y6 LIVRE IV. — eu A F. XIII

répéter la démonsiralion que nous venons de faire; il reste donc à prouver seulement qu'elle est sufGsante. Puisque Ton a, par h^^pothèse,

( 4 ) w dx -h V dy -^ w dz = d^,

on pourra écrire

â^ aO (^

ox oy dz

ce qui donnera

La proposition d'Hamilton se ramène donc à la suivante, qui est bien connue :

Étant donnée une fonction S satisfaisant à V équation précédente, les surfaces

(7) 0 = const.

sont toutes parallèles à lUine déciles.

Au reste, on peut démontrer directement cette proposition de la manière suivante : Menons aux surfaces représentées par Téquation (7) des plans tangents parallèles; les points de contact de ces plans seront distribués sur les courbes représentées par les deux équations

(8) a = -- = const., p = -7- = const. ^ ' dx of

Ces courbes, on le reconnaît immédiatement, sont des trajectoires orthogonales de la famille de surfaces (7). On a, en effet,

d^ du d^du ^du ^d^dj^ ^ ()«e ^ (^«e __

dx dx dy dy dz dz ^ dx dx^ dy dx dy dz dx dz ~~ ^

car le second membre n'est autre que la dérivée par rapport à X du premier membre de l'équation (6).

Comme le plan tangent a une direction invariable aux points où toutes les surfaces (7) sont coupées par les lignes (8), ces trajectoires orthogonales se réduisent nécessairement à des droites^ et,

par suite, réquation (7) représente une famille de surfaces parallèles. D'ailleurs la droite menée par un point quelconque de Tespace et définie par les cosinus directeurs z/, p, w est évidemment la normale à celle des surfaces parallèles qui passe par le point; et elle est, par conséquent, normale commune à toutes les surfaces. La remarque d'Hamilton se trouve ainsi complètement justifiée.

4i9. Les propositions précédentes sont d'un emploi très commode dans les applications. Supposons, par exemple, que les équations d'une droite soient écrites sous la forme

a, 6, p^ q étanl des fonctions de deux paramètres; si l'on considère le point de la droite qui se trouve dans le plan des ay^ et qui a pour coordonnées/?, y, o, on aura ici

/ X j j , adp -^ bdq

• ( ïo) u dx -^ V dy -h w dz = —' ^- ,

et cette expression devra être une différentielle exacte pour toutes

les congruences de normales.

Si la droite est définie de la manière la plus générale par les

équations

/ bz — cy -+- a' = Of

(m) l ex — az -\- b' = Of

\ ay — bx -^ c' = o,

données au n° 139 [I, p. igi], on aura

abc y^a«-h^*-f-cî

En substituant à l'expression

u dx -h V df -\- w dz la suivante

X du -h y dsf -i- z d\v,

qui est, en même temps que la première, une différentielle exacte,

'?.y^ LIVRE IV. — CHAP. xm.

on sera conduit à Texpression

da db de abc a' b' c'

qui devra être une difFérentielle exacte pour toutes les congrueaces de normales.

4o0. On peut déduire des résultats précédents un théorème célèbre, dont la première idée revient à Malus, mais qui n'a été complètement établi que par les efforts combinés de Dupin, de Gergonne, de Quételet. En voici l'énoncé :

Si des rayons lumineux sont normaux à une surface, ils ne cessent pas de conserver cette propriété après un nombre quelconque de réflexions et de réfractions.

Il suffît évidemment, la réflexion pouvant être assimilée à une réfraction d'indice — i , de démontrer le théorème pour le cas de ia réfraction. Voici comment on peut énoncer la loi de Descartes.

Portons sur le rayon incident {flg» 3o) une longueur MA = i ,

Fig. 3o.

et sur le rayon réfracté une longueur MB = /?, n désignant l'indice de réfraction. Composons MA, MB suivant la loi du parallélogramme, la résultante MG sera normale à la surface dirimante. En effet, dans le triangle MBG, on aura

BC

MB

sinBMC siiiMCB

OU, ce qui est la même chose,

(i3) sinAMK = nsinBMH.

