EL RR

dfj

■IL If-

Il est évident qu'il aura pour valeur

(sr').'

(ïïïï^) ^^^^'^"^^^ ^^^ moyenne entre toutes les valeurs <l6 ^^ à

l'intérieur du segment considéré. Si l'étendue de ce segment diminue de manière que les distances de tous ses points à un point M de l'intérieur tendent vers zéro, on voit que le rapport précédent aura pour limite la courbure totale de la surface en ce point. Ce rapport n'aurait aucune limite déterminée si, contrairement à l'hypothèse, le segment se réduisait non plus à un point,

mais à une ligne donnée, par la diminution d'une seule de ses deux dimensions.

499. Dans le cas où les coordonnées curvilignes choisies sont rectangulaires, les formules générales se simplifient beaucoup. Alors on peut faire coïncider l'axe des x du trièdre (T) avec la tangente à Tare Adu^ c'est-à-dire avec la tangente à la courbe sf = const. Cela donnera

Les formules (A.') prendront la forme plus simple

i dC dr dri

elles coïncident, aux notations près, avec celles qui ont été données en premier lieu par M. D. Codazzi (* ).

(*) Codazzi (D. )t Mémoire relatif à l'application des surfaces les unes sur les autres, envoyé au Concours ouvert sur cette question, en iSSg, par V Académie des Sciences ( t. XXVII des Mémoires présentés par divers savants à V Académie des Sciences y imprimé en 1883).

M. Codazzi donne aussi, dans un Appendice à son Travail, des formules relatives aux coordonnées obliques. Ces formules, différentes du système (A'), sont équivalentes à des relations que nous ferons connaître plus loin (n** 508). Les formules (A'), qui contiennent une arbitraire m, et où toutes les quantités sont définies par leurs propriétés cinématiques, ont été données en 1866 dans le Cours que j'ai eu l'honneur de faire comme suppléant de M. Joseph Bertrand, au Collège de France. IVl. Combescure, dans un Mémoire inédit présenté en 1864 à l'Académie des Sciences, avait déjà appliqué des considérations de Cinématique à la démonstration des formules de M. Codazzi. Le travail de M. Combescure traite des déterminants fonctionnels et des coordonnées curvilignes; il a été publié en 1867 dans les Annales de l'École Anormale (t. IV, i" série).

C'est M. O. Bonnet qui, le premier, a mis en évidence tout l'intérêt et toute l'utilité des formules de M. Codazzi relatives aux coordonnées rectangulaires. Après les avoir démontrées géométriquement dans une Note sur la théorie de la déformation des surfaces gauches insérée en i863 aux Comptes rendus (t. LVII, p. 8o5), réminent géomètre en a fait une étude approfondie dans une Addition de 120 pages à son Mémoire sur la théorie des surfaces applicables sur une surface donnée j inséré en 1867 au XLII* Cahier du Journal de l'École Po-

Les formules (B), [p. 348], qui donnent les projections du déplacement d'un point, prendront ici une forme plus simple et deviendront

[ dx -t- Kdu-^iq du-\- qidv)z — (rdu -h r^ dv)y,

(B') < dy -r- C dv -\- { r du -^ ridv)x — (p du-hpidv)Zj

( dz -^{p du-^pxdv)y — {q du -^ qidv)x.

Quand on aura à appliquer les formules du Chapitre précédent, il faudra adopter les valeurs suivantes des translations

Si Ton considère une courbe quelconque tracée sur la surface, on aura

, „ , A du Cdv

(18) cosoi = — = — , sino) = — ,— ,

ds ds

(1) désignant maintenant Tangle de la tangente avec Tare A du. Les lignes de courbure seront définies par les deux équations

^ Xdu-i- p{q du -^ qi di^) = o, l Cdv — p{p du -r- pidv) = o;

lytechnique (p. 3i-i5i). Cette partie du travail de M. Bonnet contient une démonstration complète et de nombreuses applications; nous aurons à la citer souvent. M. Bonnet s'est placé au même point de vue que M. Codazzi, et il a défini tous les cléments qui entrent dans les formules par des considérations de pure Géométrie.

