CHAPITRE I
Définition d'un Iriédre trirectangle (T) lié à chaque élément de la surface. — Application des formules données dans le Livre I relatiTement aux déplacements qui dépendent de deux paramétres. — Systèmes de formules (A) et (B). — Directions conjuguées. — Lignes asymptotiques. — Lignes de courbure; équation aux rayons de courbure principaux. — Propriété cinématique des lignes d^ courbure. — Formules relatives à une courbe quelconque tracée sur la surface. — Théorème de Meusnier. — Courbure normale; courbure géodésique. — Éléments du troisième ordre. — Formules de MM. O. Bonnet et Laguerre. — Sphère osculatrice.
484. Nous nous proposons maintenant de reprendre Tétude des surfaces en la rattachant directement aux développements donnés dans le Livre I. Nous ferons connaître d*abord différents systèmes de formules parmi lesquelles se trouvent celles que Ton doit à M. Codazzi.
Considérons une surface quelconque; on peut lier l'étude de cette surface à celle du mouvement d'un système mobile en opérant de la manière suivante.
M désignant un point de la surface, construisons un trièdre trirectangle (T) dont le sommet soit en M et dont Taxe des z soit la normale en M; les axes des x et des^ seront, par suite, situés dans le plan tangent à la surface. Ces axes seront parfaitement déterminés si l'on connaît, pour chaque position du point M, l'angle de l'axe des x avec l'une des lignes coordonnées, par exemple avec la tangente à la courbe (> = const. Sans indiquer, pour le moment, rien de plus précis relativement à leur position
dans le plan tangent, nous allons montrer comment les propriétés
de la surface et des courbes qui y sont tracées se déduisent de
l'étude du mouvement du trièdre (T).
Remarquons d^abord que, si l'on conserve toutes les notations
du Chapitre VII [I, p. 66], ce mouvement est caractérisé par
les équations
C = o, îi = o,
qui expriment que la surface décrite par le sommet du trièdre est tangente au plan des xy.
Alors les formules du Livre I [I, p. 49 et 66] nous donnent le système suivant :
^ - :^ = ^''^ - ''^*' 5". - 5iZ = ^ '•» - """^'^ ,
dq âçi (h) dru > r^
et il résulte évidemment des propositions établies au Livre I qu'à tout système de valeurs des quantités p^ ..., Ç, ..., satisfaisant à ces équations, correspondra un mouvement parfaitement déterminé, et par conséquent une seule surface.
Si un point rapporté au trièdre (T) a pour coordonnées ^, y^ 5, on aura, en appliquant les formules (4) [I^ p. 67],
/ dx -\- \ du -^ \x dv -^ {q du '\- qx dv)z —{rdu-h ri dv)y,
(B) < dy -^r^du-\-r^xdi^-^{rdu -^ ridv)x — (j> du -\- pidv)Zf
\ dz -^{p dU'^pidv)y — {q du-v- qidv)Xy
pour les projections de son déplacement sur les axes du trièdre mobile, quand u et v prendront des accroissements du^ dv.
485. Considérons, en particulier, la surface proposée, qui est parcourue par l'origine du trièdre mobile; ds désignant la différentielle de l'arc de courbe décrit par cette origine et co l'angle que fait la tangente à cette courbe avec l'axe des x du trièdre mobile, on aura
(i) dscosiù r=^du -\-iidv, dssinui =z-i^du-^r^idv.
Ces formules feront connaître Télément linéaire de la surface, qui aura pour expression
Imaginons que, par un point fixe O de l'espace, on mène des droites parallèles aux axes du trièdre (T). On formera ainsi un trièdre (T4) dont les rotations seront les mêmes que celles du trièdre (T). Si Ton considère le point m à la distance i sur l'axe des z de ce trièdre, il décrira une sphère (S) de rayon i; ce sera évidemment le point qui correspond à M lorsqu'on effectue la représentation sphérique de la surface proposée sur la sphère (S) d'après la règle que nous avons indiquée.