C'est la loi connue de la réfraction.

Soient a, p, y? ", ^j ««'j w'j ^\ w' les cosinus directeurs de la

normale à la surface, du rayon incident et du rayon réfracté. En

égalant'la projection de MC à la somme des projections MA, MB,

on a

/im'-h u = Xa,

(14) \ /n^'-hi> = Xp,

X désignant la longueur MC. Soient x, y^ z les coordonnées recta ngulaîres de M. On a, pour tout déplacement de M sur la surface dirimante,

(1 5 ) a dx -^ ^ dy -\- ^i dz = Oy

ou, en éliminant a, p, y au moyen des équations précédentes, (16) udx -h V dy -{- w dz = — n(ii dx -^ v' dy -h w' dz ).

Cela posé, supposons que les rayons incidents soient normaux à une surface (S). Le premier membre sera la différentielle d'une fonction p qui est, nous Tavons vu plus haut, la distance du point M au point P où le rayon coupe normalement la surface (£). En vertu de la formule précédente,

II' dx -t- ç' dy -\- vv' dz

sera aussi une différentielle exacte — rf ( -]j et, par suite, les

rayons réfractés seront aussi normaux à une surface (S'). On obtiendra le point P où le rayon réfracté coupe normalement {2)

en portant la longueur — ° > dans le sens déterminé par son signe,

sur le rayon réfracté. On verra facilement que les plans normaux aux deux rayons, incident et réfracté, en P et en P', vont se couper suivant une droite située dans le plan tangent en M à la surface dirimante; cette relation entre les plans tangents aux trois surfaces est d'ailleurs évidente dans le système des ondulations. Ou en déduit que, si /?, p' et o désignent les termes tout connus dans

les équations des plans tangents en P, P' et M aux surfaces (S), (S') et à la surface dirimante, on a

(14 )' n/?' -h /> = Xo,

)v ayant la même valeur que dans les formules (i4)»

Les surfaces normales aux rayons réfractés ont reçu le nom à' anticaus tiques ;\es résultats précédents peuvent donc s'énoncer ainsi :

Si les rayons incidents sont normaux à une surface (2), considérons cette surface comme l'enveloppe de sphères ayant leurs centres sur la surface dirimante. Pour obtenir l'anticaustique relative aux rayons réfractés, il faut prendre V enveloppe de toutes les sphères que Von obtient en réduisant le rayon des précédentes dans le rapport de V unité à V indice de réfraction (*).

11 résulte de cette construction qu'il sera, en général, impossible

(*) Voici quelques indicalioDs au sujet de la découverte de cette belle proposition. Dans un Mémoire portant ce simple titre : Optique et inséré en 1808 au XIV* Cahier du Journal de l'École Polytechnique, Malus démontre, en premier lieu, une propriété intéressante de ces assemblages de droites auxquels nous donnons le nom de complexes. Imaginons qu'à chaque point de l'espace on fasse correspondre, suivant une loi quelconque, une droite passant par ce point, et soit M un point quelconque par lequel passe une droite {d) du système. Si l'on cherche les points M', infiniment voisins de M, pour lesquels la droite correspondante rencontre (</), on trouve que le lieu des directions MM' est un c6ne du second degré. Après avoir établi cette proposition, l'illustre physicien étudie les assemblages de droites qui dépendent de deux paramétres, c'està-dire les congruences; et il montre que l'on peut, en général, distribuer les droites de la congrucnce en deux systèmes difTércnts de surfaces dcveloppables. Il cherche la condition pour que ces deux familles de développables se coupent à angle droit, et il reconnaît qu'elle est remplie lorsque les droites sont les normales d'une surface.

Faisant ensuite l'application de ces principes généraux à l'Optique, Malus démontre que, lorsque des rayons incidents émanés d'un point fixe se réÛéchissent sur une surface quelconque, ils demeurent, après la réQexion, normaux à une surface.

