CHAPITRE XV

Dcfînition de certaioes congruences spéciales dans lesquelles chaque courbe esl reacoatrée seulement par deux courbes infiniment voisines. — Cas où les courbes de la congruence sont des cercles. — Enveloppes d'une famille de sphères dépendant de deux paramètres. — Lignes principales de l'enveloppe. — Elles correspondent à un système conjugué tracé sur la surface des centres des sphères. — Étude détaillée du cas où les lignes de courbure se correspondent sur les deux nappes de l'enveloppe. — Les six coordonnées de la sphère variable satisfont alors à une même équation linéaire aux dérivées partielles du second ordre. — Les systèmes cycliques de M. Ribaucour; théorèmes divers. — Différentes manières d'obtenir des systèmes cycliques. — Pour que les lignes asymptotiques se correspondent sur les deux nappes de la surface focale d'une congruence rectiligne, il faut et il suffit que les six coordonnées de chaque droite de la congruence vérifient une même équation linéaire du second ordre.

470. Les propriétés des équations linéaires du second ordre, que nous avons employées surtout dans la théorie des congruences rectilignes, peuvent être appliquées aussi à l'étude de certaines congruences particulières formées avec des courbes de degré quelconque.

Considérons des surfaces (S) représentées par une équation de la forme

(0 ^^i^i{^,yy^) = o,

où les symboles cp, désignent des fonctions déterminées de x^ y^ z et où les coeffîcients Â/ sont des constantes arbitraires. Si Ton prend, par exemple, en faisant « == 4>

I, ar, y, z,

pour les fonctions f/, on aura Téquation la plus générale d^un plan. Si, faisant 2 =: 5, on ajoute aux fonctions précédentes

LES CONGRUENCES DE CERCLES ET LES SYSTÈMES CYCLIQtES. 3l5

on a Inéquation d^une sphère, et ainsi de suite. 11 est clair que, si Ton choisit convenablement le nombre / et les fonctions ^ /, on peut obtenir l'équation la plus générale des surfaces algébriques qui passent par un nombre déterminé de points fixes ou contiennent certaines courbes fixes.

Deux surfaces (S) se coupent suivant une courbe (C) définie |)ar deux équations de la forme

et il est clair que deux courbes (C) ne peuvent se couper en des points distincts dont le nombre dépasse celui des points communs à trois surfaces (S). Il faudra, pour que ce nombre maximum soit atteint, qu'il y ait une relation linéaire entre les premiers membres des équations des deux courbes. Par exemple, si les surfaces (ï) sont des sphères, les courbes (C) seront des cercles; et, pour que deux cercles se coupent en deux points, il faut que Tune des quatre équations qui, prises deux à deux, représentent les deux cercles soit une combinaison linéaire des trois autres.

Gela posé, supposons que les coefficients A/, B/ soient des fonctions quelconques de deux paramètres variables a et b : on obtiendra une congruence de courbes (C). Nous allons chercher la condition pour que chacune de ces courbes soit coupée dans le nombre maximum de poinls par deux courbes infiniment voisines de la congruence.

Substituons aux variables a et b les deux fonctions p et pi de ces variables qui demeurent constantes lorsqu'on associe les courbes de la congruence qui se coupent consécutivement. Si l'on joint aux équations (?.) leurs dérivées par rapport à p

l ^';^'?d^yy^^)^<'y

on aura à exprimer que les premiers membres des équations {•?.) et (3) sont liés par une relation linéaire; ce qui conduit à une

3l6 LIVRE IV. — CHAP. XV.

série de relations de la forme

(^) M^^' + N^ = PA,+ QB,,

OÙ M, N, P, Q sont des fonctions déterminées de p et de pi ; et il faudra qu*il en soit de même lorsqu'on prendra les dérivées par rapport à pi, ce qui donnera les relations analogues

qui doivent avoir lieu, comme les précédentes, pour toutes les valeurs de Tindice i.

