LA SURFACE DE H. LIOUVILLE

Irois familles de surfaces représentées par les équations

(37) B = const.

(38) -r- = 01 = const., -Ts = 6î = const.

se coupent mutuellement à angle droit; et, comme la première famille est composée de sur/aces parallèles, les deux autres le sont des deux séries de développables dans lesquelles on peut distribuer les normales aux surfaces de la première famille.

461. 11 ne reste plus qu^à obtenir la signification des constantes a et ^. Remarquons d^abord que ces constantes sont réelles toutes les fois qu'il en est de même des surfaces parallèles ou, ce qui est la même chose, de la fonction 9. En effet, /(p) et /(pa) sont positives; mais /(pi) est négative. Il faut donc, pour que les dérivées de 0 soient réelles, que Ton ait

(p-a)(p-?)>o, (p,a)(pi p)<o, ■ (p,-a)(p,-p)>o;

ces inégalités montrent non seulement que a et ^ sont réelles, mais aussi que Ton a

(39) P2<?<pi<a<p;

a et (3 pourront être les paramètres de deux hyperboloïdes à une nappe, mais non ceux de deux ellipsoïdes ou de deux hyperboloïdes à deux nappes.

Considérons maintenant une des développables représentées par l'équation

-^~ = 61= const.,

qui, différentiée, nous donne

On voit que, si p/ devient égal a a, on a

Donc toutes ces développables sont tangentes à la surface homofocale dont le paramètre est a.

3oO LIVRE IV. — CHAP. XIV.

De même les déveToppables

(40 jj = e, = consl.

sont toutes tangentes à la surface liomofocale de paramètre ^. Par suite, les deux homofocales de paramètres a et ^ forment bien les deux nappes de la surface des centres de courbure pour les surfaces parallèles représentées par Téquation (Sy).

462. Nous allons d*abord développer les conséquences des résultats précédents en ce qui concerne les lignes géodésiques des surfaces du second degré.

Les dévcloppables

(42) -j- = ©1 = const.

étant tangentes a la surface liomofocale de paramètre a ont, par suite, leur arête de rebroussement sur la surface de paramètre ^ (n® 441). Supposons, pour fixer les idées, que cette surface soit un ellipsoïde : en faisant, dans Téquation précédente, p2= ^9 on trouvera

(-Î3) m//— ^-^T^v^^P-^- m/t ^^=|7-TC^?i=const.

JV (p-a)/(p) ^ JV (Pi-a)/(pi)

Cette équation représentera une ligne géodésique de l'ellipsoïde (^), et il résulte des remarques présentées au numéro cité que l'on aura toutes les lignes géodésiques en faisant varier a et la constante du second membre (*). Il suffira d'ajouter que, d'après la forme même de l'équation (43), toutes les lignes géodésiques qui

(*) Cest à Jacobi que Ton doit, comme Ton sait, la détermiDatioa des lignes géodésiques de l'ellipsoïde. ( Voir la Note von der geodàtischen Linie auf einem Ellipsoïd und den verschiedenen Anwendungen einer merkwùrdigen analytischen Substitution, publiée en 1839 au tome XIX du Journal de Crelle, p. Sog. ) Celle Note, très imporlante pour l'histoire des idées de Jacobi et de ses découvertes en Mécanique, a été reproduite en 18)1 dans le Journal de Liouville (t. VI, p. 267). Elle a provoqué presque immédiatement une foule de travaux intéressants qui figurent dans les tomes suivants de ce Recueil. Dans ces dernières années, la théorie des lignes géodésiques a été reprise par MM. Cayley et WeiersTRAss et par plusieurs autres géomètres.

LA SURFACE DE M. LIOL'VILLE. 3oi

correspondent à une même valeur de a seront tangentes à une même ligne de courbure de Tellipsoïde; car, si a est, par exemple, le paramètre d'un hyperboloïde à deux nappes, on trouve rfp == o en faisant p = a.

463. On peut se proposer de déterminer Télément linéaire de l'espace lorsqu'on prend pour coordonnées curvilignes les fonctions O, 9|, 02) c'est-à-dire lorsqu'on rapporte les points au système triple orthogonal formé par les surfaces parallèles (6) et les deux familles de développables. Un calcul facile donne alors

f ~ ♦ pir^ ''***•

Si l'on remplace ps par ^, on aura l'élément linéaire de Pellip-

soïde(P)

(4-5) rf5»=«^e«^-4(p-a)(a- p,)^e{;

et il suffit d'appliquer un théorème de Gauss que nous donnerons plus tard pour retrouver les résultats précédents, c'est-à-dire pour reconnaître que les courbes

Hi — consl.

sont des lignes géodésiques. La formule précédente fera ainsi connaître la longueur de l'arc et les trajectoires orthogonales des géodésiques tangentes à une même ligne de courbure.