Dans la seconde Partie de son Mémoire, insérée à la page 84 du même Cahier, Malus étend cette proposition au cas d'une réfraction unique, et il essaye (p. loi) de l'étendre aussi au cas de plusieurs réfractions; mais, trompé par une faute de

DROITES NORMALES A UNE SURFACE. 9.8l

de séparer analjtiquement les deux sytèmes de rayons réfractés qui correspondent à des valeurs égales et de signes contraires de rindice de réfraction.

451. Dans son étude du théorème précédent, qu'il a démontré seulement pour le cas de la réflexion, Dupin s'était proposé la question suivante, qui donne naissance à des recherches intéressantes.

Si les rayons lumineux sont normaux à une surface, on peut les assembler en deux familles de développables orthogonales. La réflexion sur une surface donnée transforme, en général, ces développables en surfaces gauches. Dupin donne de belles propositions relatives au cas où les rayons incidents formant une développable se réfléchissent suivant des rayons formant également une développable; et il a reconnu que les traces des deux séries de développables sur la surface réfléchissante doivent former un système conjugué. Les démonstrations de Dupin reposent sur les propriétés de rindicatrice et sur celles des surfaces de révolution du

calcul, il croit que les rayons lumineux cessent, en général, après une deuxième réfraction, d'èlrc normaux à une surface.

C'est à Dupin que revient le mérite d'avoir énoncé, pour la première fois, dans un Mémoire sur les routes de la lumière que nous citerons plus loin, le théorème générai, et d'en avoir donné une démonstration géométrique très simple, mais pour le cas de la réflexion seulement. D'ailleurs Cauchy, comme l'indique Dupin, avait repris et corrigé les calculs de Malus, de sorte qu'aucun doute ne subsistait plus sur la portée et la généralité du théorème. Dupin s'est contenté de le regarder, dans le cas de la réfraction, comme un simple corollaire des propositions qu'il avait données dans sa théorie des déblais et des remblais; cette vue était exacte, mais les théorèmes sur lesquels s'appuyait Dupin étaient incomplètement démontrés.

Quelques années plus tard, Quételet a introduit une idée neuve dans cette théorie en substituant aux caustiques^ dont la détermination est très pénible, les caustiques secondaires ou mieux les anticaustiques qui sont normales aux rayons réfléchis ou réfractés. C'est grâce à ses efl'orts et à ceux de Gergonne que le théorème a été enfin simplement et complètement démontré. (Voir le tome I de la Correspondance mathématique et physique^ 1825, le tome XVI des Annales de Gergonne et les Nouveaux Mémoires de l'Académie de Bruxelles, t. III et IV, 1826 et 1827.)

Dans l'étude que nous avons citée [p. 237], M. Lévistal a étendu le théorème do Malus et de Dupin au cas de la double réfraction.

'iS'l LIVRB IV. — CIIAP. XIII.

sccoinI degré (•). On peut leur substituer les suivantes, qui nous donneront d'ailleurs des résultats nouveaux.

Commençons par considérer des rayons lumineux formant une seule développable, et cherchons la condition pour que les rayons réfléchis engendrent également une surface développable.

Soit A A' . . . une ligne de courbure de la développable formée par les rayons incidents. Les génératrices qui passent aux points A, A', . . . rencontrent la surface réfléchissante (S) en M, M'^ . . . et se réfléchissent suivant des rayons MB, M'B', .... Prenons MB = MA, MB' = M'A', .... La courbe BB' . . . sera une trajectoire orthogonale des rayons réfléchis et, par suite, elle sera nécessairement une ligne de courbure si ces rayons réfléchis forment, eux aussi, une développable. Les sphères de.cenlres M, M', ... et de rayons MA, MA', . . . enveloppent une surface (S) à lignes de courbure circulaires, et les deux courbes AA', ..., BB', ... devront être des lignes de courbure non circulaires de cette surface. Par suite, les tangentes à ces deux lignes, aux points correspondants A et B, seront deux génératrices d'un cône de révolution circonscrit à la surface (S) suivant un cercle, et elles se rencontreront nécessairement. Considérons maintenant la surface réglée (A) engendrée parla droite AB; d'après la propriété que nous venons de démontrer, ce sera une surface développable, puisqu'elle admet le même plan tangent aux deux points distincts AetB. Soient AB, A' B' deux positions consécutives deAB; comme elles sont respectivement perpendiculaires aux deux plans tangents en M et en M' à la surface réfléchissante (S), elles seront aussi perpendiculaires à l'intersection de ces deux plans M^, qui est la tangente conjuguée de MM'. Ainsi :

La développable (A) engendrée par la droite AB a, à chaque instant, son plan tangent perpendiculaire à la tangente M^.