On peut résoudre comme il suit le système des équations (4) et (5). Substituons à la fonction Â/ la combinaison linéaire

MA/-t-NB/,

ce qui ne change pas les équations de la courbe (C). L'équation (4) prendra la forme

et elle déterminera B/(*). Si l'on porte la valeur ainsi obtenue dans la seconde équation (2) et dans Téquation (5), on est conduit au résultat suivant :

Les équations qui déterminent les courbes (C) doivent être de la /orme

(') L'hypolhèse que Ton néglige, où Q serait nul, ne peut conduire qu'à des congrucnces comprises dans la formule générale que nous allons obtenir ou à celles qui sont définies par les deux équations

qui ne sont pas données, il est vrai, par le système (6), mais qui sont comprises comme cas particulier dans les formules (la), que nous substituerons plus loin aux équations (6).

LES CONGRUENCBS DE CERCLES ET LES SYSTEMES CYCLIQUES. 3l7

les différentes fonctions A/ étant des solutions particulières d'une même équation linéaire

d«0 c^Ô . ai)

Opàpi dp àpi

oit a^ b, c désignent des fonctions quelconques de p et rfe p,.

471. Cette proposition permet d^obtenir sans aucune intégration les congruences cherchées. Supposons, par exemple, que l'on veuille déterminer toutes les congruences de cercles pour lesquelles chaque cercle est coupé seulement par deux cercles inûniment voisins, mais en deux points par chacun d^eux. On choisira cinq fonctions quelconques B/ de deux paramètres a et ^ et Ton écrira Téqualion linéaire de la forme

dont les coefficients sont déterminés par la condition que Téquation admette les cinq solutions particulières 0/. Les cercles de la congruence seront déterminés par les deux équations

où Xi sont cinq fonctions linéaires de x- -4-^'^ 4- 3^, JC, j*, :?, i, par exemple les coordonnées pentasphériques d^un point, et où

le rapport — est, défini par la condition que Téquation difl*éren-

tiellc

ndT. — m cf p = o

soit celle de Tune des caractéristiques de Téquation (8). En effet, si Ton ramène l'équation (8) à la forme normale, en intégrant les équations différentielles des caractéristiques, les équations (9) prendront précisément la forme (6).

Revenons à ces équations générales; p et pi n'y entrent pas symétriquement; mais on peut obtenir des formules plus élégantes. Nous avons vu, en effet, au n° 402, qu'étant donnée une solution quelconque ô de l'équation (7), il est possible de trouver

3l8 LIVRE IV. — CnAP. XV.

une fonction t, telle que Ton ait

à? àp Opt ^

a- satisfaisant à une équation de la forme

A chacune des solutions A/ correspondra de cette manière une solution ai de l'équation en 7 et les équations (6) prendront la forme

ou p et Pi entrent de la même manière et où les a/ sont des solutions particulières de Téquation (11). Cette détermination nouvelle des courbes de la congruence donne lieu aux remarques suivantes.

Etant donnée une congruence quelconque, appelons pour un instant sur/aces singulières de la congruence les surfaces engendrées par des courbes de la congruence qui se coupent consécutivement. 11 y a généralement (n° 31S) autant de séries de surfaces singulières qu'il y a de points focaux sur chaque courbe de la congruence. Ici, au contraire, il y a deux séries seulement de surfaces singulières. Les unes contiennent toutes les courbes de la congruence pour lesquelles p a une même valeur; les autres toutes celles pour lesquelles pi demeure constant. On obtiendrait les unes et les autres en éliminant, soit p, soit pi entre les deux équations (12); nous allons montrer que chacune de ces deux équations (la), considérée seule, représente une surface qui est tangente, en tous les points delà courbe de la congruence, à Tune des deux surfaces singulières qui contiennent celle courbe.

Posons, pour abréger,

P, considérée comme fonction de p et de pi, satisfera à l'équa-

LES CONGRUENCES DE CERCLES ET LES SYSTÈMES CYCLIQUES. SlQ

lîou

d^P dP Q àP

(l{) T— r Ha-r- -i-^^T— =0,

et les équations (12) prendront la forme plus simple

dP àP

(i5) rr =^y T~ =^'

dp ' dpi

Si nous difTérentions totalement ces équations, nous trouverons, en tenant compte de l'équation (i4)t

^^P d»P^ ,dP d»P ,

dp dp* ^ âpi Op\ ^

la dilTérentielle d portant seulement sur x^y, z. L'équation du plan tangent à la surface p ==^ const. sera donc

et il est ainsi établi que la surface représentée par la première des équations (12) ou (i 5) est tangente en tous les points de la courbe à une des surfaces singulières. S'il s'agit, par exemple, d'une congruence rectiligne, les deux équations (i5) représentent les plans focaux de la droite. Si la congruence est formée de cercles, elles représentent deux sphères que l'on pourrait aussi appeler les sphères focales; elles contiennent un des deux cercles infîniment voisins du cercle proposé qui le coupent en deux points.

