Nous donnerons ici une règle commode pour déterminer

dans le cas le plus général, les équations tangentielles de ces anticaustiques.

Désignons par x^ y, z les coordonnées d'un point de la surface dirimante (I). Soit

(4i) ax -^-by ~\- cz -{-^ = o

Téquation du plan normal aux rayons incidents. De chaque point de (2) comme centre, avec le rayon

il faut décrire une sphère dont l'enveloppe donnera Tanticaustique (A'). On peut toujours supposer, pour simplifier, que l'équation du plan a été multipliée par une constante convenable, et que Ton a

ce qui donne pour le rayon R la valeur

(43) ^ = ax-^by-^cz-\- 8.

L'équation tangentielle d'une sphère de centre {x^y^z) et de rayon R est

ux -^ vy -h wz -hp-h R/a*-t- p*-i- «** = o. Remplaçons R par sa valeur et supposons

nous aurons à prendre l'enveloppe des sphères représentées par l'équation

(45) (u-^a)x-^{v-h b)y-\-{w-^ c)z-hp-i'^ =0t

quand le point {x^ y, z) décrit la surface (S). Le résultat est évident; nous trouverons Téquation tangentiello de la surface dans laquelle on aurait remplacé w, ç^, fv, p par w + a, (; 4- 6, w -+- c, p -h 8. Ainsi :

Pour obtenir l'équation de l' anticaustique relative aux rayons incidents qui sont normaux au plan représenté par

V équation (40» ^^ cherchera V équation tangentielle homogène

de la sur/ace dirimante. Celle de V anticaustique sera alors

f{u-\-a, p -4- 6, w -\-Cj /> -h 0 ) = o,

Uy Vf w étant supposés maintenant reliés par C équation

Considérons, par exemple, une surface à centre du second degré, rapportée à ses axes de symétrie. Son équation sera

(46) />«=AM«-i-Bi^«-i-Gw>,

et, par conséquent, celle de Tanticaustique (A) deviendra

(47) (/?-t-8)»= A(M-f-a)«-t-B(p-H6)«H-G(w-i-c)». Cette équation développée est de la forme

(48) {p -+- o)*= aa»-<- 3^»*-+- Yw'-+- 2a'a -i- 23'p -h 27' tv,

déjà considérée au n® 457. Elle représente, avec des axes convenablement choisis, la surface la plus générale définie par la condition à!* être corrélative d'une sur/ace du quatrième ordre à conique double et d'admettre elle-même comme conique double le cercle de l'infini.

Réciproquement, il est possible de démontrer qu'une surface de cette définition peut être considérée comme une anticaustique relativement à quatre surfaces différentes du second degré. Si l'on identifie, en effet, les équations (4;) et (48), on sera conduit à la relation

-^a(a'— Aa)w-+-20'— B6)p-h2(Y'-Cc)w — Aa'— B6*— Cc*=o.

Elle ne peut avoir lieu que si l'on a

a'=Aa, p'=B6, 7'= Ce, a-A = X, p — B = X. Y — C = X, X=: Aa«4-B6*-i-Gc5.

On obtient ainsi

L'équation en \ fera connaître quatre valeurs dififérentes de cette inconnue, auxquelles correspondront quatre surfaces différentes du second degré. Ces surfaces seront homofocales ; Findice relatif à chaque réfraction aura pour valeur

et, par suite, la réfraction ne se changera en une réflexion que dans le cas exceptionnel où Téquation en X aura une racine double («).

481. Dans les applications précédentes, nous avons considéré comme donnée la surface des centres (S), et nous avons cherché le rayon R, c'est-à-dire nous avons déterminé les rayons incidents. Donnons-nous maintenant les rayons incidents, qui seront normaux à une surface (A), et proposons-nous de déterminer les surfaces (S) sur lesquelles on peut faire réfléchir ces rayons de telle manière que les développables soient conservées par la réflexion. D'après le théorème de Dupin, ce problème peut s'énoncer ainsi :

Etant donnée la sur/ace (A), déterminer toutes les sur/aces (S) sur lesquelles les développables formées par les normales de (A) découpent un réseau conjugué.

