LA SURFACE DE V. LIOU VILLE

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iÀ[*(^r)'-»(s)"-Kër-a7]

En intégrant, on trouve

ai désignant une fonction de a; et, si Ton remplace e par sa valeur déduite de l'équation (3), on a

Tout étant symétrique en a et p, on peut joindre à cette relation la suivante

OÙ ^1 est une fonction de ^.

Si Ton se reporte aux équations (6), on reconnaît que ces relations expriment la propriété suivante :

Les normales à la sur/ace cherchée en tous les points d'une ligne de courbure de la surface (Yt) forment une développable qui est circonscrite à Vune des surfaces du second degré homo focales à (S).

En effet, l'équation (i i) exprime que le plan principal qui correspond à la ligne de courbure (a) demeure tangent à une surface homofocale dont le paramètre a, ne dépend que de a.

La propriété précédente est due à M. Ribaucour qui Ta énoncée dans les articles déjà cités; le lecteur pourra l'établir aussi par la Géométrie.

457. Nous laisserons de côté, dans l'étude qui va suivre, le cas où l'une des fonctions ai, ^i se réduirait à une constante. Alors une des nappes de la surface des centres de (S) se réduira à une surface (S|) homofocale à (S). Il suffira évidemment, d'après les

remarques que nous avons présentées au n° 441 , de tracer sur (Si ) une famille quelconque de lignes géodésiques ; leurs tangentes seront les normales de la surface cherchée. L'étude de ce cas spécial se ramène donc à celle des lignes géodésiques d^une surface du second degré, que nous présenterons plus loin.

On peuty dès à présent, indiquer des solutions assez étendues du problème proposé. Considérons la surface définie en coordonnées tangentielles par Téquation

(i3) A m' -4- B i»' -+- G iv» — />* = lau -h ^bv -f- actv -+- ihp -h k,

où a, 6, c, A, k sont des constantes quelconques et où Ton suppose £/, (^, w liés par la relation (2). Pour tous les points de cette surface, la solution que nous avons désignée par 0- sera une fonction linéaire de u^ v^ çv, p et, par suite, elle satisfera aussi à Inéquation (4). Donc :

La surface représentée en coordonnées tangentielles par V équation (i3) jouit de la propriété que les normales en tous les points d'une ligne de courbure soient tangentes à une même surface du second degré homofocale à (S).

Ce théorème équivaut, évidemment, à l'intégration de l'équation différentielle des lignes de courbure; car, si Ton exprime que la normale est tangente à une surface homofocale déterminée, on aura une équation en termes finis qui déterminera le lieu décrit parle pied de la normale.

Nous retrouverons plus loin la surface définie par l'équation (i3).

458. On peut répéter la théorie précédente en coordonnées ponctuelles. Soient x, y^ z les coordonnées d'un point de (S) et posons

(14 ) ar = 37» *^j'*-+-.5'.

Nous savons (n® 143) que x^ y^ w, r, considérés comme fonctions des paramètres a, j3 des lignes de courbure, satisferont à une équation de la forme