472. L'étude des congruences spéciales de cercles que nous venons de définir doit être associée à celle de la congruence rectiligne formée par les axes de ces cercles. Soient (K) un cercle de la congruence et (d) son axe. Les droites (d) seront tangentes à deux surfaces fixes (S), (S,); désignons, comme nous l'avons fait jusqu'ici, par les lettres (C) et (Cf) les courbes, tracées respectivement sur (2) et (S|), qui sont les arêtes de rebroussement des diverses développables formées par les droites (d). Lorsque le cercle (K) se déplace de telle manière que deux de ses positions consécutives se coupent en deux points, il est évident que son axe doit engendrer une développable ; car les axes de deux cercles qui se coupent en deux points vont se couper au centre de la

sphère qui contient ces deux cercles. On voit donc que, pour obtenir les surfaces singulières de la congruence de cercles, il faudra déterminer les développables formées avec les axes (rf) de ces cercles. On obtiendra ces développables lorsque la droite (rf) se déplacera de manière à rester tangente à une des courbes (C) ou (C|). A chaque cercle (K) correspondent deux points M, M| où Taxe du cercle est tangent respectivement à (S) et à (S|). Décrivons de ces points comme centres deux sphères (S), (S|) contenant le cercle (K). Lorsque le point M décrira une courbe (C), la sphère (S) enveloppera une des surfaces singulières qu'elle touchera suivant les positions successives du cercle (K.). Lorsque le point Mi décrira de même la courbe (C|), la sphère (S|) enveloppera une surface singulière de l'autre série qu'elle touchera suivant les positions successives du cercle (K). Ces relations géométriques sont à peu près évidentes; elles résultent de ce que les sphères (S) et (S|) contiennent chacune, en même temps que le cercle (K), un des deux cercles infiniment voisins qui le coupent en deux points. On voit qu'aux deux familles de surfaces singulières correspondent, sur (2) par exemple, deux familles de courbes conjuguées décrites par le point M, les courbes (G) tangentes aux axes (d) et les courbes (D) qui correspondent (n" 319) aux courbes (C| ) tracées sur (S| ).

Les remarques précédentes montrent qu'il convient d'associer l'étude des congruences de cercles à celles des surfaces enveloppes de sphères.

Considérons une sphère définie en coordonnées pentasphériques par l'équation

mxi = o,

et supposons que les cinq quantités Ui soient des fonctions quelconques de deux paramètres a et p. Il y aura toujours une équation de la forme (8) admettant les cinq solutions particulières ^//. Supposons cette équation ramenée à la forme normale (7) et proposons-nous de rechercher la propriété géométrique qui caractérise les courbes de paramètres p et pi tracées sur l'enveloppe des sphères.

Chaque sphère touche celte enveloppe (E) en deux points A et

B, qui sont définis par lY^quation (i6) jointe aux deux suivantes :

Si Tonfait varier infiniment peu p et pi, on aura deux nouveaux points de contact A' et B'; cherchons la condition pour que les quatre points A, B, A', B' soient sur un même cercle et, par suite, dans un même plan.

L*équation générale des sphères passant par les points A et B est évidemment

\ [JL, [JL, étant trois arbitraires. Pour que Tune de ces sphères contienne les points A', B', il faudrait que Ton ait

lorsqu'on passera de A à A' ou de B à B'.

Or, si l'on différentie les équations (i6) et (17), on trouvera, en tenant compte de Téquation aux dérivées partielles à laquelle satisfont les cinq quantités i//.

L'emploi de ces formules permet de ramener l'équation (19) à la forme

et cette nouvelle équation devra être vérifiée lorsqu'on y remplacera les quantités Xi par les coordonnées des points A et B. Cela ne peut arriver, en général, que si l'équation est identiquement vérifiée, ce qui donne les deux conditions

Jl £fp = O, [Xi dpx = o.