Soient :r, y^ z les coordonnées d'un point de (A), c, c', cf' les cosinus directeurs de la normale en ce point. Rapportons la surface au système de coordonnées (p, pi) formé par les lignes de

(*) Consulter sur ce sujet :

Laquerre, Sur la transformation par directions réciproques (Comptes rendus, t. XCII, p. 71 ; 1881 ).

Darboux, Détermination des lignes de courbure de toutes les sur/aces de quatrième classe, corrélatives des cyclides, qui admettent le cercle de Vinfini comme ligne double (même Recueil et même tome, p. 29).

courbure. Nous aurons les équations d'Olinde Rodrigues

i^ ^ àx -^ de ây ^ de' dz -, de'

iE ^ à^ Xi àe dy ^ de* dz ^ de"

^ ' dpi 'dpi dpi ^dpi dpi dpi

OÙ R et Rf désignent les deux rayons de courbure principaux. Si l'on pose

(52) X=a7-HcR, Y=7H-c'R, Z^z-^c'R,

Xy Y, Z seront les coordonnées de Tun des centres de courbure et devront être des solutions particulières d'une équation de la forme

<?«0 dfi Q dO

(^^> didii-^'^Tp-^^dir''-'

que l'on obtiendrait en éliminant x eic entre les trois premières équations des groupes (5o), (5i) et (Sa), mais qu'il est inutile de former; on reconnaît immédiatement que sa solution générale s'obtiendra en prenant les valeurs les plus générales de X, [jl satis- . faisant aux deux équations

/ 1- , X à\ -.d[i. d\ j^ duL

(54) — -+-Rt-=o» :ï- -^ l^t t- = o,

^ ^ dp dp dpi dpi

et en les portant dans la suivante

(55) e=:X-hfxR.

Cette remarque nous donne la solution delà question proposée. Nous avons vu, en effet (n^ 418), comment on détermine toutes les surfaces (I) qui sont coupées suivant des courbes conjuguées par les développables d'une congruence, lorsqu'on connaît une des surfaces focales de la congruence et le système conjugué tracé sur cette surface. Appliquons cette solution générale à la congruence formée par les normales de la surface (A). Les coordonnées homogènes du centre de courbure étant X, Y, Z, i, on aura ici, en appliquant les formules (5) [p. 222],

dô .d\ y ^d^ .dY c^e ^dZ

dp dp dp dp dp dp

de

dp

To=^,

34o LIVRE IV. — CHAP. XV.

0 étant la solution la plus générale de Téquation (53) et Xq, Yo, Zq, To désignant les coordonnées homogènes du point de la surface cherchée (S). Si Ton remplace X, Y, Z, 0 par leurs valeurs déduites des formules (62) et (55), on trouve ainsi

(56) \i= X — c- 9 Yi = v — c'-> Zi = z — c'-i

jx -^ JX JX

X|, Y|, Z| désignant maintenant les coordonnées rectangulaires du point cherché et X, \l les solutions les plus générales du système (54)*

On voit que tout se ramène à Tintégration de ce système (54). On en connaît déjà des solutions particulières

Par suite, si l'on élimine X entre les deux, équations (54)i on sera conduit à l'équation aux dérivées partielles suivante

qui, devant admettre les solutions particulières c, c', c^, sera nécessairement V équation tangentielle relative au système conjugué formé par les lignes de courbure de la surface (A).

Nous avons vu (n® 162) que l'intégration de cette équation équivaPut à la détermination de toutes les surfaces ayant même représentation sphérique de leurs lignes de courbure que (A).