Par suite, le plan normal mené par MA à la développable des rayons incidents, plan qui est évidemment perpendiculaire à la tan-

(') Consulter, dans les Applications de Géométrie et de Méchanique, le Qua^ trième Mémoire intilulé : Sur les routes suivies par la lumière et par les corps élastiques, en général, dans les phénomènes de la réflexion et de la réfraction. (Présenté à rAcadémie des Sciences, le aa janvier 1816.)

génie en A à la ligne de courbure AA' ... de celte développable, coupera le plan langent en M à la surface réfléchissante suivant la droke qui est perpendiculaire à la tangente en A, c'est-à-dire suivant la tangente M^. En d^autres termes, le plan tangent à la développable suivant le rayon incident et le plan normal qui contient ce rayon doivent couper le plan tangent à la surface réfléchissante suivant deux droites conjuguées.

Cette condition, qui est nécessaire, est aussi suffisante : il suffira, pour le reconnaître, de reprendre dans un ordre inverse les raisonnements précédents. On en déduit la conséquence suivante.

La tangente à la courbe d^incidence et sa langente conjuguée se trouvent dans deux plans rectangulaires contenant le rayon incident; ces deux plans sont évidemment des plans diamétraux conjugués de tout cylindre de révolution ayant pour axe le rayon incident. Par suite, les droites considérées sont des diamètres conjugués de la section de ce cylindre par le plan langent en M.

D'après cela, si l'on se donne un rayon incident quelconque coupant la surface réfléchissante en M, il n'y aura que deux directions possibles pour la tangente à la courbe d'incidence en M : ce seront celles des deux diamètres conjugués communs à l'indicatrice de la surface et à la section du plan tangent par le cylindre de révolution dont l'axe est le rayon incident.

On remarquera l'analogie de cette théorie avec celle des lignes de courbure; au reste, les deux théories se confondent si l'on suppose le rayon incident normal à la surface réfléchissante (*).

452. La construction précédente nous conduit à considérer une classe de droites qui possèdent des propriétés optiques remarquables. Supposons que les deux coniques employées dans cette

(*) Les résullats établis par notre mélhode comprennent ceux sur lesquels Duptn s'est appuyé; car, si la surface réfléchissante est une surface de révolution du second degré à deux foyers F, F', les rayons lumineux qui émanent de F se réfléchiront vers F'. Construisons le cône formé par les raj^ons incidents qui rencontrent la section de la surface par un plan (P); le plan normal suivant chaque génératrice devra contenir la tangente conjuguée de la tangente à la section plane et, par suite, passera par le pôle du plan (P). Or, un cône est évidemment de révolution lorsque son plan normal va passer par un point fîxe. Ainsi, toutes les sections planes, vues du foyer, paraîtront des cercles.

construction soient semblables; c'est-à-dire que le rayon incident soit l'axe de l'un des quatre cylindres de révolution qui contiennent l'indicatrice; alors les directions de la courbe d'incidence ne seront plus déterminées. Ainsi ;

Si Von considère en chaque point dUine surface les quatre droites, axes des cylindres de révolution qui coupent le plan tangent suivant ^indicatrice, ou encore lieux des points d*où Von voit deux tangentes conjuguées quelconques sous un angle droit^ ces droites formeront quatre systèmes de rayons rectillgnes dont les développables se réfléchiront suivant des développables.

Ces droites sont imaginaires si l'indicatrice est hyperbolique; dans le cas d'une indicatrice elliptique, il y en a deux qui sont réelles : ce sont les asymptotes de l'hyperbole focale; elles sont dans le plan principal qui contient les deux foyers de l'indicatrice et placées symétriquement par rapporta la normale. Elles forment deux systèmes différents et chacun d'eux s*obtient par la réflexion de l'autre sur la surface. Nous les appellerons, pour abréger, axes optiques. On peut encore les construire comme il suit.