On obtient donc les deux solutions

[Li = 0, dp — o.

Pour la première, par exemple, on a

dpi = o,

et les sphères représentées par Téquation

passent, quel que soit le rapport -> par les quatre points A, B,

A\ B'. Ces quatre points sont donc sur un cercle, et nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Sur toute enveloppe de sphères à deux paramètres, il y a en général deux séries de lignes que nous appellerons lignes principales de V enveloppe; elles sont définies par cette propriété que, lorsqu^on se déplace sur l'une d'elles, les quatre points de contact des deux sphères infiniment voisines avec l'enveloppe soient sur un même cercle que nous appellerons cercle principal. Les lignes principales sont les caractéristiques de l'équation aux dérivées partielles qui admet comme solutions particulières les cinq coordonnées homogènes des sphères variables (*).

Lorsque les quatre points de contact, deux à deux infiniment voisins, A, B, A', B' sont sur un môme cercle, les cordes de contact AB, A'B' se rencontrent; par suite, les plans focaux de la droite

( *) Nous avoDS admis que la sphère représentée par l'équation (19 )^ ne peut contenir, quand le rapport . varie, les deux points A et B. Cela est vrai, en

général; mais on reconnaîtra aisément qu'il n'en est plus de même dans le cas exceptionnel où les cinq fonctions

ne sont pas linéairement indépendantes. Mais alors les quantités u^ ne seront pas linéairement indépendantes; l'enveloppe sera une surface anallagmatique, les cordes de contact des sphères iront passer par un point fixe, et les lignes principales seront indéterminées.

AB sont tangents, sur les deux nappes, aux lignes principales; ces lignes se trouvent donc sur les développables de la congruence engendrée par la corde de contact des sphères. Cette proposition pourrait leur servir de définition; mais elle mettrait moins bien en évidence la propriété essentielle des lignes principales qui est de se conserver par l'inversion, comme le montre immédiatement la définition que nous avons adoptée.

D'après les résultats précédents et la formule (ao), l'un des cercles principaux aura pour équations

(21) ^UjXj = o, 257^^'=°»

et, si l'on rapproche ces résultats de ceux que nous avons obtenus au n® 470, on reconnaîtra immédiatement que toute congruence de cercles dans laquelle chaque cercle est rencontré par deux cercles infiniment voisins seulement est formée par les cercles principaux d'une enveloppe de sphères.

473. C'est ici le lieu de faire connaître une proposition qui est due à M. Ribaucour (*).

Considérons une surface (S) et soient x, y, z les coordonnées d'un de ses points. L'équation

(22) X«-hY* + Z» — 2a?X — 27Y — 2zZ-ha:ï-hj^«-h-sî — R« = o -

représente une sphère ayant son centre sur la surface. Supposons que la valeur de R soit déterminée pour chaque point de la surface; la sphère enveloppera une des surfaces à deux nappes que nous venons de considérer d'une manière générale. Nous allons montrer que les lignes principales de cette enveloppe correspondent à un système conjugué tracé sur (S). ^

Prenons comme variables les paramètres p, p^ du système conjugué qui correspond à la fonction x'^ -\- y^ -^ z^ — R^ (n« 107) [I, p. i35]. Alors les fonctions

ïi ^i y-> ^1 ^* -+-^* -+- -s* — R*

(*) A. RiBAUcouRi Sur une propriété des sur/aces enveloppes de spfières {Comptes rendus, t. LXVII, p. i334 ; 1868).

salisferont à une équatioD linéaire de la forme (i i) et le premier membre de Téquation (22) sera un cas particulier de Texpression générale définie par Téquation (i3), correspondant aux valeurs précédentes des fonctions a/. Les formules (12) deviendront ici

Elles définissent la corde de contact de la sphère variable (22) avec son enveloppe. Si Ton remarque maintenant que, diaprés la théorie générale, les deux plans représentés par les équations précédentes sont les plans focaux de cette corde de contact, on sera conduit au théorème de M. Kibaucour :

Si une sphère variable dépend de deux paramètres, la corde de contact de cette sphère avec son enveloppe engendre une congruence dont les développables correspondent à deux familles de courbes conjuguées tracées sur la surface des centres (S), et les tangentes à ces courbes en un point de [H) sont perpendiculaires aux plans focaux de la corde correspondante.