La sphère qui est normale au rayon incident et au rayon réfléchi a son centre au point (X|, Y^ , Z|) et elle touche la surface (A) au point (or, y^ z). Son équation s'obtient donc sans difficulté; on peut lui donner la forme suivante :

Pour déterminer les points où elle touche son enveloppe, on la différentiera successivement par rapport à p et à pi , ce qui donnera,

LES CONGaCENGJSS DE CERCLES ET LES STSTàUES CYCLIQUES. 34 1

en tenant compte du système (54)9 les deux équations

àc ,^ \ àc' ... . de' ,„ X + (X-x)+^(Y-jK)--^(Z-z) = o,

qui représentent un cercle coupant la sphère aux deux points cherchés.

L'un de ces deux points est évidemment le pied de la normale

X = rr, Y = ^, Z = -5.

Les plans tangents en ce point aux trois sphères représentées parles équations (58), (5g) s'obtiennent immédiatement; ce sont le plan tangent et les deux plans principaux de la surface (A). Par suite, les trois sphères sont orthogonales et le cercle représenté par les équations (59) est celui qui est normal aux deux nappes de l'enveloppe.

482. Comme on peut toujours ajouter à \l une constante p^ sans que le système (54) cesse d'être vérifié, on voit que les enveloppes des sphères représentées par l'équation

(60) j'^^,-^'PX-a:).^(Y-,).^(Z-.).]

( -t-c(X — a?)-f-c'(Y— >')-Hc'(Z — z) = o

admettront comme trajectoires orthogonales tous les cercles représentés par les équations (59). Nous obtenons ainsi le système triple orthogonal dont nous avions établi l'existence au n^ 476; et les valeurs de p, pi, p^ tirées des formules (59) et (60) seront les paramètres des trois familles qui le composent. Voici quelques formules relatives à ce système : Introduisons la fonction auxiliaire 0 définie par la relation

(61) X - a?)«-+- ( Y — 7)*-4- (Z — z)« = — aXe.

Les formules (Sg) et (60) pourront être remplacées par le système suivant :

c(X-ar)+ C (Y~7)H- c''(Z~z) = 0(fjL-+-p,), (6.) , ^<''->-^'<V-^)-^<^-')-jf.

Ces équations peuvent être résolues par rapport à X, Y, Z et nous donnent

V û/ X ^ dii de ^ du de

e dp dp g dpi dpi

/i=ox ' V û/ . , ^ duL de' ^ du de'

^ ^ -^ ^"^ ^^ e dp dp ff àpi dpi

Z — ^ = 0(jx-+-p,)c -h-J=-h--^ — , ^^ r ' e dp dp g dpi dp,

e et ^ étant les quantités définies par Tidentité (64) rfc«-+-rfc'>-+-rfc'«=<?rfp«-K^rfpî.

Si l'on porte les valeurs de X, Y, Z tirées des formules (63) dans l'équation (61), on aura la relation

qui fera connaître B.

Des différentiations nous donneront ensuite les dérivées deX, Y, Z par rapport à p, pi, p2. On trouve ainsi

(67) ^ = HliPîerX-:r^--^l

dp, A L J*-^PîJ

jc I de I ,

4 "ô <^Pi| ^

et des formules analogues pour les dérivées de Y et de Z. Ces valeurs permettent de vérifier aisément les relations d'orthogonalité. On en déduit, pour l'élémejnt linéaire relatif au système

LES CONGRUBNCBS OB CBRGLE8 ET LBS 8YSTÉUBS CYCLIQUES. 343

orthogonal, la formule

(68) rf..= ().rfp|^/ |£ J«rfp.+ / ^ Wdpl,

où il faudra remplacer 8 par sa valeur tirée de l'équation (65).

Lorsqu^on donnera à p2 différentes valeurs constantes, on aura les différentes surfaces qui sont les trajectoires orthogonales des cercles représentés par les équations (og), La surface (A) correspond à rhvpothèse p2 = oo. Il résulte d'ailleurs de la forme des expressions de X, Y, Z, 6 par rapport à p2 que quatre trajectoires orthogonales fixes couperont chaque cercle en quatre points dont le rapport anharmonique sera constant. M. Ribaucour a beaucoup insisté sur cette propriété et en a déduit différentes conséquences.