Menons par les deux tangentes asymptoliques de la surface réfléchissante les plans tangents au cercle de l'infini. Ces quatre plans se couperont suivant quatre droites, placées deux à deux symétriquement par rapport au plan tangent, et qui seront les quatre axes optiques relatifs au point considéré.

Il suit de là que, dans le cas d'une surface du second degré, les axes optiques de la surface sont les génératrices rectilignes des surfaces du second degré homofocales à la proposée. On peut déterminer sans aucune intégration les développables formées par ces droites; car on sait qu'elles sont les tangentes doubles de la développable dans laquelle sont inscrites toutes les surfaces homofocales. Or, quand des droites d'une congruence sont les tangentes doubles d'une développable, il est évident qu'il y en a une infinité dans chaque plan tangent de la développable. Ce plan touche, en eflet, la développable suivant une droite {d) et la coupe suivant une courbe (C); toutes les tangentes de (C) seront des tangentes doubles de la développable et devront être considérées

comme formant elles-mêmes une surface développable. Ainsi, dans le cas des surfaces du second degré, nous saurons distribuer les axes optiques en deux séries de développables. Remarquons d'ailleurs que ces deux séries de développables sont imaginaires.

453. Les axes optiques jouissent, dans tous les cas, d'une remarquable propriété. Imaginons que des rayons lumineux émanent d'un point de Tune de ces droites et forment un pinceau infiniment petit autour de la droite. D'après la propriété des axes optiques, les rayons réfléchis, de quelque manière qu'on les assemble, doivent être considérés comme formant une surface développable; er, par conséquent, le faisceau réfléchi paraîtra, lui aussi, émaner d'un point unique.

On peut établir celte conclusion d'une manière plus rigoureuse en donnant le complément suivant à notre première proposition. Imaginons un rayon A.M venant rencontrer en M la surface réfléchissante et se réfléchissant suivant un rayon MB; et supposons que AM fasse partie d'une développable qui se réfléchit suivant une développable. Lorsqu'on passera de AM au rayon infiniment voisin A' M', le plan AMB sera remplacé par un plan A'M'B' qui coupera le premier suivant une droite a[x^, a, [x, ^ étant les points de cette droite situés respectivement sur AM, sur la normale en M et sur BM. Les plans AMB, A'M'B' passant par deux génératrices infiniment voisines de la développable engendrée par AM, la position limite de a est le point de contact du rayon AM avec la courbe qu'il enveloppe; et, de même, ^ est le point de contact du rayon réfléchi BM avec l'arête de rebroussement de la développable engendrée par ce rayon. Quant à [jl, c'est évidemment le point où la normale au point M' de la courbe d'incidence infiniment voisin de M vient couper le plan AMB. Nous avons donc le théorème suivant :

Quand une développable se réfléchit suivant une développable, la droite qui joint les points de contact des rayons incident et réfléchi avec les courbes qu^ils enveloppent vient couper la normale à la surface réfléchissante au point où la sur/ace gauche formée par les normales en tous les points de

•286 LIVilB IV. — CHAP. XIII.

la courbe d'incidence est tangente au plan du rayon incident et du rayon réjléchi.

En particulier, quand il s'agit d^un axe optique, qui est nécessairement situé dans un plan principal, toutes les normales infiniment voisines de la normale viennent couper ce plan en un point dont la position limite coïncide avec celui des deux centres principaux où le plan principal est tangent à la surface des centres. Si Y désigne ce centre, on voit que p devra être sur la ligne ay; et cette construction est toujours la même, quelles que soient les développables formées par les rayons incidents. Si donc ceux-ci émanent de a, les.rajons réfléchis paraîtront émaner de ^.

Les propriétés établies donnent Heu à un certain nombre de conséquences qu*il ne sera pas inutile d'énoncer explicitement.