En adoptant les définitions précédentes, nous voyons que les cercles principaux de l'enveloppe ont pour axes les tangentes aux deux familles de courbes conjuguées tracées sur la surface des centres.

474. Si Ton examine la démonstration que nous avons donnée du théorème de M. Ribaucour, on reconnaît que la sphère n'y intervient que d'une manière accessoire et, en quelque sorte, comme élément de construction. Rien ne serait changé aux résultats si l'on substituait à l'équation (22) la suivante

<p(X, Y, Z) — ixX — a^Y — 2^Z -+- e = o,

où y(X, y, Z) désigne une fonction absolument quelconque de X, Y, Z, B étant d'ailleurs une fonction donnée d'une manière arbitraire des paramètres qui fixent la position du point {x,yj z) sur la surface. Cette remarque permet de former un grand nombre

de théorèmes analogues à celui de M. Ribaucour. Nous signalerons seulement le suivant :

U, V, W, P désignant des coordonnées tangentielles, écrivons l'équation

(a4) Vx-h \y -H W^ -+- P — R v/Uî H- V » -t- W* = o,

qui représente une sphère ayant son centre sur la surface (S). Soient maintenant p, pi les paramètres du système conjugué, tracé sur cette surface, qui correspond à la fonction R (n® 107) et non plus à la fonction x^ -hy^ -\- z^ — R^. Alors x, y, z, R seront quatre solutions particulières d'une équation de la forme

et, si l'on remplace 8 par OR, on reconnaîtra que -ït? ^> h' R satisfont encore à une équation toute semblable, de sorte que l'on pourra appliquer le théorème général à l'équation (24) divisée par R. Les deux équations

auxquelles on est conduit, définissent une droite qui est l'intersection des plans tangents à la sphère aux deux points où elle touche son enveloppe. Elle se trouve dans le plan tangent à (S) et elle est la polaire de la corde de contact par rapport à la sphère. D'après la proposition générale, interprétée en coordonnées tangentielles, les deux points focaux de cette droite sont déterminés par chacune des équations précédentes, considérée seule. On peut donc énoncer le théorème suivant :

Etant donnée une sphère variable dont le centre décrit une surface (S), les deux plans tangents à cette sphère aux points ou elle touche son enveloppe se coupent suivant une droite située dans le plan tangent correspondant de (S). Les développables de la congruence engendrée par cette droite correspondent à deux familles de courbes conjuguées tracées sur (S) ;

et les tangentes à ces courbes en^ un point de (S) vont couper la droite correspondante de la congruence en ses deux points focaux,

475. Ainsi, à chaque enveloppe de sphères on peut faire correspondre deux systèmes conjugués tracés sur la surface (S). Lorsqu'on se déplace sur une courbe appartenant au premier système, les quatre points de contact de deux sphères consécutives avec l'enveloppe sont dans un môme plan; si l'on se déplace au contraire sur une courbe du second système, les quatre plans de contact de deux sphères consécutives vont concourir en un même point. Ces deux systèmes conjugués sont, en général, distincts; mais ils peuvent devenir identiques. Pour qu'il en soit ainsi, il faut évidemment, lorsque les points de la surface sont définis par deux variables quelconques a et p, que l'équation linéaire de la forme (8) dont les coefficients sont déterminés par la condition qu'elle admette les solutions particulières i, x^y^^ z, R, admette aussi la solution particulière

Nous reviendrons sur cette condition; lorsqu'elle sera remplie, on pourra ramener l'équation linéaire à la forme normale

, ^ a«e de . (^0

(27) T-- ha-- -t-6-— =0.

dp dpi dp dpi

p et Pi seront les paramètres du système conjugué tracé sur (S) el l'équation précédente devra admettre les cinq solutions

x,y, 5, R, a:ï+^î-4-^2 — Rî.

Si l'on y substitue x^ -hy^ -f- s^ — R^, en tenant compte de ce fait que x, y^ z^ R sont déjà des solutions particulières, on trouvera la relation

. „. dx dx dy dy dz dz dK dK

dp dpi dp dpi dp dpi dp dpi

que nous allons interpréter géométriquement.