464. Nous nous sommes étendu sur les remarques précédentes qui complètent les résultats déjà donnés au n® 442. Nous allons maintenant développer d'autres conséquences et considérer les deux équations simultanées

de os

(4G) — =const., -Q = consl.,

qui représentent l'intersection de deux développables appartenant à des sytèmes différents, c'est-à-dire une droite tangente aux deux surfaces homofocales (a) et (P).

D'après la définition de 0, la longueur s portée sur la droite à

302 LIVRE IV. — Cil A P. XIV.

partir d^une origine convenablement choisie sera égale à B. On aura

Si nous différentions celte équation en même temps que les deux précédentes, nous obtiendrons un système que l'on ramènera aisément à la forme suivante :

Pidpi

chaque radical devant être pris avec le même signe dans les trois équations.

Les deux premières, qui ne contiennent pas 5, sont évidemment, en coordonnées elliptiques, les équations différentielles dUtnc droite tangente aux deux surfaces homofocales (a) et (,3). Cette proposition de Jacobi (*) donne, dans le cas le plus simple, l'interprétation géométrique du théorème d'Abel. On voit que les équations (48) peuvent être intégrées de deux manières différentes : on peut d'abord employer des quadratures qui établiront des relations entre des intégrales hyperelliptiques ; maison peut aussi les intégrer algébriquement; car il suffira d'écrire les équations

(49) X = ms -{- n, y = m' s -h n', z =z m" s h- /i,

et d'adjoindre à la condition

les deux relations qui expriment que la droite est tangente aux deux surfaces homofocales de paramètres a et p. On remplacera

(') Voir la Note déjà citée plus haut et la trentième Leçon des Vorlesungen ûber Dynamik. On pourra consulter aussi le second Mémoire sur queigues cas particuliers où les équations du mouvement d'un point matériel peuvent s'intégrer publié par M. Liouville en i8'47 {Journal de Liouvilhy t. XII, r* sérir, p. t\io).

LA SURFACE DE M. LIOUVILLE. 3o3

ensuite x^y, z en fonction de p, pi, p^ et Ton obtiendra les intégrales algébriques du système (4^). Ces intégrales peuvent être présentées sous des formes très variées ; mais nous nous attacherons surtout aux propriétés géométriques.

465. Jusqu'ici nous avons fait abstraction des signes des radicaux. Si Ton veut déterminer, par exemple, les droites de la congruence qui passent par un point de Pespace, il faudra en tenir compte. Considérons p, pi, p2 comme donnés, les deux premières équations (48) déterminent les rapports des difTércutielles dpj d^t^ e/p2- En attribuant aux radicaux tous les signes possibles, on obtiendra quatre directions différentes et, par suite, quatre droites passant par le point considéré. Ces droites sont les intersections des deux cônes circonscrits aux surfaces (a) et (^) qui ont leur sommet au point considéré; elles sont placées symétriquement par rapport aux trois normales aux surfaces homofocales qui se croisent en ce point. L'une d'elles donnera toutes les autres si on la considère comme un rayon incident qui se réfléchit successivement sur les trois surfaces homofocales; et, si Ton veut passer de Tune d'elles à celle qui est placée symétriquement par rapport à la normale de la surface (p/), il suffira de changer le signe du radical qui entre dans les termes en dpi. Ces remarques très simples nous conduisent à la généralisation suivante des beaux théorèmes de Chastes sur les polygones de périmètre maximum ou minimum inscrits ou circonscrits à une ellipse.

Considérons un rayon lumineux, tangent aux deux surfaces homofocales (a) et (P), qui se réfléchit successivement sur les surfaces homofocales (S|), (S2), •... Supposons qu'après un certain nombre de réflexions il vienne coïncider avec sa position initiale. Nous allons montrer que, s'il en est ainsi, la même propriété appartiendra à tous les rayons qui sont tangents aux mêmes surfaces homofocales que le rayon considéré. En d'autres termes, si un polygone est circonscrit à deux sur/aces homofocales et si ses sommets sont placés sur d'autres sur/aces homofocales aux premières, de (elle manière que la normale en chacun de ces sommets à la surface homofocale qui contient ce sommet soit la bissectrice intérieure de l* angle formé par les deux cotés qui se croisent en ce sommet^ il y aura une infinité de

3o4 LIVRE IV. — CHAP. XIV.

polygones ayant les mêmes propriétés, l'un quelconque des sommets de ces polygones pouvant se déplacer arbitrairement sur la surface qu'il est assujetti à décrire.