Depuis 1867, un grand nombre de recherches ont été publiées sur le même sujet. Nous citerons en premier lieu celles de M. Codazzi insérées dans un grand travail : Suite coordinate curvUinee d'una superficie e dello spazio {Annali di Matematica de Milan, t. I, p. agS-Siô; t. II, p. 101-119 et 269-387; t. IV, p. 16-3.5 ; 1867-1869). Nous avons aussi emprunté une formule très élégante à un Mémoire de M. Laguerre Sur les formules fondamentales de la théorie des surfaces publié en 1872 dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (t. XI, 2* série, p. 60). Les méthodes de M. Laguerre ont été développées par M. Ch. Brisse dans un Mémoire intitulé : Exposition analytique de la théorie des surfaces. Ce Travail, dont la première Partie a paru en 1874 dans les Annales de l'École Normale (t. 111,3* série, p. 87) se trouve continué, mais non terminé, dans le LUI* Cahier du Journal de rÉcole Polytechnique (p. 2i3; i883).

Mais je dois surtout signaler, comme offrant le plus d'analogie avec les méthodes suivies dans cette partie de mes leçons, celles que M. Ribaucour a déve-

l^éliminalion de p conduira à réquation différentielle de ces lignes (20) A/? du'^ -+- G 71 dv^ -+-{(lq -\- \pi )dudv = o,

et celle de ^ à Téquation aux rayons de courbure principaux

En particulier, la courbure totale de la surface sera donnée par la formule

^^^^ RR' " (^(^ âu~~ du \ A du) dv\Cdv)'

Enfin la relation entre deux tangentes conjuguées prendra la forme

(23) Aq duùu — Cpi dv^v -h Xqi du^if — Cp dv^u=: o,

et réquation différentielle des lignes asympto tiques deviendra ( 24 ) Aq du'^ — Cpi dv* -4- ( A ^1 — Cp) du dv — o.

500. On peut encore faire une hypothèse plus particulière, et envisager le cas, très important pour la théorie et les applications, où les deux systèmes de lignes coordonnées sont les lignes de

loppéeSy d'une manière plus ou moins complète, dans plusieurs de ses travaux, et qui se trouvent exposées d'une manière détaillée, sous le nom de périmorphie, dans le Mémoire couronné par l'Académie de Bruxelles : Étude des e'iassoïdes ou sur/aces à courbure moyenne nulle {Mémoires couronnes et Mem,oires des Savants étrangers publiés par l'Académie Royale de Belgique, t. XLIV; 1881). Toutefois, M. Ribaucour ne considère que des coordonnées curvilignes rectangulaires, il ne donne pas la définition cinématique des quantités qui entrent dans ses formules; les deux systèmes de formules qui tiennent dans sa théorie la place de nos systèmes (A) et (B) nous paraissent moins simples et ont une signification moins précise. Au fond, M. Ribaucour a employé la théorie des mouvements relatifs, mais sans le dire explicitement et sans utiliser toutes les ressources que présente cette théorie.

Les formules de M. Godazzi sont loin d'être les seules qui permettent une étude approfondie de la théorie des surfaces. Nous montrerons plus loin tout le parti que l'on peut tirer du beau Mémoire de Gauss, Disquisitiones générales circa superficies curvasy auquel se rattachent presque tous les travaux des géomètres allemands. Les relations qui y sont établies permettent de traiter complètement toutes les questions essentielles.

3y2. LIVRE V. — CHAP. II.

courbure de la surface. Nous allons indiquer rapidement les formules qui se rapportent à cette hypothèse.

Dans ce cas, Téquation différentielle (20) des lignes de courbure doit être privée des termes en du^, dv^. Il faut donc que Ton ait

(a5) /? = yi=o.

Les formules de M. Codazzi se réduisent alors aux suivantes : \ dk dpi __

(^ ' i , dC dq d^-lîZ --?/'••

Six des douze rotations ou translations du trièdre deviennent nulles.

On voit que Télimination de p^, q, r, Ti entre les équations précédentes doit conduire à une relation différentielle entre A et C. On ne pourrait donc pas choisir arbitrairement l'élément linéaire d'une surface rapportée à ses lignes de courbure.

L'élément linéaire dfr de la représentation sphérique prend ici la forme très simple

(26) d(J^ = q^ du* -\-pl dv*.

On reconnaît ainsi que les lignes de la sphère qui servent d'images aux lignes de courbure se coupent, elles aussi, à angle droit.

Appelons R le rayon de courbure principal correspondant à l'arc Arftt, R' l'autre rayon correspondant à l'arc Odv, Les formules (19) nous donnent

9 Pi

L'élément linéaire de la surface peut donc s'écrire

(28) • ds^ = K'^q*du'^^K*p\dv^,

L'équation différentielle des lignes asymptotiques prend l'une

LES FORMULES DE M. CODAZZI. 3y3

OU Tautre des deux formes

Xq du^ — Cpi ds>* = o, (29) { cos*(o • sin'to

Notons encore qu^en introduisant R, R' à la place de A et de C dans les deux premières équations (A"'), on obtient les formules

\ OU Pi ou

qui constituent les relations entre les rayons de courbure et la représentation sphérique. Comme on peut déduire des trois dernières formules (A'") la relation différentielle suivante :

entre p^ et q^ on voit qu'il sera impossible de prendre pour R et R' des fonctions quelconques de u et de v. Le système (B") prend ici la forme suivante :

dx -^ kdu-\- qz du — {r du-^ r^ dv)y, ( B"') \ dy -{- C dv -^ (r du -^ r^ dv)x —p\ z dv,

( dz-^piy dv — qxdu.