Si les rayons incidents sont formés par un système d'axes optiques de la surface, les développables incidentes se réfléchissent suivant d'autres développables, que les rayons incidents soient ou ne soient pas normaux à une surface. En dehors de ce cas exceptionnel, on peut dire que, si la réflexion ne détruit pas les deux séries de développables, supposées distinctes, formées par les rayons incidents, ceux-ci sont nécessairement normaux à une surface. Nous avons vu en eflet que, si le rayon incident AM est donné, les deux seules droites qui puissent être les tangentes en M de la trace d'une développable sur la surface réfléchissante sont dans deux plans rectangulaires passant par le rayon incident. Donc, si les deux séries distinctes de développables formées par les rayons incidents doivent subsister après la réflexion, il est nécessaire qu'elles se coupent à angle droit et qu'elles découpent sur la surface réfléchissante un système conjugué. Ces deux conditions sont d*ailleurs suffisantes. Ainsi :

Toutes les fois que les deux séries de développables formées par les rayons incidents se réfléchissent toutes suivant des développablesy les rayons incidents sont normaux à une surfaee, à moins qu^ils ne constituent un des quatre systèmes d'axes optiques de la surface.

Pour que des rayons incidents normaux à une surface aient leurs développables conservées par la réflexion ^ il faut et il

suffit que ces développables découpent sur la surface réfléchissante un système conjugué.

454. Considérons^ par exemple, une surface (S), que nous supposerons quelconque, et des rayons lumineux émanés d'un point O. Ces rayons lumineux, qui forment un système (I), se réfléchissent sur (S) et donnent un système (R) de rayons réfléchis normaux à une surface (S|), enveloppe des sphères qui passent par le point O et ont leur centre sur (S). Cette surface (£|) est évidemment homo thé tique à la podaire de O par rapport à (D); car elle est le lieu des symétriques du point O par rapport à tous les plans tangents de (S). Soit OM un rayon incident se réfléchissant au point M de (S). Supposons l'œil placé en un point O' sur la direction du rayon réfléchi; il recevra un pinceau de rayons émanés de O et réfléchis dans la région de (S) qui avoisine le point M. Ce pinceau de rayons réfléchis, formé par des normales à (S|)y aura, en général, deux lignes focales, perpendiculaires Tune à Faulre et placées aux deux centres de courbure principaux de (S| ) qui sont sur la normale O'M. L'image du point lumineux, pour l'observateur placé en O', sera plus ou moins confuse; elle sera rapportée par cet observateur à un point qu'aucune règle précise ne permet de déterminer. Mais, dans le cas particulier où la ligne OM est un des axes optiques du point M, tous les rayons réfléchis paraîtront émanés d'un point unique que nous avons appris à construire. L'image du point lumine'ux sera devenue nette et les rayons réfléchis auront un foyer qui pourra être réel ou virtueL Le point M a reçu de Dupin le nom à^ ombilic catop- /r/^tf<? justifié par l'analogie qu'il présente avec les ombilics ordinaires, avec lesquels il se confond d'ailleurs lorsque le rayon incident est normal à la surface. Si la surface (£) est du second degré, il y aura, pour chaque point O, douze ombilics catoptriques, dont quatre seront réels, situés à l'intersection de cette surface et des deux génératrices rectilignes de l'hyperboloïde homofocal qui passe au point O.

Ici les rayons incidents, de quelque manière qu'on les assemble, forment toujours des cônes et, par suite, des développables. Proposons-nous de déterminer les cônes formés par les rayons incidents auxquels correspondent des rayons réfléchis formant une

288 LIVRE IV. — CliAP. XIII.

développable. D'après les propositions précédentes, ces cônes devront découper sur la surface réfléchissante deux systèmes de lignes conjuguées qui paraîtront se couper à angle droit lorsqu'on les regardera du point O. D'ailleurs la détermination de ces cônes équivaut à celle des lignes de courbure de la surface (£«) ou, ce qui est la même cliose> de la podaire de (2) relativement au point O. Ainsi :

Étant donnée une surface (S) et un point O, les lignes de courbure de la podaire de (S) relative au point O correspondent à deux systèmes de lignes conjuguées tracées sur (S) et qui paraissent se couper à angle droit pour un observateur placé en O.