Nous supposerons, pour plus de neltetë, que tous les sommets (lu polygone décrivent la même surface, par exemple un ellipsoïde (E) de paramètre y. Admettons encore que les côtés soient tangents à un ellipsoïde (Eo) de paramètre ^, qui sera nécessairement intérieur à (E), et à un hyperboloïde à une nappe (Ho), de paramètre a. Considérons les côtés du polygone comme limités aux sommets A|, A.2, A3, . . . , A;,,. Le polygone sera tout entier entre (E) et (Eo); et, si l'on désigne par p, pi, pa les coordonnées elliptiques d'un de ses points, on aura, d'après cette remarque et les inégalités déjà établies,

(5o) Y< pt< ? < c<pi<a<6< p <a.

Cela posé, considérons les coordonnées elliptiques de chaque point du polygone comme des fonctions de la distance de ce point au sommet initial A|, distance s qui croît de zéro jusqu'à la valeur totale du périmètre. Si, pour abréger, on pose

on aura, sur chaque côté,

do^ dpi dpf

ï(p) A(pO A(p, )

^ A(p) A(p,) A(p,) P^dp p\dpi pldpi ^ ,

les radicaux étant pris chaque fois avec le signe convenable. Ces équations nous donnent

do ds

^{9) i? — ?i)(? — ?t) t/pi — ds

A(pi) (p — piKpi — pj)

dpi __ ds

Mpî) ~ (? — Pj)(Pi — Pî)

LA SURFACE DE M. LIOUVILLE. 3o5

Par conséquent, lorsque s croîtra, les trois différentielles

dp dpi dpi

demeureront toujours positives.

Cette remarque étant admise, intégrons la première équation (32), rintégrale étant étendue à tout le contour P du polygone, ce (|ui donnera

Nous allons calculer la valeur de chacune des trois intégrales qui figurent dans cette équation. Pour la troisième, p2 commencera par varier de y à P lorsqu'on passera de Ai au point de contact de A|x\2 sivec Tellipsoïde (Eq). Ensuite, lorsqu'on passera de ce point de contact au sommet A3, p2 décroîtra de ^ à v; mais, comme l'élément de l'intégrale doit rester positif, il faudra changer le signe de A(p2). On aura donc, pour le premier côté,

Ci / ■■ ^* » Comme il en est de même pour tous les autres, la

dernière intégrale de l'équation précédente aura pour valeur

A étant pris avec le signe

Considérons maintenant les deux premières intégrales. Leurs éléments ne présentent aucune discontinuité aux sommets du polygone. En effet, p et pi varient toujours dans le même sens

quand on passe d'un côté au suivant; et, comme 77^» • ,^'- con-

1 ^ A(p) A(pi)

servent leurs signes, il en est de même des radicaux A(p), A(o,); 0 et 0| varient donc toujours dans un sens déterminé jusqu'à ce qu'ils atteignent une des limites entre lesquelles ils sont nécessairement compris-, p, par exemple, doit être compris entre 6 et a; s'il a commencé à croître, il atteindra a, puis il décroîtra nécessairement jusqu'à 6, et ainsi de suite; quand on sera revenu au point de départ, il reprendra sa valeur initiale, à laquelle il parviendra nécessairement en croissant, comme cela avait lieu au départ. On aura donc, tous les éléments de l'intégrale étant D. — II. ao

3o6 LIVRE IV. — GHAP. XIV.

positifs,

r^"*' d? r" dp

J Â(^ = -j, Mp)'

le radical étant pris dans le second membre avec le signe

n est un nombre pair; car il est égal au nombre des points du polygone pour lesquels p prend la valeur b\ et ces points, qui, par suite des inégalités (3o)y sont les seuls où le polygone coupe le plan des xz^ sont nécessairement en nombre pair. On trouvera de même

.iP)

J A(pi) '"1 A(pO

le radical A (pi ) étant pris dans le second membre avec le signe -h ct /i' étant encore un nombre pair.