D'ailleurs, si nous appliquons les formules (4) [I, p* 4S] relatives au déplacement d'un trièdre ayant un point fixe, nous trouverons pour les projections du déplacement du point m sur les axes du trièdre (T4) ou, ce qui est la même chose, sur ceux du trièdre (T), les valeurs suivantes :
g du -h q\dv, — pdu — PidVy o.
Par suite, si nous désignons par d<T l'arc de courbe décrit par le point m et par 0 l'angle que fait cet arc avec l'axe des x du trièdre (T), on aura
(3) ddcos^ = q du-hqidvj rfffsinO= — (pdu-hpidv).
L'élément linéaire de la sphère sur laquelle on effectue la représentation de la surface aura donc pour valeur
(4) d(3^^ (pdu-h pidvy-i-iq du-h qidvy.
Enfin l'angle (o — 0 d'une courbe tracée sur la surface avec sa représentation sphérique sera déterminé par l'une ou l'autre des deux équations
iûfff sin((u — ^) =: {p du -^pidv)cos(ù-{- (q du-\- qidv) sinco, <fcjcos(a> — ^) = {q du-¥- qidv)cosu} — {pdu -^p^dv) sino).
Ces formules nous seront très utiles. Nous allons maintenant résoudre quelques-unes des questions les plus importantes qui se présentent dans les applications.
35o LIVRE V. — CHAP. I.
486. Proposons-nous d'abord d'établir la relation qui doit exister entre deux tangentes conjuguées. Si le point M de la surface décrit une courbe, on obtiendra la conjuguée de la tangente à cette courbe en prenant l'intersection du plan tangent en M avec le plan tangent au point inCniment voisin de la courbe; en d'autres termes, la conjuguée est la caractéristique du plan tangent dans le mouvement du trièdre; elle est le lieu des points de ce plan dont la vitesse est dirigée dans le plan. Les formules (B) donnent les composantes de cette vitesse; si l'on écrit que la composante relative à Mz est nulle, on obtiendra l'équation
(pdu '^p\dv)y — {q du h- qxdv)x = o,
qui représente la tangente conjuguée. Appelons o>' l'angle qu'elle fait avec l'axe des x du trièdre (T); x qI y seront proportionnels à cosco'y sinco', et l'équation précédente deviendra
(6) {pdu -\- pxdv) siina' — {q du -h yi<fi')costo'= o.
Désignons par la lettre 8 les différentielles relatives à un déplacement suivant la direction conjuguée; on aura
Zs cosoi' = Ç 8a -i- Çi ôf, 8* sin to' = tj 8a -+- tji 8t^.
En substituant ces valeurs de sinco', cosco' dans l'équation que nous venons d'obtenir, on trouvera
l {P'r, — q\)du^u-\-{pxr^x—q\U)dvlv ^ / -H(/?T,, — ^5,)ûfa8t'4-(/>iTi — qx\)ludv = o.
Cette relation est, comme il fallait s'y attendre, parfaitement symétrique par rapport aux différentielles d^ 8 \ car les coefBcients de du 8^ et de ^u dv sont égaux en vertu delà dernière des formules (A). Il suit de là que la relation (6) peut aussi être écrite sous la forme suivante :
(6)' (/> 8a -t-/?i 8(') sînw — (y 8a -h ^i Iç) costo = o.
On pourrait encore établir comme il suit la relation entre deux tangentes conjuguées. On déduit des formules précédentes (3)
(8) rfjcos((u'— 6) = {q du -^ qxdv) co% m* ^ {p du -Jr pidv) sm ta' .
Or, si les deux directions définies par les angles o, îù' sont
FORMULES GÉNÉRALES. 35l
conjuguées, on aura, d'après une propriété déjà démontrée [I,
En introduisant cette hypothèse dans Téquation (8), on sera conduit de nouveau à la relation (6).
487. Si l'on suppose que les deux directions conjuguées coïncident, il faudra remplacer partout 8 par d^ co' par co ; et l'on aura l'équation différentielle des lignes asjmptotiques sous les deux formes suivantes :
( {p dUt-\- pidv) sinta — (q du -+- qidv)cosw = o.