Soient {Jig* 3i) M le centre de l'une des sphères, A et B les

points de contact de cette sphère avec l'enveloppe, G et D les points focaux de la droite CD d'intersection des plans tangents en A et en B. Nous allons montrer que les plans focaux de la droite AB passent respectivement par G et par D.

Fig. 3i.

Nous avons vu que les plans focaux de AB sont représentés par les deux équations (23). Considérons celui qui est représenté par l'équation suivante :

Les points focaux de GD sont représentés de même en coordonnées tangentielles par les équations (26); celui qui est défini par la seconde aura pour coordonnées

dp ou, en réduisant,

:(r) 5^vrJ

dpt y R./

R dx dK dpi'

R dy dR dpi'

R àz dR dpi

dpi

Si Ton exprime que ce point est dans le plan focal précédent, on retrouve précisément l'équation (28).

Il est donc établi que les plans focaux de AB passent par les points GetD; et, comme ils sont respectivement perpendiculaires aux deux tangentes conjuguées MG, MD, le point O où AB coupe

le plan tangent en M sera le point de concours des hauteurs du triangle MCD. De plus, d'après un théorème de Géométrie élémentaire, les deux angles GAM, DAM étant droits, il en sera de même de l'angle GAD.

Les développables de AB correspondent à celles de GD, puisque les unes et les autres correspondent aux courbes du système conjugué tracé sur (S); et, de plus, les plans focaux de AB contiennent les points focaux de GD. Donc (n° 424) les tangentes AG et AD seront conjuguées par rapport à la. nappe décrite par le point A; et, comme elles sont rectangulaires, elles seront tangentes en A aux lignes de courbure. Gomme on peut répéter le raisonnement pour la nappe décrite par le point B, on voit que les développables de la congruence formée par la droite AB intercepteront sur les deux nappes de l'enveloppe leurs lignes de courbure. Si l'on considère les droites MA comme des rayons incidents qui se réfléchissent sur la surface des centres (S) suivant les rayons MB, on retrouve les systèmes étudiés par Dupin (n® ^9)î dans lesquels les développables formées par les rayons incidents se conservent après la réflexion. Ces développables découpent sur la surface des centres le système conjugué que nous avons considéré au n® 453.

Réciproquement, supposons que les lignes de courbure de la nappe décrite par le point A correspondent à celles de la nappe normale aux rayons réfléchis. D'après la démonstration du n®4Sl, les tangentes en A et en B aux lignes de courbure se couperont en des points G et D situés nécessairement dans le plan tangent en M, et les plans focaux de la droite AB seront les plans ACB, ADB.

Donc (n° 423) G et D seront les points focaux de la droite GD. Les deux systèmes conjugués tracés sur (S) deviendront identiques, puisque les deux paires de tangentes conjuguées relatives à ces deux systèmes se confondent en une seule, formée des droites MG, MD.

476. Les relations géométriques se présentent maintenant en grand nombre. On voit que, lorsque le point A décrit une ligne de courbure de la nappe correspondante, toutes les droites AM, AG, AD, BG, BD, GD, AB, BM, CM, DM décrivent en même temps des développables. 11 y a trois paires de tangentes con-

juguées : MG et MD pour la surface décrite par le point M; AC, AD et BC, BD pour les surfaces décrites par les points A et B.

Décrivons des points G et D comme centres deux sphères (S|) et (S2) passant par A et par B, qui seront nécessairement tangentes en ces points aux lignes de courbure des deux nappes. Ges sphères, qui sont orthogonales, se couperont suivant un cercle (K) ; ce cercle a pour axe la droite GD et coupe à angle droit en A et en B la sphère de centre M. Supposons maintenant que le point M se déplace de telle manière"que le point A, par exemple, décrive la ligne de courbure dont la tangente est AD. La sphère (Si) de centre G enveloppera une surface à lignes de courbure circulaires et la touchera suivant le cercle (K). En effet, la sphère, étant constamment tangente à la courbe décrite par A, sera coupée par la sphère infiniment voisine suivant un cercle passant en A ; et, d'autre part, la courbe décrite par le point G ayant GD pour tangente, ce cercle aura pour axe la droite GD. Il coïncidera donc avec le cercle (K).