En substituant les diverses valeurs obtenues dans Téquation, on a donc l'égalité

Jy A(P2) Jb ^(P) Je ^(Pt)

n et n! étant des nombres pairs. Si Ton avait employé la seconde équation (32), on aurait trouvé de même

Nous pouvons conclure immédiatement de ces deux relations qu'// n^est pas possible en général d'inscrire dans V ellipsoïde un polygone circonscrit aux deux surfaces (Eq) et (Hq).

466. Supposons que les deux équations précédentes soient vérifiées et qu'il y ait un polygone (P), inscrit dans (E), circonscrit à (Eo) et à (Ho). Soient (jl et ^-x les valeurs de p et de pi pour le sommet A[. Si Ton prend un point B| infiniment voisin de A| et que l'on mène de ce point la tangente commune à (Eq), (Hq) qui est très voisine de Â| A2, puis que, du point B2 où cette tangente coupe (E), on mène la tangente commune voisine de A2A3, et ainsi de suite; on finira par obtenir sur (E) un point B', qui sera 1res voisin de B|, la ligne brisée B| B2. . .B,„B', s'écartant très peu

L\ SURFACE DB M. LIOUVILLE. 3o7

de A| A2...A;„A|. Il faut prouver que cette ligne brisée se fermera, c'est-à-dire que B', coïncide avec B|. Soient p' et p', les valeurs de p et de pi relatives au point B', . Nous aurons évidemment

A(p')'^A(p'j A(p) A(pO'

P ^P . Pi^Pt ^ P^? . PiC^Pi A(p') \(p\) A(p) A(pO'

p et pi désignant les coordonnées elliptiques du point B| et les radicaux correspondants ayant les mêmes signes dans les deux membres. Ces deux relations peuvent être considérées comme des équations différentielles qui déterminent p' et p'^ en fonction de p et de pi. Et, comme elles ne se présentent pas sous forme indéterminée pour p = |Jt, pf = [J^i, p' = 1^, p', = [t-iy elles admettent un seul système de solutions déterminé par ces conditions initiales. Or ce système est évident; il est le suivant

?'=P' p'i = Pi-

Donc le point B', coïncide avec le point B|, et la proposition est établie.

Tous les polygones ainsi obtenus sont isopérimètres. Cela est évident par la Géométrie; mais on peut aussi le reconnaître en appliquant les raisonnements qui précèdent à la troisième équation (52). On trouve ainsi que la longueur du périmètre est (* )

(5;) P = 2m/ -1-Jli — an'/ Yr^^'^^^ TT-\-

(') Les théorèmes relatifs aux polygones inscrits et circonscrits ont été énoncés par l'auteur dans une Note Sur les polygones inscrits et circonscrits à rellipsoide {Bulletin de la Société philomathique, t. Vil, p. 95!, 1870). Mais nous préférons renvoyer le lecteur au iVIémoire Geometrische Deutung der Addilions- r/ieoreme der hyperelliptischen Intégrale und Functionen 1. Ordnung ini System der confocalen Flàchen 2. Grades, publié par M. O. Staum:, dans les Mathematische Annalen (t. XXII, p. i et i/|3; i883). Cet intéressant travail est, à notre connaissance, le premier qui contienne une application développée des propriétés des fonctions O à quatre périodes dans la géométrie àcs surfaces du second degré. Nous renverrons plus spécialement au Chapitre IV, où sont étudiées les -propositions relatives aux polygones inscrits et circonscrits*

Il importe de le remarquer; le théorème donné dans le texte suppose essen-

3o8 LIVRE IV. — CHAP. XIV.

i67. L'élude que nous venons de faire nous a permis de compléter les résultats donnés au n*^ 442. Nous allons maintenant revenir au problème que nous avions posé et déterminer les surfaces pour lesquelles les développables formées par les normales découpent sur les surfaces homofocales un réseau conjugué. Voici comment on peut y parvenir.