En comparant la seconde de ces équations à l'une des formules (5),^ on reconnaît immédiatement une propriété caractéristique des lignes asy m pto tiques; elles /ont, en chaque point, un angle droit avec Vêlement correspondant de leur représentation sphérique,
La seconde équation (9) exprime aussi, nous le verrons plus loin, que le plan osculateur de la ligne asymptotique est tangent à la surface.
488. Cherchons maintenant l'équation différentielle des lignes de courbure. On obtient toutes les propriétés essentielles relatives à ces lignes en se plaçant à des points de vue divers, que nous allons successivement examiner.
On peut d'abord chercher les déplacements du trièdre mobile pour lesquels la normale à la surface, axe des z de ce trièdre, engendre une surface développable.
Pour qu'il en soit ainsi, il faudra qu'il existe sur l'axe des z du trièdre mobile un point variable
ar = o, ^ = o, ^ = p,
décrivant, dans le mouvement considéré, une courbe constamment tangente à cet axe. Or les projections du déplacement de ce point quand u et v prennent les accroissements du^ dv sont, d'après
les formules (B),
T) du -¥■ r^idv — ip du -h pidv )p,
dp.
Pour que la courbe décrite soit tangente à Taxe des Zy il est nécessaire et suffisant que les deux premières projections soient nulles. On a donc
i^du-\-^idi> -\- p{q du -h qidv) = o, ridu-hr^idv — p{p du -h pidç) = o.
Ces deux équations font connaître à la fois ^ ^^ ?• Cette
dernière quantité est évidemment le rayon de courbure principal correspondant à la ligne de courbure considérée. Si Ton élimine p, on obtient Téquation différentielle
(il) (p du-^ pidv)(\du -f- Çi dv) 4- {q du -+- q\dv)(T^ du -+- 7),rfp) = o,
qui caractérise les deux lignes de courbure. On peut lui donner la forme suivante
(»•)« {p du-{-p^dv)co%^ -{-{q du-^ qidv)^\iiii) = 0y
qui, rapprochée des formules (5), montre que les tangentes à une ligne de courbure et à son image sphérique sont parallèles.
Si l'on élimine au contraire ^> on obtiendra l'équation aux
rayons de courbure principaux
(i2) p^{pq\ — qp\) -^ p(^Ta — ^j 7) — Ç/?, 4- \xp) -f- $T)i — T^Ç, = o.
489. On retrouve encore les lignes de courbure en étudiant une des questions fondamentales relatives au déplacement du trièdre (T). Nous avons vu que, parmi les mouvements infiniment petits qui se produisent à partir d'une position donnée, il y en a deux, réels ou imaginaires, qui se réduisent à des rotations. La valeur
de j- et l'axe de rotation relatifs à ces mouvements sont définis dv
par les équations (6) [I, p. 68] qui se réduisent ici aux sui-
vantes :
I^du-h \\dv -¥• {q du -^ qxdv)z — (r du -+- rj dv )y = o, T) û?w-+-7)jûf(>-h {rdu ■■\' r\dv)x — (p du -^ pidv)z = o, {p du -\'P\dv)y — (q du-h qidv)x = o.
On en déduit d'abord l'équation {pdu-hpidv){i du-\'^idv) -h(q du-\- qidv){ri du -hr^idv) = o,
qui définit les valeurs de -7- correspondantes aux deux rotations.
Or, dans le cas qui nous occupe, l'équation précédente est celle des lignes de courbure.
De plus, l'axe de rotation relatif à chaque ligne de courbure va rencontrer la normale à la surface au centre de courbure correspondant. Cela résulte de la comparaison des formules (10) et(i3). En réunissant tous ces résultats, nous pouvons énoncer la proposition suivante :
Dans le déplacement du trièdre (T) lié à la surface, les mouvements infiniment petits qui se réduisent à des rotations sont toujours réels; ils correspondent à des déplacements de l'origine s' effectuant suivant les lignes de courbure de la surface. Les axes correspondants à ces rotations, qui sont évidemment- situés, pour chaque ligne de courbure, dans le plan normal à cette ligne, vont en outre passer par le centre de courbure principal correspondant,
490. Il nous reste maintenant à étudier les propriétés relatives à une courbe quelconque tracée sur la surface. Nous avons déjà obtenu les formules relatives à la tangente
5 </a -f- $1 dv
COSO) = -j-^ ,
ds
. 7) aw 4-7)1 ac
sino) = T-^ •
ds
Nous allons maintenant indiquer celles qui concernent la normale principale.
