CHAPITRE II
Formules relatives aux coordonnées obliques, l'élément linéaire étant déterminé
par l'équation
ds' = A» du* -4- C" dv* -t- a AC cos a du dv.
Angle de deux courbes. — Condition pour que deux directions soient conjuguées. — Lignes asymptotiques. — Lignes de courbure. — Théorème de Gauss. — Courbure totale et courbure moyenne. -^ Coordonnées curvilignes rectangulaires; formules de M. Codazzi. — Étude particulière relative au système coordonné formé par les lignes de courbure. — Application de la méthode générale au système de coordonnées formé par les lignes de longueur nulle. — Détermination des quantités p, q, r, /?„ g,, r,, \^ i^, ^,, t), lorsqu'on connaît les expressions des coordonnées rectangulaires x^ y y z en fonction de deux paramètres 1/, y. — Application à l'ellipsoïde que l'on suppose rapporté à ses lignes de courbure.
495. Nous nous sommes contentés jusqu'ici de supposer que Taxe des z du trièdre (T) était la normale à la surface. Dans les questions où intervient Télément linéaire de la surface, il importe de définir d'une manière plus précise la relation entre le trièdre et la surface, afin de reconnaître quelles sont les quantités qui demeurent invariables quand on déforme la surface.
A la vérité, ce résultat pourrait être atteint avec les notations précédentes; il suffirait de remarquer que, si la surface se déforme en entraînant avec elle le trièdre (T), les translations Ç, r,, \\^ yji demeurent invariables et, par conséquent, aussi les rotations /-, r^ , en vertu de la quatrième et de la cinquième des formules (A). On reconnaîtrait ainsi immédiatement que la courbure géodésique d'une courbe quelconque, le produit des rayons de courbure principaux en chaque point de la surface conservent leur valeur après toute déformation de la surface. Mais ces résultats, et d^autres encore, apparaîtront d'une manière plus nette si l'on part d'une forme donnée a priori de l'élément linéaire. Nous allons donc considérer successivement les divers systèmes de coordonnées.
Supposons (l'abord que les points de la surface soient rapportés à des coordonnées obliques pour lesquelles l'élément linéaire prendra la forme
(i) ds^= A^ du"^-^ C* dv^-^ 2 XCcos % du dv.
Pour achever de définir la position du trièdre (T), nous donnerons Tangle m que fait Taxe des x avec la tangente à la courbe r = const., c'est-à-dire avec l'arc infiniment petit A du. Si l'on désigne de même par n l'angle que fait avec le même axe l'arc infiniment petit C di^, on aura évidemment
L'angle a n'entrant que par son cosinus dans l'élément linéaire, on peut prendre
11 est aisé de comprendre pourquoi nous ne donnons pas à l'angle m une valeur particulière. Dans le cas des coordonnées rectangulaires, il serait naturel de faire coïncider les axes des x et des y du trièdre mobile avec les tangentes aux courbes coordonnées; mais, si ces courbes ne se coupent pas à angle droit, la Géométrie n'indique aucune position particulière pour les axes du trièdre mobile. Faire coïncider l'un d'eux avec l'une des tangentes aux courbes coordonnées serait détruire la symétrie qui doit exister dans les formules entre les deux variables u et i\ Cette sjfmétrie serait conservée, il est vrai, si l'on prenait pour axes les bissectrices des tangentes aux courbes coordonnées; mais ce choix aurait l'inconvénient de ne pas coïncider avec celui qui est le plus naturel quand les coordonnées deviennent rectangulaires. U nous paraît donc préférable de conserver cette arbitraire m, sauf à lui donner la valeur qui sera la plus avantageuse dans l'étude de chaque question.
Quand u varie seule, l'origine du trièdre décrit dans le plan tangent l'arc A du qui fait l'angle m avec l'axe des x. On aura donc
(3) 5 = Acosm, Tj=Asinm, et de même
(4) Çi = Gcos/i, 7)i = Gsin/i.
Introduisons ces valeurs des translations dans les formules du Chapitre précédent. Le système (A) prendra la forme
dq dqi dr àrx
à. àa "P^-P'-^
(A') {à. du^-P*'-^^'
dit I fdX
du Gsina \ ôv
dm i /dC
dv A sina \
\ A(/>|Sin/n — ^icos/n) = G(/> sin/i — y cos/i).
r = : ^— . ( -: —cosa I,
:dG àX \
La quatrième et la cinquième équation ont été résolues par rapport à r et à Ti .
