cos/n — ysinm = — P
— =/?iSinn — 5ricosn = Pi,
Pnv
Qt dn T> ^*
pgv àv dv
1 — = — picosn — qxS\iin= — Qi.
' tu
On déduil de là
/? = P cos/n — Q sinm, p\~ Pi sin/i -- Qi cos/i,
^ — P sin m -r- Q cos m, qi— — Pi cos/i -4- Qi sin/i,
dn dm
COURBURE NORMALE ET TORSION GÉODÉSIQUE. SqS
et, en portant ces valeurs dans les formules (A') [p. 363], on obtiendra le s}rstème
A(PiCOsa — Qisina) = G(P sina — Q cosa),
R=— ;t~. — ( -3 3- cosa), Ri = -r—. — -^ -^-cosa),
GsmaV, c^i; du / Asina\(?a dv J
^^-QR. = sina(^^-RQ.)^cos,(gi-.R4
g.-RP. = si„«(^^RP.)-cosa(^'-RQ.).
dR <?R, à^n.
ixo)
dv du du dv
— ( PPi -H QQi ) cosa H- { PQi — QP, ) sina.
Ces équations, qui coïncident, aux notations près, avec celles que M. Codazzi a données à la fin de son Mémoire, sont évidemment plus compliquées que les formules (A). Ce fait paraît indiquer que l'utilité des formules de M. Codazzi tient surtout à ce que les six éléments géométriques qui y figurent peuvent être considérés comme formant un système de rotations, ce qui n'a plus lieu dans le cas des coordonnées obliques.
509. M. Bonnet a fait remarquer que sa formule met immédiatement en évidence un théorème important. En effet, d'après cette formule, les seules courbes, passant par un point de la surface, dont la torsion géodésique soit nulle en ce point sont celles qui admettent pour tangentes l'une des directions principales de ce point. Les lignes de courbure sont donc caractérisées par cette propriété que la torsion géodésique est nulle en chacun de leurs points. Ce théorème est quelquefois attribué à Lancret, bien que ce géomètre ne l'ait jamais énoncé. Il est dans les rapports les plus étroits avec les belles propositions que Joachimsthal a données relativement aux lignes de courbure planes ou sphériques, et que nous allons exposer rapidement.
Quand deux surfaces se coupent sous un angle constant, la ligne d'intersection ne peut être ligne de courbure de l'une des sur/aces sans l'être aussi de l'autre. En effet, ?3j et tïj' désignant les angles que le plan osculateur de la ligne d'intersection fait avec les normales aux deux surfaces, il est clair que l'angle des deux normales est m — rs'. Si cet angle est constant, on aura,
en chaque point de Tintersection,
I dm __ I dw^ 1 ds z ds
Cette égalité montre que la torsion géodésique de la courbe a la même valeur quand on la rapporte successivement aux deux surfaces. Elle ne peut donc être nulle pour l'une des surfaces sans l'être aussi pour l'autre.
Kéciproquement, si l'intersection de deux surfaces est une ligne de courbure pour les deux surfaces, elles se coupent sous un angle constant; car on a alors
I dis __ I dm* dm ^ dm'
z ds z ds ds ^ ds
et, par conséquent, l'angle tîj — m' est constant.
Dans le cas où l'une des surfaces est un plan ou une sphère, ces propositions donnent les corollaires suivants :
Si un plan ou une sphère coupe une sur/ace sous un angle constant, ^intersection est ligne de courbure de la surface.
Si une ligne de courbure est plane ou sphérique, le plan ou la sphère qui contient la courbe coupe la surface sous un angle constant.
Il suffit, pour rattacher ces propositions aux précédentes, de remarquer que toute ligne plane ou sphérique est ligne de courbure du plan ou de la sphère sur laquelle elle est tracée.
Au reste, toutes ces propositions ont leur véritable origine dans la théorie des développées des courbes gauches. Nous avons vu, en eOet [I, p. i8], que toute normale d'une courbe gauche qui enveloppe une développée fait avec le plan osculatcur un angle V défini par la formule
Étant donnée une courbe tracée sur une surface, pour qu'elle soit une ligne de courbure, c'est-à-dire pour que la normale à la surface en tous ses points enveloppe une développée de la courbe, il sera nécessaire et suffisant que la relation précédente soit véri-
COURBURE NORMALE ET TORSION GÉODÉSIQUE. SgS
fiée quand on y remplace V par m, ce qui est le théorème énoncé plus haut.
On démontrera de même les théorèmes de Joachimsthal. Par exemple, si deux surfaces se coupent suivant une ligne de courbure commune, les normales aux deux surfaces en chaque point de cette courbe enveloppent deux développées distinctes; et, par suite, elles se coupent sous un angle constant. Les propositions réciproques s^établissent par des considérations analogues.
Le théorème de Joachimsthal conduit à une conséquence que nous avons déjà signalée [I, p. 3i6], sans la démontrer. Toutes les /ois qu'une sur/ace admet une ligne de courbure plane, la représentation sphérique de cette ligne de courbure est un cercle dont le plan est parallèle à celui qui contient la ligne de courbure. En effet, la normale à la surface en tous les points de la ligne de courbure fait alors un angle constant a avec la perpendiculaire au plan de cette ligne. Par suite, la représentation sphérique de la ligne de courbure sera le lieu des extrémités des rayons de la sphère qui font Tangle a avec cette perpendiculaire : ce sera un grand cercle si le plan de la ligne de courbure est normal à la surface et un petit cercle si l'angle a n'est pas droit; mais, dans l'un et Tautre cas, le plan de ce cercle sera évidemment parallèle à celui de la ligne de courbure.