Nous savons [I, p. 11] que si, par un point fixe de l'espace, on mène une parallèle à la tangente de la courbe, d'une longueur D. - II. a3
354 LIVRB V. ~ GHAP. I.
égale à Tunité, la vitesse de rexlrémité de cette parallèle, en supposant que Parc de la courbe soit égal au temps, sera égale en
grandeur à la courbure de la courbe - et aura la direction et le
sens de la normale principale.
Or si, par le même point fixe, on mène des parallèles aux arêtes du trièdre mobile, on formera le nouveau trièdre (T|) déjà défini, dont les rotations seront, quand on se déplacera sur la courbe,
p du ~\- pi dv q du-^ qi dv r du -^ ri dv ds ' ds ds
L'extrémité de la parallèle à la tangente aura pour coordonnées
relatives
cosu)| sinci), o.
En appliquant les formules (4) [I, p* 4B] qui donnent la projection de la vitesse sur les axes mobiles, on obtiendra les formules
— (iosÇ' = — sin(i)(£/a)-i- rdu-^ r^ dv),
ds (i5) { — cosr^' = -h cosui(diùH- rdu-i- ridv),
ds
— cosÇ' =-i- sin (ù(p du -{-pi dv) — costs>(q du-^-qi dv),
Ç', 7^', ^' désignant les angles de la normale principale avec les axes des x, des y et des z du trièdre (Tj) ou du trièdre (T). Ces relations prouvent que Ton peut prendre
(i6) cosÇ' = — sincDsinm, coS7)'= coscosincr, cosÇ'= costït.
m désignera Tangle de la normale à la surface avec le plan osculateur de la courbe; et les formules (i5) pourront être remplacées par les deux suivantes :
(17) = sinu) (p du -h pi dv) — cos ta (q du -\- qi dv),
. . ds sin w j , -
(18) = ao) -+- r a a -h ri dv.
Ces formules appellent plusieurs remarques.
La première nous montre immédiatement que demeure le
même pour toutes les courbes ayant même tangente. Nous retrouvons ainsi le théorème de Meusnier et nous voyons que notre première formule donne ce que l'on appelle la courbure normale, c'est-à-dire la courbure de la section normale tangente à la courbe.
Quant à la seconde formule, elle définit un élément qui, comme nous le verrons, joue un rôle important dans la théorie de la déformation des surfaces. Considérons Je cylindre projetant la courbe sur le plan tangent. D'après le théorème de Meusnier,
sera la courbure de la section normale du cylindre tangente
à la courbe, c'est-à-dire la courbure de la projection de la courbe sur le plan tangent.
M. Liouville, qui l'a considérée après M. O. Bonnet, lui a donné le nom, accepté par tous les géomètres, de courbure géodesique {^),
Nous appellerons centre de courbure normale le centre de courbure de la section plane normale tangente à la courbe, et centre de courbure géodésique le centre de courbure de la projection de la courbe sur le plan tangent.
D'après le théorème de Meusnier, ces deux centres se trouvent sur l'axe du cercle osculateur de la courbe considérée.
On sait que l'on appelle ligne géodésique toute ligne dont le plan osculateur est, en chaque point, normal à la surface. L'équation différentielle des lignes géodésiques est donc
(19) flfo) -T- r du -^ ri dv = o.
