cyclide de Dupin pour la distinguer des cyclides les plus générales, consiste à employer les coordonnées langentielles.

L'équation tangentielle de la première sphère est

ux -I- py H- p = ~ j: -h AT,

(*) Nous avons déjà employé ces propositions de DuriN aux n*** 103 et 101 [I, p. 129].