Soit (S) la surface cherchée et M un de ses points. La normale en M est tangente à deux surfaces homofocales de paramètres a et P^ et nous savons, d'après le théorème de M. Ribaucour, que l'un de ces deux paramètres demeurera constant lorsqu'on se déplacera sur l'une ou l'autre des lignes de courbure de la surface. Gela posé, considérons la surface de Liouville (8), dont les centres de courbure sont disposés sur les deux homofocales (a)

et disposons de la constante C de telle manière que la surface (B ) soit tangente en M à la surface (2). G sera évidemment une fonction ^f (a, ^) de a et de j3, de sorte que la surface cherchée sera l'enveloppe des surfaces (B) représentées par l'équation

lorsqu'on fera varier a et p. Pour avoir le point M de contact, il faudra joindre à l'équation précédente ses dérivées par rapport à

liellemenl que les côtés du polygone soient formés par les parties réelles et non virtuelles du rayon réfléchi. II existe des polygones fermés d'une tout autre nature. Étant donnés, par ei.emple, deux ellipsoïdes homofocaux (E,), (E,) si, par une droite quelconque, on leur mène des plans tangents, on aura quatre points de contact a,, b^ sur (E„), a,, 6, sur (E,). Le quadrilatère a^a^b^b^ sera tel que les bissectrices des angles a^^ 6, soient les normales de (E, ), et les bissectrices des angles a„, b^ les normales de (E,), mais il ne constituera pas une roule réelle pour un rayon lumineux ; deux de ses côtés seront formés par les parties virtuelles des rayons réfléchis. De tels polygones mériteraient aussi d'être étudiés; leur théorie ofl're les rapports les plus étroits avec celle de l'addition des fonctions hyperelliptiques et de certaines surfaces algébriques que nous déHnirons plus loin.

LA SURFACE DE U. LIOUVILLE. 3o9

a et p, ,. , de si de rf.f

Or il résulte de Tétude que nous venons de faire que ces deux équations, considérées indépendamment de la première, représentent en coordonnées elliptiques la normale commune en M aux sur/aces (0) et (S). Si Ton fait varier a ou ^ seulement, il faut que la normale engendre une surface développable. Faisons varier a par exemple; les deux équations nouvelles que Ton obtiendra

àoL^ doL^ da c/3 doL ^3

jointes aux équations (60), détermineront le centre de courbure principal et devront, par suite, se réduire à trois. Cette condition, qui est nécessaire, est d'ailleurs suffisante.

Or on a, d'après Téquation (34) à laquelle satisfait B,

d^e I /d:f di

^* ^^ d%d^ ~ â \doL d^J

MA

Remplaçant t— jô par sa valeur tirée de la seconde équation (Gi), on trouve

Réciproquement, si ^(a, ^) satisfait à cette équation, les quatre équations (60), (61) se réduiront à trois. La question proposée est donc complètement résolue, et nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Les sur/aces dont les plans principaux sont conjugués par rapport à une sur/ace du second degré, et, par suite^ par rapport à toutes les surfaces homofocales, se divisent en deux clauses. Les unes, considérées au n® -437, ont leurs normales tangentes à une même surface homofocale et leur théorie se ramène à celle des lignes géodésiques de cette surface. Les autres sont les enveloppes des surfaces de Liouville définies

3lO LIVRE IV. — CHAP. XIV.

par V équation

OÙ S{aLy p) est une solution quelconque de l'équation linéa ire (62).

468. Cette équation linéaire a été déjà rencontrée plusieurs fois (n® 356). Nous savons l'intégrer par Tapplication des méthodes de Poisson et de Riemann. Son intégrale générale est transcendante et de forme compliquée, mais l'application du théorème d'Abel va nous permettre de reconnaître qu'il existe une infinité de surfaces algébriques déterminées par Téquation précédente.

Posons, pour abréger,

<6.î) F(i/) = (w-a)(w-P)/(i/)=4(w-«)(M-p)(a-w(6-w)(c-«X et soient P(m) et Q(w) deux polynômes

!P(m)= up -h m|WP- *-+-.. ., Q ( w) = n uP-* -h 71, uP-^ -f-

Considérons l'équation

et désignons ses racines par

Pi pi) P2Î ^ii ^2» •••5 ^hp-Z'

Ces racines, au nombre de 2/?, dépendent des 2/> — a coefficients qui entrent dans P(«) et Q(w); mais nous supposerons toujours que l'on ait

C désignant une constante numérique, de sorte que les deux polynômes contiendront seulement 2/> — 3 coefficients arbitraires. Il y aura donc entre les racines trois relations, qui contiennent d'ailleurs a et ^. Nous allons montrer que, si l'on élimine a et ^, et si l'on regarde A|, ..., /i2/».s comme des constantes, on aura, en coordonnées elliptiques, l'équation d'une des surfaces cherchées.