491. La formule (17) nous permet d'obtenir, d'une manière nouvelle, l'équation différentielle des lignes de courbure. On sait, en effet, que ces lignes sont tangentes aux sections normales de plus grande ou de plus petite courbure. Elles sont donc déter-
(*) O. Bonnet, Mémoire sur la théorie générale des sur/aces {Journal de l'École Polytechnique, XXXIP Cahier, p. i; 1848). Présenté en i844 à l'Académie des Sciences.
J. LiouviLLE, Sur la théorie générale des surfaces {Journal de LiouvillCy t. XVI, p. i3o; i85i).
356 LIVRE V.— GHAP. I.
minées par l'équation
d /cosm\
où Ton regarde comme une fonction de u, \^ et de w. Or
on a
cosTîT p du-h P\ di> g du -+- çi dv
= sino) ^- r-^- cosw-2 -=-^
p ds ds
Les expressions de -1-9 T ^^ fonction de (o se déduiront des formules déjà données (i4)« On aura
du T,i costo — \\ sineo dv ^ sinco — t) cosco
En faisant usage de ces équations pour calculer les dérivées de
-j-y -T- considérées comme fonction de la seule variable to et re-
ds ds '
tranchant du second membre, après la dérivation, la quantité
qui est nulle en vertu de la dernière des équations (A), on obtient l'identité
d /costîtX pdu-^pidv . qdu-^-Qidv (20) T— f j = -2Coso>-^- -r^ hasino)^ -~^ —
dont nous aurons à faire usage. En égalant le second membre à zéro, on retrouve bien l'équation différentielle des lignes de courbure.
492. Nous allons maintenant passer aux éléments du troisième ordre. Remarquons d'abord que les angles V, [x', v' de la binormale avec les axes dutrièdre (T) sont connus, puisque nous avons déjà déterminé ceux de la tangente à la courbe et de la normale principale. En appliquant les formules (i) [I, p. 3], on a
(21) cosX'= sinwcosiïT, cos[jl' = — cosuicoscr, cosv'= sincr.
Nous savons aussi [I, p. 11] que si, par un point fixe, nous menons une droite de longueur égale à i, parallèle à la binormale,
Pextrémité de cette droite aura, quand on se déplacera sur la
ds courbe, un déplacement égal à — et la direction de ce déplacement
sera celle de la normale principale. Reprenons donc le trièdre (T|) déjà considéré, ayant le point fixe pour origine et parallèle au trièdre (T). L'extrémité de la parallèle à la binormale menée par Torigine aura pour coordonnées
sincocosm, — cos(i)Cosm, sinm
et les projections de la vitesse de ce point sur les axes mobiles devront être, en tenant compte des valeurs déjà données des cosinus directeurs de la normale principale,
— sinoDsînnr coscDsinm cosm , ; .
En appliquant donc Tune quelconque des formules (4) [!> p. 48] qui donnent la projection de la vitesse, la dernière par exemple, on aura
C0ST3 dm p du -h pt dv a du -h g* dv
= cosw -T — :~-i — cosmcosbi — T-2 cosmsmo)
T ds ds ds
et, en divisant par cosrsr,
, . I dm p du-^ p\dv a du-^- q\ dsf .
{il) T- = — -^ T^ — cosu)— i 7-^^ — sinw.
X ds ds ds
On voit que le premier membre demeure te même pour toutes les courbes ayant même tangente. Ce résultat important est dû à M. O. Bonnet. On peut encore donner à l'équation précédente la forme suivante :
, ^. I dm I d /cosm\
z ds "^ A d(x}\ p / '
la dérivée par rapport à (o ayant même signification que dans l'équation (20).
493. Pour obtenir tout ce qui se rapporte au troisième ordre,
il faut encore connaître -r- Pour cela nous difTérentierons la for-
ds
mule qui donne •
Cette quantité étant toujours considérée comme une fonction de u^ V et de co, nous avons
ou^ en remplaçant dix) par sa valeur
sin mds , , — r du — Ti at>
P déduite de la formule (18),
./coswN d /cosw\ sinnr ^.* __ V d /cosm\ d /cosnyXl ,
\ P )" àt^\ p / p Vàu\ ^ ) ^ diA\ p /J . "
On voit que le second membre peut être écrit sous la forme
[d /cosmX d /costuNT , ., ,
K ne dépendant que de la direction de la tangente à la courbe.