Si Ton prend pour les cosinus directeurs de la normale à une des surfaces les valeurs y» Y^ 'f àé^inies^ en grandeur et en signe, par des formules telles que les suivantes

(69) ^^c-^{\^x)t±ll

les rayons de courbure principaux R', R, de la surface seront définis par les relations élégantes

Si l'on se reporte à \^ Jig. 3i en supposant que x^ y^ z soient

les coordonnées du point A, on déterminera aisément tous les

éléments de la figure. Les coordonnées de M et de B seront

données par les formules (56) et (63) 5 celles de C et de D par les

suivantes

de dx

' Èl ^

dp, dp,

auxquelles on ajoutera les valeurs analogues pour Y el Z.

La détermination des sj^stèmcs orthogonaux précédents repose sur rintégration du système (54). Si Ton prenait pour X et |jl les combinaisons linéaires suivantes

\ = hx '\- ky -\- Iz -k- m-\- n{x^ -+- j'* -4- ^* ), jx = /jc H- kc' -h le" -t- pj -H 2/i(car-4- c'y h- c'z)

des solutions signalées plus haut, on retrouverait le cas particulier déjà étudié [I, p. 258 et suiv.], dans lequel les cercles de la congruence sont normaux deux fois à une sphère ou à un plan. La détermination complète des systèmes orthogonaux correspondants exige seulement Tintégration de Téquation difTérentielle des lignes de courbure sur la surface proposée.

483. La proposition fondamentale, d'après laquelle les six coordonnées de la sphère qui enveloppe une surface sur les deux nappes de laquelle les lignes de courbure se correspondent satisfont à une même équation linéaire du second ordre, peut recevoir un grand nombre d'applications. Nous verrons, par exemple, que, lorsque les six coordonnées satisfont à l'équation élémentaire

la sphère enveloppe la surface la plus générale ayant ses lignes de courbure sphériques dans les deux systèmes; de sorte que la détermination de toute surface à lignes de courbure sphériques dans les deux systèmes se ramène à celle de six fonctions A/ de a et de six fonctions 6/ de ^ vérifiant l'identité

On obtiendra de même toutes les surfaces à lignes de courbure sphériques dans un seul système en déterminant toutes les sphères dont l<es six coordonnées satisfont à une équation linéaire dont un des invariants est égal à zéro. Nous nous contenterons maintenant de ces indications; et nous terminerons ce Chapitre, ainsi que le Livre destiné aux congruences, en remarquant que l'on peut étendre la proposition précédente aux congruences rectilignes.

Soient (G) une congruence de droites, (2) et (S|) les deux nappes de sa surface focale; chaque droite de la congruence, touchant en un point la nappe (S) et en un point la nappe (S|)y établit ainsi une correspondance point par point entre ces deux nappes. Les lignes asj^mptotiques de (S) ne correspondent pas, en général, à celles de (Si)- Mais, si Ton emploie la transformation de M. Lie en l'appliquant à la proposition que nous avons'étudiée relativement aux enveloppes de sphères, on est immédiatement conduit au résultat suivant :

La condition nécessaire et suffisante pour que les lignes asymptotiques se correspondent sur les deux nappes (S), (Si) est que les six coordonnées de chaque droite de la congruence, qui sont fonctions de deux paramètres variables, vérifient une même équation linéaire aux dérivées p'artielles du second ordre.

Appliquons cette proposition aux congruences de normales; Xy y, z désignant les coordonnées du pied de la normale, les six coordonnées de la normale sont

--x-'pz, Y-^qz, py—qx, —q, — /?, i,

p el q désignant les dérivées de z. Prenons, par exemple, x qI y comme variables indépendantes ; la condition pour que les lignes asymptotiques se correspondent sur les deux nappes de la surface des centres est

Dx^(ar -+- jD^, y -h qzy py — qx, p, q, i) = o.

Cette équation aux dérivées partielles du troisième ordre est celle des surfaces pour lesquelles les rayons de courbure principaux sont fonctions l'un de r autre.