LA SURFACE DE Sf. LIOUVILLE. 3ll

En effet, diaprés le théorème d'Abel et l'hypothèse que nous avons faîte sur le coefficient n, les relations entre p, pi, p^, a, ^ se présentent sous la forme transcendante suivante :

"^1 r Pi dpi ir^ r hj dhi

f Y rp}^Pi ^Y r a? dhi

On verra aisément que ce système est celui que l'on obtient lorsqu'on introduit dans l'équation (63) la solution particulière suivante de l'équation (62)

et lorsqu'on joint à cette équation ses deux dérivées prises par rapport à a et à p.

Les surfaces que nous venons de définir paraissent mériter une étude approfondie. Elles comprennent comme cas particulier les surfaces du second degré et les cyclides, lorsque p est égal ou inférieur à 4> Les normales donnent lieu à des propriétés remarquables relatives à leur réflexion sur les surfaces homofocales de paramètre //i*. Nous nous contenterons d'indiquer ici comment on obtiendra les équations qui déterminent la surface.

Dans l'identité

{70) P\u)-q\u)F{u) = (u-p)(u^pO{u-P2)n{u-hi),

on fera d'abord u = A/, ce qui donnera 2/> — 3 équations

P(A,.) = Q(/i/)v/F(Âr),

qui, jointes à l'équation (67), feront connaître les coefficienLs de P('/) et de Q(^) en fonction rationnelle des radicaux

\/{hi — a)(/i| — P). Puis on substituera dans l'identité (70) les valeurs ^, b, c pour {/, ce qui donnera des équations de la forme suivante :

P(a) = /(a — p)(a"^pi)(a — p,) /n(a-A/),

3ia LIVRE IV. — CHAP. XIV.

c'est-à-dire

(71) P(a) = /(a — b){a — c) ar/n(a — A/),

X désignant Tune des coordonnées rectangulaires du point de la surface cherchée; on obtiendra des expressions analogues pour j^ et z. Les coordonnées rectangulaires sont donc des fonctions rationnelles, à dénominateur commun, des radicaux ^(A| — a) (Ai — P). La même propriété appartient aux coordonnées pentasphériques et Ton reconnaît aisément que la surface ne coupe le plan de Tinfini qu'en tous les points du cercle de l'infini.

469. Les propositions précédentes comportent une généralisation que nous allons indiquer, bien qu'elle ne se rattache pas directement au sujet traité dans ce Chapitre.

Considérons, d'une manière générale, un système orthogonal pour lequel l'élément linéaire soit donné par la formule

où l'on a

?(") = ("-?)(" — Pi)(w-- pi),

etoii/(p) est un polynôme algébrique. La forme précédente de l'élément linéaire convient à deux systèmes déjà rencontrés, celui des surfaces du second degré et celui des cyclides; et ces systèmes sont d'ailleurs les seuls pour lesquels elle ait lieu. La condition d'orthogonalité prendra la forme

(73) A(e,e,) = My4P^?fi = o.

D'après cela, posons

La fonction 6, considérée comme dépendante de a, ^, y, satisfera aux trois équations

d^e I de ï de

^^""*^(>Yd3t 2 dy "^2 d? ~^'

LA SUBFACE DE M. LIOUVILLE. 3l3

Cela posé, § étant une fonction de a, ^, y satisfaisant aux trois équations précédentes, considérons le système

^^ ^ di " d%' d^ ~ d^ ' ay "■ <^Y '

qui détermine a, p, y en fonction de p, pi, p2. Nous allons montrer que a, p, y sont les paramètres de trois familles d'un système orthogonal.

On peut joindre, en effet, aux relations précédentes les suivantes

qui en sont des combinaisons linéaires en vertu des équations ( 73 ). Or, si Ton différentie les équations (76) en tenant compte des précédentes, on aura

le signe d indiquant les différentielles prises par rapport à p, pi, P2 seulement. Ces formules permettent de calculer immédiatement les dérivées de a, p, y par rapport à p, p<, P2 et de vérifier la relation d'orthogonalité.

Le théorème ainsi établi comprend comme cas particulier le précédent, qui s'en déduit en faisant y = 00. La fonction ^(a, p, y) contient dans son expression la plus générale trois fonctions arbitraires d'une variable; mais, ici encore, on peut appliquer le théorème d'Âbel et obtenir une infinité de systèmes orthogonaux algébriques. Nous nous contenterons maintenant de ces indications.

3l4 LIVRE IV. — CHAP. XV.