496. L'angle o) de la tangente à une courbe tracée sur la surface et la différentielle ds de Tare de cette courbe seront maintenant définis par les formules
( ds cos co = A cos m du -^ Ça cos n di% l dss'iTKt» =: X sin m du -r G sin n rft^,
qui donnent
,«. .du sîn(/i — co) ^dv !«in(a) — m)
(") ^:v7 = — ^î:rz — • ^zr.^ — r^r;;
as sinoL as sma
D'après cela, si l'on considère deux courbes différentes passant par le même point de la surface et si Ton désigne par la lettre 8 les différentielles relatives à la seconde courbe, par co' l'angle analogue à (i>, l'angle des deux courbes sera donné par les formules
/ , ,. \^du^u-\- \C cos ol( du ^v -h dv^u^-^-C^dv ùi^
\ cos(a) — (o )= ^ , ^ »
. . 1 dsùs
) . , . ,^ XCsinoL(di^^u — du^v)
f sin(to — (o)= -j-^ '
\ ' dsf^s
Cet angle ne dépend, on le voit, que de l'expression de l'élément linéaire ; par conséquent, il ne changera pas quand on déformera la surface. Ce résultat avait été déjà signalé (n® 119).
La condition pour que deux directions soient conjuguées de-
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viendra ici
( A{g cosm — p sinm) du 8a -h C(9iCos/i — pisinn) dv Se
• A (^1 cosm — piûnm)^udv H- G(^ cosn — p sinn)</u8c = o.
Par conséquent, réquationdifTérentielle des lignes asjmpto tiques sera
l A(^ cosm— /?sinm)rfw»-f- G(^iCosn — pisinn) dv^
' [A (^1 cosm — /jjsinm) -4- G(^ cos/i — p sïn n)]dv du = o.
Enfin les deux équations qui définissent les lignes de courbure deviendront
ÎA cos ntdu-hC cos ndv-h(q du-^ qidv)p = o, A s'in m du -+■ Cs'in ndv — {pdu-i-pidt>)p = o.
L^équation difTérentielle de ces lignes développée s^écrira
( \(p cosm-f- q sinm)rfw'H- C{piCOsn-\- qiS\nn)dv^
[G(/>cos/n- q sin/i) -+- X{piCosm -+- ^isinm)] dudv = o.
Mais nous devons surtout insister sur la forme nouvelle que prendra l'équation du second degré qui détermine les rayons de courbure principaux. Elle devient ici
I — p[A(/>iC0sm-i-<7isinm)--G(/? cos/i-4-^ sin/i)]-T-AGsina = o.
On en déduit, par conséquent, en désignant par R, R' les deux rayons de courbure principaux,
(i3) AG sina f — 4- tt,) = A(/?i cosm -^ q^ sinm) — G(/? cos/i -+- q sin/i), , ,. AGsina
('4) ^^, ^pqi — qpx'
Remplaçons pqx — qp^ par son expression déduite de la troisième des formules (A'); il viendra
. -. AGsina dr drx
ou, en remplaçant r et r^ par leurs valeurs,
du
RR' dudv daL A
Celte formule donne immédiatement le beau théorème de Gauss. Le produit des rayons de courbure principaux ne dépend que de Texpression de l'élément linéaire et subsiste quand la surface est déformée sans déchirure ni duplicature.
497. L'expression ^^ a reçu le nom de courbure totale de la surface; celui de courbure moyenne a été donné à la somme
On a écrit des Mémoires pour chercher laquelle de ces deux quantités doit servir de mesure à la courbure de la surface en un point donné. Les géomètres qui ont traité ce sujet ne se sont pas aperçus qu'ils renouvelaient, sous d'autres espèces, la célèbre question des forces vives, et qu'ils soulevaient une question qui doit se résoudre par une définition de mots. Tout au plus pourraiton essayer de raisonner par analogie, en examinant les propriétés relatives à la courbure des lignes planes qui sont susceptibles d'être généralisées dans la théorie des surfaces. Si toutes ces généralisations se rapportaient, par exemple, à la quantité que nous avons appelée la courbure totale, les géomètres auraient eu quelque raison de réserver le nom de courbure à cet élément. Mais ce moyen indirect de résoudre la question échappe complètement; parmi les propriétés relatives à la courbure dans les lignes planes, les unes admettent une généralisation dans laquelle on emploie la courbure totale; pour d'autres au contraire, il faut faire intervenir la courbure moyenne; quelques-unes d'entre elles admettent même des généralisations différentes dans lesquelles on a à employer tantôt la courbure moyenne, tantôt la courbure totale.
Nous allons d'abord montrer, d'après Gauss, qu'on peut adopter une définition de la courbure totale tout à fait analogue à celle de la courbure dans les lignes planes.