501 . Les systèmes de coordonnées curvilignes que nous venons d'employer sont tous réels. Il arrive fréquemment, dans les recherches les plus importantes relatives à la théorie des surfaces, que l'on est conduit à se servir des coordonnées symétriques pour lesquelles l'élément linéaire a la forme réduite

(a) ds^ = ^X'^dudv.

Dans ce cas encore, il est bon d'indiquer les formules qui peuvent remplacer celles de M. Codazzi.

Voici comment nous déterminerons ici la position du trièdre (T) qui admet pour axe des z la normale à la surface. Nous prendrons, en chaque point, pour axe des x du trièdre la tangente à la

courbe

u — p = const.,

et pour axe des^ la tangente à la courbe orthogonale

u-i- V = const.

Ces hypothèses donnent déjà entre les translations les relations

Ç = 5ii r^ -h 7)1 = 0.

Identifions maintenant Télément linéaire de la surface à celui qui est donné par la formulé (2) du Chapitre précédent; nous aurons les relations

Nous prendrons

ç = X, 73 = — Xi:

et, par conséquent, les valeurs des quatre translations seront données par les formules suivantes :

!f = X, r =— Xt, l / î •

Il suffit de substituer ces valeurs dans les formules du Chapitre précédent pour obtenir toutes celles qui se reportent aux coordonnées symétriques. Le système (A) nous donnera ici

p-^pi= ^(qi-g\ â^ '"dH ^^''^~^^^'

/4MX ; .(^logX dq dqx

^ ^ \ Ou dv du ^^ ^ *'

.()loffX dr dr\

Les expressions données par les formules (B) deviennent

l dx -^ X{du -f- dv) '+-(q du-r- qi dv) z — (/• du -+- ri di')y,

(B**) ' dy ~^- i\{dv — du)-t-{r du -^ ridv)x — {pdu-^ pidv)z,

\ dz -+-(/> du -h Pi dv )y — (y du -\- q\ dv)x.

Les lignes asymptotiques de la surface ont pour équation difierentielle

( 3 1) (Ç -^ ip) du^ -^ iÇi — ^Pi) ^^^ -+- (ipi — ip -^ q -h qi) du dif = o.

Le système des équations (lo) (n^488), qui définit les lignes de courbure, prend la forme

( 'kidu-hdv) -}- p(q du -i- çidv) = o, ( iX{du — dç) -^ p(p du -^p\ dv) = o,

p désignant toujours le rayon de courbure principal. Uélimioation de -j- conduit à Téquation

(33) 9^{pqi — qp\) — y< 9(Pi —p — «^ ~ iÇi)^ 2*^* = o,

qui fait connaître les rayons de courbure principaux. On en déduit

formule dont on fait un fréquent usage.

L'élimination de p entre les équations {^2) conduit à Téquation différentielle des lignes de courbure

( 35 ) du^{p — iq)-^ dv^{pi -h içt ) = o.

L'absence du terme en du ds; montre immédiatement Torthogo* nalité des deux lignes de courbure.

502. En résumé, nous avons à notre disposition quatre systèmes différents de formules se rapportant, respectivement, aux coordonnées obliques, aux coordonnées rectangulaires, aux coordonnées déterminées par les lignes de courbure, aux coordonnées symétriques. Nous allons étudier quelques-unes des questions dans lesquelles ces formules jouent un rôle essentiel. Mais, avant de terminer, nous ferons une remarque générale : Dans l'un quelconque des systèmes obtenus, les expressions de r et de ri dépendent exclusivement de l'élément linéaire. Il suit de là que la courbure géodésique, dont l'expression contient les seules rotations /*, Tf, ne change pas quand on déforme la surface. En particulier, les lignes géodésiques, pour lesquelles la courbure géodésique est nulle et dont l'équation différentielle se forme exclusivement avec l'élément linéaire de la surface, conserveront leur définition lorsqu'on passera de la surface proposée à toute autre surface applicable sur la première.