Quant jiu premier membre, si l'on y remplace — ( ) par
sa valeur tirée de la formule (sS), il ne contient plus que des quantités ayant une signification géométrique simple, etl'on obtient Téquation
(25 ) d 1 ( aro J = Ka*,
qui permettra évidemment de calculer ^•
En divisant les deux membres de l'équation (25) par — ^ — » on
aura
2 dm\ Kp
{26) — i ^ -4- tangw ( - — 3 -^ )
p ds \ "c ds / cos nj
K et — ^ ne dépendant nullement des éléments du second ordre
mais seulement de la direction de la tangente à la courbe, on voit dès à présent que le premier membre de l'équation (a6), et aussi
FOBMULES GÉNÉRALES. 359
celui de Téquation (a5) divisé par ds, demeureront les mêmes pour deux courbes ayant la même tangente au point donné, bien que les éléments dont ils dépendent soient du deuxième et du troisième ordre. Nous aurons à développer les conséquences de ce résultat, qui est dû à Laguerre (^ ).
Pour terminer ce qui se rapporte au troisième ordre, nous déterminerons le centre de la sphère osculatrice. En appliquant les formules connues et en désignant par x^^y^y Zq les coordonnées du centre de cette sphère, nous trouverons
Xq costu -h^o sinw =o, /^^\ J sinro(— arosinw -H^ocoso)) -H^ocosm = p,
cosm( a?o sincD — yo cosco) -h Zq sinra = — "^ ;7^ >
d*où Ton déduit
— = p smw -^-T ,- cosm,
sincu cosoi os
dû .
Zo = p cosw — 'z-f-sin w.
as
Les deux premières équations (27) représentent Taxe du cercle osculateur. En prenant l'intersection de cet axe soit avec la normale, soit avec le plan tangent, on a :
i° Le centre de courbure normale
(29) a:, =^^1=0, zi= ^
COSIS
2° Le centre de courbure géodésique (3o) a:, =— r, , ^ = L ^ ^,=0.
494. Après le troisième ordre, il ne reste plus d'élément géométrique à calculer. Les dérivées des éléments p, tîj et t s'obtiendront par la simple différentiation des formules précédentes. Il nous paraît bon toutefois de remarquer que l'on pourra écrire, si
(*) LaqubrrEi Sur une propriété relative aux courbes tracées sur une surface quelconque {Bulletin de la Société philomathique, t. VII, p. 49; 1870).
36o LIVRE V. — CHAP. I. — FORUULBS GÉNÉRALES.
l'on veut, pour les éléments différentiels d'un ordre quelconque, deux formules analogues aux relations (23) et (23). Supposons, en effet, que Ton ait une équation de la forme
$ contenant les éléments différentiels de la courbe jusqu'à l'ordre n et K étant fonction seulement de </, v et de co. La différentiation de cette équation nous donnera
a* = -r— a w -+- -T- ap -H T- «w»
ou ov d(i>
et l'on déduira de là
d^ dK sînnj ^K du dK dv
ds dta Q du ds âv
àv àK/ du ^ dv\ ds ât»} \ ds ^ ds J
Cette formule conserve la forme de celle d'où on l'a déduite : le second membre y dépend seulement de u, (^ et de co; mais le premier membre contient les éléments différentiels de la courbe jusqu'à l'ordre n -f- i .
Si l'on applique cette méthode aux deux formules (23) et (^5), on en déduira deux équations nouvelles se rapportant aux éléments du quatrième ordre, et l'on pourra continuer ainsi jusqu'à un ordre quelconque.
Par exemple, de la formule (a3) on déduira la suivante, que nous nous contenterons d'énoncer,
d/i dm\ sinTsr /2 cosnj i '\v
ds\Ji~"cû) p"\~~p R"" R7 ~ *'
K| demeurant le même pour deux courbes qui ont la même tangente, et R, R' désignant les rayons de courbure principaux de la surface.