Si Ton fait maintenant décrire au point A l'autre ligne de courbure de la nappe (A), la sphère de centre D enveloppera une surface à lignes de courbure circulaires, qu'elle touchera aussi suivant le cercle (K).

Nous obtenons ainsi deux familles distinctes de surfaces à lignes de courbure circulaires se coupant mutuellement à angle droit suivant leurs lignes de courbure circulaires, qui sont les différentes positions du cercle (K). D'après le théorème du n° 441, ces deux familles de surfaces sont orthogonales à une troisième famille. On peut donc énoncer le théorème suivant :

Toutes les fois qu'une sphère variable dépendante de deux paramètres enveloppera une surface sur les deux nappes de laquelle les lignes de courbure se correspondent, le cercle (K) qui est normal à la sphère variable et la coupe en ses deux points de contact coupe à angle droit toute une famille de surfaces, A cette première famille on peut associer deux autres familles orthogonales formées des surfaces à lignes de courbure circulaires obtenues en associant les positions successives du cercle (K) qui se coupent consécutivement.

33o LIVRE IV. — CHAP. XV.

477. La découverte de ces systèmes triples orthogonaux est due à M. Rîbaucour (*). Ils constituent une belle généralisation de celui qui est formé par une famille de surfaces parallèles et les développables trajectoires orthogonales. M. Ribaucour y a été conduit par le théorème suivant :

Lorsque les cercles d'une congruence sont normaux à plus de deux surfaces, ils sont normaux à une infinité de surfaces sur lesquelles les lignes de courbure se correspondent et qui constituent, par suite, une des trois familles d'un système orthogonal.

Pour établir cette proposition, nous envisagerons d'abord les cercles normaux à deux surfaces quelconques (A) et (B). On démontre aisément que ces cercles forment une congruence. Pour les obtenir tous, il suffit de construire une des sphères (S) tangentes à (A) et à (B) : le cercle qui passe par les points de contact de cette sphère avec (A) et (B) en coupant la sphère à angle droit est l'un des cercles cherchés. La surface (S) qui contient les centres des sphères (S) a été considérée par Gergonne; elle est le lieu des points d'où l'on peut mener aux deux surfaces (A) et (B) des normales de longueur égale. Si des rayons lumineux normaux à (A) et partant de (A) se réfléchissent sur la surface (S), ils deviendront après là réflexion normaux à (B), et le chemin total parcouru par la lumière sera le même que s'ils étaient partis des difl^érents points de (B).

Cela posé, soit

(29) ^UiXi=zO

l'équation en coordonnées penlasphériques de l'une des sphères (S). Les quantités ui dépendent de deux paramètres variables a et p, et l'on obtiendra les points de contact de la sphère avec les

(') A. BiBAUGODR, Sur la déformation des surfaces (Comptes rendus, t. LXX, p. 33o; 1870). Sur les systèmes cycliques (Même Recueil, t. LXXVI, p. 478; 1873). Sur les faisceaux de cercles (Même Recueil et même tome, p. 83o).

deux nappes (A) et (B) de l'enveloppe en joignant à l'équation précédente ses deux dérivées par rapport à a et à ^

Ces deux équations représentent un cercle qui passe par les points de contact de la sphère. Mais, si Ton a multiplié les quantités iii par une fonction telle que Ton ait

les deux sphères représentées par l'équation (3o) couperont à angle droit la sphère (S) en vertu des relations

àui v^ dui

qui dérivent de l'équation (3i) (n** 1S6). Par suite, les deux équations (3o) représemteront tous les cercles (K) normaux aux deux surfaces (A) e^ (B).

Supposons maintenant que ces cercles soient normaux à une troisième surface (C). En raisonnant sur les deux surfaces (A) et (C) comme nous l'avons fait avec (A) et (B), on sera conduit à des équations nouvelles pour les cercles (K). Si l'équation

(32) ^i^ia?/=o

représente les sphères tangentes à (A) et à (C), et si l'on a choisi les fonctions Vi, de telle manière que l'on ait

le cercle (K) sera encore défini par les équations

qui devront être équivalentes aux précédentes (3o). Il faudra

donc que Ton ait

dv,' dut , dui dvi dm dut

0% 0% dfl dp ÔOL O^

pour toutes les valeurs de Tindice i. En éliminant vi^ on sera conduit à une équation aux dérivées partielles de la forme suivante

qui devra être vérifiée par les cinq quantités w/.