Étant donné un arc de courbe plane, si, par le centre d'un cercle de rayon i , on mène des parallèles aux normales à l'extrémité de cet arc, ces parallèles interceptent un arc de cercle qui est égal à l'angle des tangentes aux deux extrémités de la courbe et qui, par conséquent, mesure ce que l'on appelle la courbure de l'arc de courbe.
De même, si l'on considère une étendue de surface limitée par
une courbe fermée et que Ton mène par le centre d'une sphère de rajon i des parallèles aux normales de la surface en tous les points de sa coufbe limite, ces parallèles couperont la sphère suivant une courbe également fermée. Il y aura une portion de la sphère, limitée par cette courbe, qui contiendra tous les points de la sphère correspondants aux différents points du segment de surface considéré. L'aire de cette portion de la sphère ^'appellera la courbure totale du segment de surface.
Revenons à la courbe plane. Si Ton divise la courbure totale d'un arc de la courbe par la longueur de cet arc, on démontre que ce quotient tend vers une limite finie et déterminée quand Tare diminue indéfiniment et se réduit à un point; cette limite est, par définition^ la courbure en ce point.
Si l'on envisage de même un segment de surface entourant un point M de la surface,. et si l'on suppose que l'étendue de ce segmentdiminue indéfiniment, etdans tous les sens, autour du pointM, la courbure totale du segment diminue indéfiniment; mais, si on la divise par l'aire de la même région, le quotient obtenu tendra, comme nous allons le démontrer, vers une limite finie et déterminée, indépendante de la forme du segment. Cette limite est
^^,> c*est-à-dire l'élément auquel nous avons donné le nom de
courbure totale au point M.
En nous plaçant au point de vue précédent, il semble donc que l'analogie est complète entre la courbure dans les courbes et la courbure totale dans les surfaces. Mais on peut indiquer d'autres propositions dans lesquelles cette analogie est détruite et qu'on peut généraliser en substituant à la courbure de la ligne plane la courbure moyenne de la surface et non plus la courbure totale.
Imaginons, par exemple, qu'on porte des longueurs infiniment petites sur les normales d'une courbe, de manière à obtenir une courbe voisine. Si h désigne la longueur portée sur chaque noi> malc, l'accroissement de longueur quand on passera de la première courbe à la seconde sera représentée par l'intégrale
011 ds désigne la différentielle de l'arc et p le rayon de courbure.
Si Ton opère de môme sur une portion de surface, raccroissement de Paire, quand on passera à la surface infiniment voisine, sera (n» 185)
d<T désignant Télément d'aire et R, R' les rayons de courbure principaux. Ici, on le voit, Télément qui se substitue à la courbure dans la proposition généralisée n'est plus la courbure totale; c'est le double de la courbure moyenne.
Il est inutile d'insister sur cet exemple et sur d*autres que l'on pourrait invoquer. On peut dire que la courbure totale a plus d'importance en Géométrie; comme elle ne dépend que de l'élément linéaire, elle intervient dans toutes les questions relatives à la déformation des surfaces. En Physique mathématique, au contraire, c'est la courbure moyenne qui paraît jouer le rôle prépondérant.
498. Il nous reste maintenant à bien préciser la définition de la courbure totale et à démontrer la proposition de Gauss que nous avons énoncée plus haut.
Soient M un point de la surface et M' le point correspondant de la sphère de rayon i sur laquelle on efiectue la représentation. Menons par W des parallèles aux axes du trièdre (T). Nous aurons ainsi un trièdre (T') dont les rotations seront évidemment les mêmes que celles du trièdre (T), et qui jouera par rapport à la sphère le même rôle que le trièdre (T) par rapport à la surface; car sop axe des z sera la normale à la sphère. Soit
ds^ = A'* rfu« -+- y. A' G' cos a' du dv -t- G'« dv^
l'expression de l'élément linéaire de la sphère. L'élément superficiel aura pour valeur
A'C'sina'efacfi',
en grandeur et en signe. Cela posé, appliquons à la sphère la formule (i4)-
Nous aurons, puisque les rotations du trièdre (T') sont les mêmes que celles du trièdre (T),
368 LIVRE V. — GHAP. II.
et, par suite, en tenant compte de la formule (14)9
AC s'na
A'C'sinGc' =
RR'
Donc la courbure totale d'une portion de la surface, qui, d'après la définition même de Gauss, est représentée par Tintégrale
k! Q' sxTiv! du dv
étendue à cette portion de surface, le sera aussi par l'intégrale
*AC sina
ir
RR'
dudVf
étendue à la même région.
Si donc on divise la courbure totale d'un segment de surface par Taire de ce segment, le quotient sera
ACsina , , "RR^
AG sin a du dv
Pour supprimer toute difficultérelative au choix des coordonnées, désignons par d<T l'élément superficiel et écrivons le quotient précédent sous la forme
