CHAPITRE XIII

DAOITES IVOfilLlLES ▲ VUE SURFACE.

Théorie directe pour les congniences recti lignes. — Condition pour que des droites partant des différents points d'une surface soient normales à une antre surface. — Remarque d'Hamiiton. — Équation aux dérivées partielles d'une famille de surfaces parallèles. — Applications. — Théorème de Malus. — Propositions de Dupin relatives aux cas où les développables formées par les rayons incidents ne sont pas détruites par la réflexion. — Définition des axes optiques d'une surface. — Pour que des rayons incidents normaux à une surface aient leurs développables conservées par la réflexion, il faut et il suffit que ces développables découpent sur la surface réfléchissante un réseau conjugué. — Ombilics catoptriques de Dupin. — Exemples particuliers. — Cas où les rayons incidents émanent d'un point unique. — Cas où la surface réfléchissante est du second degré.

447. Dans le Chapitre précëdent, nous avons rattaché la théorie des congruences reclilignes à des propositions qui s^appliquent aux congruences les plus générales. On peut aussi la traiter directement de la manière suivante.

Traçons dans l'espace une surface quelconque (S), assujettie à Tunique condition de ne pas être formée par des droites de la congruence. Les cosinus directeurs {/, i^, (v de Tune quelconque des droites de cette congruence sont des fonctions déterminées des coordonnées rectangulaires a:, y^ z du point où cette droite rencontre la surface (S). Nous allons montrer que la condition nécessaire et sunisante pour que les droites soient normales à une même surface est que l'expression

soit une différentielle exacte, pour tous les déplacements qui s'effectuent sur la sur/ace (S).

Cette condition est nécessaire; car elle est remplie toutes les fois que les droites sont normales à une surface (S). Soient, en circt, X, Y, Z les coordonnées du point où la droite de la con-

DROITES NOaHALES A UNE SURFACE. ajS

grttence est normale à (S). Oq aura, pour tous les déplacements considérés,

D'ailleurs on peut écrire (9.) \ = x—up, \=zy—vp^ l = z—wp,

p désignant la distance des deux points (^, ^', 2), (X, Y, Z). Si Ton remplace X, Y, Z par ces valeurs dans Téquation (1), on trouve

( 3 ) dp = u dx -h i> dy -^ w dz;

le second membre est donc la diOTérentielle de la fonction p.

Réciproquement, si le second membre est la dififérenlielle exacte d'une certaine fonction p, le point défîni par les équations (1) vérifiera la relation (i); et toutes les droites de la congruence seront normales à la surface lieu du point (X, Y, Z). La proposition que nous avions énoncée se trouve ainsi établie.

448. La démonstration précédente conduit par une voie naturelle aux remarques suivantes, qui sont dues à Hamilton.

Imaginons que, par chaque point (x, y^ z) de Tespace, on mène une droite. Les cosinus directeurs de cette droite sont des fonctions données, mais quelconques, de x, y^ z\ et la droite dépend, en général, de trois paramètres. Dans un Mémoire que nous allons citer tout à l'heure, Malus a considéré pour la première fois de tels assemblages de droites, qui sont bien connus depuis les travaux de Plitcker et qui ont reçu le nom de complexes. Ces définitions étant admises, voici en quoi consiste la proposition d*Hamilton :

La condition nécessaire et suffisante pour que les droites forment une congruence {au lieu de former un complexe) et soient normales à une surface est que l^ expression

u dx ■+- V dy -^ w dz

soit une différentielle exacte pour tous les déplacements possibles du point (jT, y, z).

La condition est nécessaire; il suffit, pour le reconnaître, de