PAR RAPPORT A UNE SURFACE DU SECOND DEGRÉ

Les surfaces dont les plans principaux sont conjugues par rapport à une surface du second degré. — Théorème de M. Ribaucour relatif aux développablcs formées par les normales. — Indication de deux surfaces remarquables satisfaisant à la définition précédente. — Système des surfaces homofocales du second degré. — Surface qui admet pour normales les tangentes communes à deux homofocales. — Ligues géodésiques de Tellipsoïde. — Équation en coordonnées elliptiques d'une droite quelconque; théorème de Jacobi relatif à l'intégration des équations abéliennes les plus simples. — Propositions analogues aux théorèmes de M. Chasies sur les polygones de périmètre maximum ou minimum inscrits ou circonscrits à une ellipse. — Intégration de l'équation aux dérivées partielles des surfaces dont les plans principaux sont conjugués par rapport à une surface du second degré. — L'intégrale générale est de forme transcendante, mais le théorème d'Abel permet de définir un nombre illimité de solutions algébriques. — Extension de la méthode précédente à la détermination d'un système triple orthogonal qui dépend de trois fonctions arbitraires d'une variable.

436. Considérons, d'une manière générale, une surface (S) dont les plans principaux soient conjugués par rapport à une surface du second degré (S), représentée en coordonnées tangentielles par l'équation

Soient u^ v, (v, p les coordonnées d'un plan tangent quelconque de (S). Nous supposerons que l'on ait

( 2 ) 14* -t- p' H- tv* = I

et que l'on ait choisi comme variables indépendantes les paramètres a et ^ des lignes de courbure. On pourra écrire alors

( 3 ) fiu^ -+■ dv^ -H dw^ = e rfx* -\- g d}^^

et M, V, iv, p seront (n° 431) des solutions particulières de

29^ LIVRE IV. — ClIAP. XIV.

Téqualion

D'autre part, Téquation du plan tangent à la surface étant (5) wX-h pY -H ivZ -h/> = o,

les plans principaux sont définis par les équations suivantes

(au -, àv

dw dp

du Y ^^ V ^**' 7 ^P ^

que l'on obtient en prenant les dérivées de la précédente par rapport à a et à ^. La condition nécessaire et suffisante pour que ces plans soient conjugués par rapport à la surface du second degré (S) est, comme on sait,

.du du ^ p di' f)v ^ Oiv div dp dp ^"^^ di d^ '^ di d^ ~^ ^1^ Jf '^ di d^ ~ ^'

Or cette condition est équivalente à la suivante : la fonction (8) <J= AM«H-Bt'«-^Ctv*-/?«

doit être une solution particulière de Téquation linéaire (4); de sorte que la recherche des surfaces (S) qui satisfont à la condition indiquée peut se ramener au problème suivant :

Trouver une équation de la forme

^^^ dxd'^ diL d^

admettant cinq solutions particulières u, r, «',/?, o* liées par les relations (2) et (8).

Cette forme particulière donnée au problème va nous conduire à une propriété de la surface (S). Remplaçons successivement, dans l'équation (4), 0 par //, i', (v, p; et ajoutons les équations

obtenues, après les avoir multipliées respectivement par A- » B-r-> Cl — > — —• En tenant compte de l'équation (^), nous au-