376 LIVRB V. — CHAP. II.

Lorsque les recherches que nous aurons à entreprendre devront s'appliquer à tous les cas, nous pourrons employer les formules du Chapitre P', en remarquant que ^, ^^, r^, 7\^j r, Ti dépendent exclusivement de Télément linéaire dans tous les systèmes de formules, et demeurent les mêmes quand la surface se déforme en entraînant le trièdre (T).

503. Il nous reste, pour compléter tous ces développements, à indiquer comment on déterminera les différentes quantités qui figurent dans ces systèmes de formules lorsque la surface sera connue et définie; par exemple, lorsqu'on aura les expressions des coordonnées rectangulaires x,y^ z d'un point de la surface en fonction des paramètres u et ç. Considérons le premier système de formules, celui d'où l'on peut faire dériver tous les autres et qui contient les translations ^, t), Çf, T^f. E, F, G désignant les trois fonctions de Gauss, on aura d'abord

Ces trois équations permettront de déterminer, autant qu'elles peuvent l'être, les quatre translations. Toute hypothèse sur la manière dont le trièdre (T) est attaché à la surface donnera une relation qu'il faudra joindre aux précédentes. Nous pouvons donc considérer les translations comme connues.

Cela posé, conservons, pour déterminer les neuf cosinus qui déterminent la position du trièdre (T), toutes les notations du Livre I [I, p. a]. La considération des déplacements suivant les courbes coordonnées nous conduira aux six équations

(37) / ia' -^r^b' = g,

qui feront connaître les six cosinus a, b, a\ .... On trouve ainsi

(38) (A«'= ..g-lg.

, , âz dz

/ . , ^ dx f, dx

(38)' ^,6..ç.g^çg,

OÙ A désigne le déterminant \y\^ — y\is qui, diaprés les formules (36), a pour valeur

(39) A = ?7,i - Tiît = =b /ËG^^F^.

Quant aux cosinus directeurs c, c', c'^ de la normale à la surface, on les déduira de leurs expressions connues [I, p. 3] en fonction des six autres. On trouve ainsi

^dy dz dy dz "" du dv dv du^

. , . , __ dz dx dz dx

"du du dv du^

du dv dv du II nous reste à déterminer les rotations. On les obtient, par

exemple, en difliérentiant les formules (3^) et (3^)', qui conduisent ainsi aux suivantes :

jgcrf^

dx dv

\ Vc û?a -«- Tj ^c db

Ç {q du-\- qidv)-^T\ (p du-^pi dv)^

Çi W c rfa -+- Tji V c rfô

^i(q du -i- qi dv) -^ r^iip du -r- pidv)f

dx dx

En remplaçant c, c', c" par leurs valeurs données plus haut et en introduisant les déterminants D, D^ D" définis par l'identité

(42) D du* -h 2D' du dif -\- B' dv* =

dx dû

dx dv

•r-r du* -i- 2 -r — du rfP ■+- -—■ dv*

du* du dv dç*

^^y du* -4- 2 ^^^ du dv -h ^^ dv* du* dudv ' di^*

dz du

dz di>

— -r du* H- 2 - — — du dv -h -r-r dv* du* du dv dv*

on obtiendra, par la résolution des équations précédentes, les valeurs suivantes des rotations :

l L*{pdu-\-pi dv) âL*{qdu-^ q\dv)

\{\y'du^\>''dv) — {,(Drfa-+-D'rfp),

A (r du -\- Fi dv) = — tidc — t)i ût) h — -r— dv -^ ( r- ] du

2 du \du 1 dv I

tAt A ' ^E^ (d¥ i dG\,

Nous verrons plus loin que les déterminants D, D', D" jouent un rôle essentiel dans la théorie de Gauss. D'après la dernière des formules précédentes, on reconnaît que les rotations r et r^ dépendent seulement de l'élément linéaire de la surface, ce qui est conforme aux résultats déjà signalés (n°S02). Quant aux rotations/), q^Px^ ^M elles s'expriment en fonction linéaire de D, D',

D''. On a, en effet,

A»/?, = ÎD'- ÇtD', A2^, = 7)0"- TîiD',

' da au 2 ov

^ d^ dri î dG

Si Ton porte les valeurs de/?, q^ /?«, ^i dans la troisième des relations (5) [I, p. 49] j on sera conduit à Tidentité

(45) ^'{pgi-qpt) = DD^- D'«= A3(^ - ^> ) ,

établissant entre D, D', D'' une relation qui [dépend seulement de Télément linéaire, et sur laquelle nous aurons à revenir quand nous ferons connaître la théorie de Gauss.

504. Pour indiquer au moins une application, supposons que la surface soit un ellipsoïde rapporté à ses lignes de courbure. On aura ici