TRAJECTOIRES ORTHOGONALES O'UNE FAMILLE DE SURFACES
en supposant
M* -h i>* -h iV* = I .
L'enveloppe sera donc définie par l'équation
(ao) aM u— î^ j -^ b^v^= (p — Ay,
On trouverait de même, en employant la seconde sphère, l'équation
évidemment équivalente à la précédente; car, en la retranchant de cette équation, on obtient l'identité
^*(a*-+- i>'-h iv'— i) = o.
445. Jusqu'ici nous avons défini les courbes de la congruence par leurs équations difTérenlielles. Supposons maintenant que l'on connaisse leurs équations en termes finis ; et commençons par le cas le plus simple, celui où ces équations sont résolues par rapport aux constantes arbitraires.
Soient
les équations des courbes de la congruence. On déduit de là par la diflférentiation
dx dy __ dz
âa âb da db da db da db da db da db dy dz l)z ày dz dx dx dz dx dy dy dx
Appliquons l'équation (5) en y remplaçant X, Y, Z par da db da db da db da db da db da db
dy dy dz dz ' dz dx dx dz ' dx dy dy dx '
nous trouverons ainsi
/da db da db\ F d /da àb da db\ d^ /da db^ da db\l ^ \dy dz dz dy/\dz\dz dx dx dz) dy\dx dy dy dx)\ ~ '
les termes non écrits se déduisant des précédents par des permu-
équation /= o représente le plan de la courbe. On aura des résultats de la forme suivante :
■^ =z mx -h ny -\- qz
db
Si Ton suppose que la seconde équation delà courbe représente
le cjlindre qui la projette sur le plan des œy^ ip, -£ r= <p, , -I = ip^
seront trois fonctions quelconques de x et de y. L*équation (26 prendra alors la forme suivante
âx
<fy
dx
A, B, C étant trois constantes qui dépendent de m, /î, q] m', //', q'. L'application du théorème des fonctions homogènes permet de réduire cette équation au degré 3 (m — i). On aura donc ici
Pour les congruences de cercles, on peut prendre
et (pi, (p2 se réduisent, on le verra aisément, à des fonctions du premier degré. On a alors
et le déterminant qui figure dans la relation (28) peut se ramener au premier degré; le premier membre de cette relation se réduit donc au premier degré et Ton a
TRAJECTOIRES ORTHOGONALES d'l'NE FAMILLE DE SURFACES. ^73
On est ainsi conduit au théorème suivant :
Lorsque les cercles d'une congruence sont normaux à plus de deux surfaces, ils coupent à angle droit toute une famille de surfaces,
qui a été donné par M. Ribaucour et que nous démontrerons plus loin, avec tous les développements qu'il comporte, par une analyse plus élégante.
Lorsque les fonctions / et cp sont, l'une et l'autre, de degré supérieur à i, on peut encore, en introduisant les coordonnées homogènes x^y^ Zy t^ abaisser le degré de la condition (26). Si, pour abréger, on désigne par (P, Q) le déterminant fonctionnel des quatre fonctions P, Q,/, «p, considérées comme dépendant des variables homogènes x^y^ z, ty on pourra mettre l'équation (26) sous la forme suivante :
m-h n /do do\ nx-^n ^ fàf àf\ n \da^ db) m \da^ âb / ~~ ^
m et n étant les degrés de / et de cp, et A désignant le déterminant
à/ d(^ àf do da àb db àa
Le premier membre de l'équation précédente est du degré 3(/n -H /i — 2) par rapport aux coordonnées x, y^ z^ t. Par suite, si une congruence est formée des courbes qui sont V intersection complète de deux surfaces d'ordres m et /i, les courbes de la congruence ne pourront être normales à plus de
surfaces distinctes, à moins qu'elles ne soient les trajectoires orthogonales d'une famille de surfaces.
Pour /2 = I, on retrouve la proposition indiquée plus haut, et qui a, d'ailleurs, été déjà énoncée par M. Ribaucour.
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