Prenons, par exemple

R = nz.

Alors, si Ton considère des rayons incidents parallèles à l'axe des z et qui se réfractent en rencontrant la surface (S), l'anticaustique normale aux rayons réfractés sera (n® 450) l'enveloppe de toutes les sphères dont les rayons sont définis, en chaque point de la surface, par la formule précédente, pourvu que la constante n soit égale à l'indice de réfraction. Cette enveloppe se composera de deux nappes qui correspondront à des valeurs égales et de signes

contraires de l'indice de réfraction. Gomme la valeur précédente de R satisfait à l'équation (89), les lignes de courbure se correspondront sur les deux nappes de l'enveloppe, et elles correspondront à un système conjugué tracé sur la surface (S).

Soient p et pi les paramètres des deux familles qui composent ce système conjugué. Nous avons vu plus haut que Ton aura

, , ^ dx dx dv ày dz dz âK dK

" ' Op oçfi dp dpi dp opi dp opi

Si Ton remplace Rpar nz, il viendra

dx dx dv dy , . ^ dz dz

dp dpi dp dpi ^ 'dp ôpi

Construisons la surface (S') obtenue en diminuant les coordonnées z de tous les points de (S) dans le rapport de y/ 1 — /i^ à I , c'est-à-dire la surface lieu du point

Le système (p, p<) sera encore conjugué sur celte surface. De plus l'équation (4o) prendra la forme

d^dx^ dy dy àz^àz^ dp dpi dp dpi dp dpi ~~ '

et, par conséquent, le système conjugué, étant orthogonal, sera formé des lignes de courbure de (S'). Ainsi :

Les lignes de courbure des anticaustiques par réfraction relatives à un système de rayons incidents, normaux à un plan (P), qui se réfractent sur une surface (S), correspondent aux lignes de courbure de la surface (2') obtenue en diminuant les ordonnées normales « (P) des différents points de (S) dans le

rapport de sJT^ n^ à i .

Cette proposition, qui est équivalente à celle que nous avons donnée [I, p. 262], fera connaître les lignes de courbure des anticaustiques dans un grand nombre de cas et, en particulier, lorsque la surface (S) sera du second degré.