Cette proposition; que le lecteur établira très simplement d'une manière directe, permet de déterminer les développables formées par les rayons réfléchis lorsque la surface (S) est du second degré. On obtient alors la construction suivante, que nous nous contenterons d'énoncer :

Les courbes d* incidence des cônes qui se réfléchissent suivant des développables sont à l'intersection de (S) et des cônes du second degré, de sommet O, homofocaux au cône de même sommet circonscrit à (2); elles sont aussi les courbes de contact des développables circonscrites à (Jl) et à l'une quelconque des surfaces du second degré qui passent par V intersection de (S) et de la sphère de rayon nul ayant pour centre le point O.

455. Dans deux Notes publiées en 1872 (*), M. Ribaucour a indiqué d'autres applications très intéressantes du théorème de Dupin. Elles reposent essentiellement sur la remarque suivante, qui est à peu près évidente :

Pour que les développables d'une congruence découpent sur une surface du second degré un réseau conjugué, il faut et il suffit que les deux plans focaux de chaque droite de la con-

(«) Ribaucour, Sur la t/iéorie des lignes de courbure {Comptes rendus, t. LXXIV, p. 1489 et 1670, I" semestre 187a).

gruence soient conjugués par rapport à cette surface, c^està'dire que chacun d'eux contienne le pâle de l'autre (•).

La condition précédente étant indépendante du point où chaque droite de la congruence coupe la surface, on en déduit tout d^abord la proposition suivante :

Si les développables formées par les droites d'une congrue nce découpent, à leur entrée, un réseau conjugué sur une surface du second degré, elles découpent aussi à la sortie un second réseau conjugué.

Considérons maintenant le cas où les développables se coupent à angle droit. On aura alors une congruence de normales (I) dont les développables découperont, par hypothèse, un réseau conjugué sur la surface du second degré (S). Les deux plans focaux de chaque droite (e/) de la congruence, étant à la fois normaux et conjugués par rapport à (S), seront aussi conjugués par rapport à toutes les surfaces (S|) qui sont homofocales à (S); par conséquent, les développables de (I) découperont, sur toutes les surfaces (S,), soit à l'entrée, soit à la sortie, des réseaux conjugués. Si donc on envisage les droites de la congruence comme formant un système de rayons incidents (I), on pourra faire réfléchir ces rayons sur une quelconque (S«) des surfaces (S/). On aura ainsi un premier système de rayons réfléchis (I< ) dont les développables correspondront à celles de (I); et, comme elles découpent sur (S|) le même réseau conjugué que les développables de (I), elles découperont encore sur toutes les surfaces homofocales des réseaux conjugués. On peut, maintenant, faire réfléchir le faisceau (Ii) sur une autre surface homofocale (S2); et ainsi de suite. En continuant de cette manière, on obtient une suite, en général illimitée, de congruences de normales (I), (I<), (I2), ... dont les développables se correspondent mutuellement et découpent sur

(■) Soit, en e(Tet, M un point de la surface, {d) la droite de la congruence qui pusse en ce point et M/, M^' les traces des deux plans focaux de celte droite sur le plan tangent en M. Le plan focal passant par M^ a, comme on sait, son pùlc sur la tangente conjuguée de M^. Pour que les deux plans focaux soient conjugués, il est donc nécessaire et suffisant que Mf et M<' soient des tangentes conjuguées.

^go LIVRE IV. — CIUP. XIII. — DROITES NORMALES A INE SURFACE.

toutes les surlaces homofocales des réseaux conjugués. Si Ton veut suivre un des rayons incidents, on reconnaîtra aisément que les deux surfaces homofocales qui sont tangentes à ce rayon demeurent aussi tangentes à toutes ses positions successives.

Ces propriétés si élégantes nous ont paru mériter d^étre signalées. Dans le Chapitre suivant, nous allons poursuivre celte étude, qui nous permettra d'ailleurs de compléter les résultats donnés plus haut sur les lignes géodésiques des surfaces du second degré.