LA SURFACE DE M. LIOUVILLE

relatîves à deux fonctions 8, 0| que Ton suppose exprimées en fonction de x, y^ z dans les premiers membres des équations et en fonction de p, pi, p2 dans les derniers. L'équation

(•27) A(e, ei) = o

exprime la condition pour que les deux familles de surfaces

0 = const., 01 = consl.

se coupent à angle droit.

Si Ton applique ces formules aux coordonnées elliptiques, on aura

Cela posé, voici la remarque essentielle que l'on doit à M. Liouville(*).

460. Il existe évidemment une fonction 0 dont les dérivées sont données par les formules

où A et B désignent deux constantes; et cette fonction 0 satisfait, on le reconnaît en appliquant la formule (28), à Téquation

Si Ton remplace A et B respectivement par — (^aH- P) et a^, on a

les radicaux pouvant être pris avec des signes quelconques. Il résulte immédiatement de l'identité (26) que Téquation

6 = const.

(*) J. Liou VILLE, Sur un théorème de M. Cfiasles {Journal de Liouville^ t. XVI, p. 6; i85i). Voir aussi t. XII du même Recueil) p. l\\% et suiv.

représente, en coordonnées elliptiques, une famille de surfaces parallèles. M. Liouville a montré que ces surfaces sont celles dont l'existence avait été établie a priori par M. Chasles et dont les centres de courbure sont distribués sur deux surfaces homofocales (n" it2); les constantes a et fi sont précisément les paramètres de ces deux surfaces. Voici comment on peut établir cette belle proposition.

L'équation (3i) étant vérifiée pour toutes les valeurs de a et de p, on peut la diflTérentier par rapport à chacune de ces constantes, ce qui donnera les deux relations

qui ont lieu pour toutes les valeurs de a et de ^.

Si Ton remarque d'ailleurs (n"356) que chacun des termes de 8, et par suite 9, considéré comme fonction de a et de ^, satisfait à l'équation

on reconnaîtra immédiatement que l'on peut ajouter aux deux équations (33) la suivante

qui s'obtient en les retranchant l'une de l'autre.

DiGTérentions enfin par rapport à ^ la première équation (33); nous obtiendrons

ou, en tenant compte de l'équation précédente,

équation qu'il serait aisé de vérifier directement.

L'ensemble des trois équations (33) et (36) exprime que les