L\ SURFACE OE M. LIOUVILLE. '/QS

Les plans principaux de la surface auront ici pour équations

dx àjr dz dr

aoL ax ooL Ool

) ^ àx ^dy dz dr __

En exprimant qu'ils sont conjugués par rapport à (S), nous obtiendrons la relation

. dx dx dy dy ^ dz dz dr dr A — h B — — -4- G — -— — = o.

dOL d^ ^ doi d^ ^ dOL d^ dx d^

Cette équation exprime que la fonction

(17; Œi = Aa?' H- BjK* -f- G^* — /•*

est une solution particulière de Téquation (i5); et le problème est ramené à trouver une équation de cette forme pour laquelle on ait cinq solutions :r,y, z, r, o-| liées par les deux relations (i4) et (17).

La surface pour laquelle ces cinq solutions sont liées par une relation linéaire à coefficients constants

(18) ai =^ ax -\- by -\- c z -h dr -^ e

est une cycUde générale; elle donne lieu aux mêmes remarques que précédemment; et Ton reconnaît ainsi, par une nouvelle méthode, que les lignes de courbure de cette surface sont algébriques.

459. Les deux propositions précédentes nous font connaître des surfaces pour lesquelles les développables formées par les normales interceptent sur une surface du second degré un réseau conjugué. Mais ces surfaces sont loin d'être les seules qui possèdent la propriété précédente : si Ton exprime, en efiet, que les deux plans principaux relatifs à chaque point d'une surface sont conjugués par rapport à une surface du second degré, on sera évidemment conduit à une équation aux dérivées partielles du second ordre. Lorsqu'on emploie les coordonnées ponctuelles, on reconnaît aisément que cette équation est linéaire par rapport aux dérivées du second ordre de z, mais elle est d'une forme assez

compliquée par rapport à x^ y^ z et aux dérivées premières. Nous allons montrer qu'on peut Tintégrer; mais nous devons, auparavant, rappeler des résultats très importants que la théorie des surfaces homofocales doit à Jacobi et à M. Liouville. Considérons les surfaces homofocales défînies par Téquation

(-9) jrrx-^^trx-^^-ry -' = <>»

où nous supposerons

On peut les distribuer en trois familles (n** 122) [I, p. iSy], les ellipsoïdes (p2)j les hjperboloïdes à une nappe (pi) et les hyperboloïdes à deux nappes (p). On a

(20) pt<c<pi<b<p<a;

si Ton pose

\ ?(")=^-^w — p)(«-?i)(w — ?ï), on aura identiquement

et l'élément linéaire xle l'espace sera déterminé par la formule

la somme 21 étant étendue ici, et dans la suite, aux valeurs o, i, 2 de l'indice.

On sait que, lorsqu'on a un système orthogonal quelconque dans lequel l'élément linéaire a pour expression

( M) ds^ = \V e/pîH- \\\ dp] •+■ H* dpi,

on peut écrire les formules suivantes