Nous avons au Livre II [I, p. 227] introduit la notation des six coordonnées de la sphère. Il suffit de joindre aux cinq quantités Ui qui figurent dans Téquation de la sphère la sixième u^ qui est définie par la relation identique

ul = — ul

Ici cette sixième coordonnée sera égale k ±1^ d'après la relation (21) et, par suite, elle sera aussi une solution de Téquation (34). Nous pouvons donc interpréter comme il suit la condition trouvée. Les six coordonnées de la sphère (S) doivent satisfaire à une même équation aux déri\?ées partielles du second ordre. Cette propriété a lieu, en efict, lorsque la sixième coordonnée est réduite à une constante, et elle subsiste évidemment quand on multiplie toutes les coordonnées par une fonction quelconque de a et de p.

Il est aisé maintenant de reconnaître que la condition précédente, qui est nécessaire, est aussi suffisante. En effet, si Ton désigne par x^ y^ z\es coordonnées cartésiennes du centre de (S) et par R son rayon, on déduira facilement des développements donnés au Chapitre VI [I, p. 21 3] que les six coordonnées de la sphère sont de3 fonctions linéaires de

X, \x, Xy, Iz, XR, X(a7«-+-7«-f-5«— R»),

X étant un facteur de proportionnalité. Si on le réduit à Tunité, on reconnaît que

I, se, y, s, R, a?* -r- ^* -4- -3' — R*

doivent satisfaire à une même équation linéaire aux dérivées partielles. On retrouve ainsi la condition qui nous a servi de point de départ; et, par suite, le théorème de M. Ribaucour est complètement établi.

On démontrerait de même que, si des cercles sont normaux à deux surfaces et si chacun d^eux est rencontré en deux points par un des cercles infiniment voisins, tous ces cercles sont normaux à une famille de surfaces.

478. Les systèmes que nous venons d'étudier et auxquels M. Ribaucour a donné le nom de systèmes cycliques jouent le Mie le plus important dans la théorie des surfaces à courbure constante. Pour le moment, nous allons rechercher comment on peut effectivement obtenir de tels systèmes, c'est-à-dire, d'après les propositions précédentes, des enveloppes de sphères pour lesquelles les lignes de courbure se correspondent sur les deux nappes.

Nous nous donnerons d'abord la surface (S) décrite par les centres des sphères, et nous chercherons à déterminer le rayon R des sphères de manière à satisfaire à la condition énoncée. Cela revient à déterminer les rayons incidents qui se réfléchissent sur (S) et dont les développables sont conservées par la réflexion.

Soient a et p les paramètres d'ailleurs quelconques qui fixent la position du point (x, y, z) sur (S). Il faudra exprimer qu'il existe une équation de la forme (34) admettant les cinq solutions

Xj y, Zy R, a:*-h^*-t--8*— R*.

Désignons par la notation

(3G) Dap(Mi, M„ ^3, M*, "5, Me)

le déterminant formé avec six fonctions, leurs dérivées premières et leurs dérivées secondes; on voit que R devra satisfaire à l'équation du second ordre

(37) DapCar, j, iî, i,R,a7«-hj^*-h5« — R») = o. En posant, pour abréger,

(38) rfx«-h.û(^«-+- ûf^«=Eû?aM-aFû?arfp-+-G</?*,

on ramènera aisément Téqualion précédente à la forme

dOL

dofl

dOLd^

âx*

doL^

Si l'on suppose, par exemple, que a et ^ soient les coordonnées rectangulaires x et^, on trouvera, après quelques réductions.

les lettres /?, gr, r, 5, t désignant les dérivées de z et les lettres accentuées celles de R.

Cette équation du second ordre est celle que nous avons intégrée dans le Chapitre précédent lorsque la surface (S) est du second degré. On en connaît toujours des solutions particulières, qui correspondent au cas où la sphère mobile ayant son centre sur (S) couperait sous un angle constant une sphère fixe. Dans ce cas, en effet, les lignes de courbure se correspondent sur les deux nappes de l'enveloppe (n° 172); et, du reste, le déterminant (37) est évidemment nul, puisqu'il j a une relation linéaire entre les six fonctions avec lesquelles il est formé,