Réciproquement, si la représentation sphérique d'une ligne de courbure est formée par un cercle de la sphère, la tangente en tous les points de cette ligne sera parallèle au plan du cercle; et, par conséquent, la ligne elle-même sera située dans un plan parallèle au plan du cercle.
510. Après avoir étudié la formule de M. O. Bonnet, nous dirons quelques mots de celle de M. Laguerre. Si Ton rapporte la surface au système de coordonnées formé par les lignes de courbure, elle prend la forme
cosGj dû sintïT
p' as p
, dK du^ , , dR du^ dv
Qi 3 <7*
du ds^ dR' du dv^
ds^
d^ ds^ dv ds^
^* du ds^ ^* àv ds^ Il en résulte que le produit du premier membre par ds^ deiheure
constant lorsqu^on passe de la surface à Tune quelconque des surfaces parallèles; il suffît, en effet, pour effectuer ce changement, d'augmenter R et R' d'une même constante, sans changer q et/?|.
Si l'on applique la formule à une section normale de la surface,
on a
et le premier membre se réduit à ■ J • Il suit de là que l'équation différentielle du premier ordre et du troisième degré
(11) q^-r-du>-\- ^q^-T-du^dv-^^p} du dv^ -+- p} -— dw^ = 0
^ ^ ^ du ^ dv ^^ Ou '^^ àv
définit les courbes tracées sur la surface, et pour lesquelles la section normale de la surface tangente à la courbe en un quelconque de ses points est surosculée par un cercle.
Ces lignes ont été considérées en premier lieu par M. de la Gournerie (*). Il résulte de leur équation différentielle qu'elles se conservent lorsqu'on passe d'une surface à la surface parallèle. Cette remarque a été faite par M. Ribaucour (^). On les détermine aisément dans les surfaces du second degré; elles se réduisent alors aux deux systèmes de génératrices rectilîgnes et aux courbes sur lesquelles la courbure totale de la surface demeure constante. On peut rattacher leur théorie à celle du contact d'une surface avec un cylindre de révolution. Mais cette étude trouvera place ailleurs.
511. La formule de M. Laguerre permet de résoudre une question très intéressante, sur laquelle M. Bonnet a, le premier, appelé l'attention.
Considérons une courbe (C) tracée sur une surface et supposons
(') De la Gournerie, Étude sur la courbure des surfaces {Journal de Liouville f r* série, t. XX, p. i45; i855).
(■) RiBAUGOUR, Propriétés de lignes tracées sur les surfaces {Comptes rendus, t. LXXX, p. 64a; 1875).
qu^elle soit tangente en un de ses points M à une des ligne» asjrmptotiques qui passent en M. Alors nous avons
cosm . = o
et, par conséquent, si cosni est différent de zéro, c'est-à-dire si le plan osculateur ne coïncide pas avec le plan tangent à la surface, p est infini. C^est ce qui arrive, par exemple, pour une section plane dont le plan passe par une des tangentes asymptotiques et ne se confond pas avec le plan tangent.
Mais, si le plan osculateur de la courbe se confond avec le plan tangent à la surface, on a
CCS m = o,
et p peut avoir une valeur quelconque. La construction géométrique que Ton déduit du théorème de Meusnier tombe également en défaut, et conduit aussi à une indétermination.
M. Bonnet, à qui l'on doit la remarque précédente, a donné pour ce cas spécial une formule que l'on peut rattacher aisément à celle qui a été démontrée par M. Laguerre.
Désignons par -> - la torsion et la courbure de la courbe considérée, par —9 — les mêmes quantités relatives à la ligne asympto-
tique tangente. Nous avons vu (n^^ 492 et 493) que les deux fonctions
dm d^
rosm dp sînw /a o^''^\ p* ds P \'^ ^^ /
ont les mêmes valeurs si on les calcule successivement pour deux courbes tangentes au même point. Ici l'angle xn est égal à un quadrant audsi bien pour la courbe considérée que pour la ligne
usymptotique; mais -7- > qui est nul en chaque point de la ligne
asymptotique, n'est pas nul nécessairement pour la courbe considérée. On a donc
I dm 1
T ds To
\ P \T ds / poT
SgS LIVRE V. — CHAP. III.
d'où, en éliminant -j-»
Cette équation fera connaître p quand t sera donné.
Supposons, par exemple, que nous voulions déterminer le rayon de courbure de la section par le plan tangent. Cette section a deux branches passant au point de contact. On aura, pour chacune d'elles,
et, par conséquent ( * ),
P = |Po«
Mais^ pour que les formules précédentes soient réellement utiles, il faut qu'on puisse déterminer p© et t©. Voici comment on y parvient.
512. Dans le cas d'une ligne asymptolique, on a, d'après la formule (22) [p. 357],
I p du -h pi clt> a du -^- q \ dv .
= ^ Y-^ cosa> -h ~ j-^ sinta.
To ds ds
D'ailleurs, l'équation différentielle d'une ligne asymptotique nous donne
p du ->r- Pi dv . q du -+- q\ dv
^ j-^-^ sino) — z-^ cosa> = o.
ds ds
Ces deux relations peuvent être remplacées par les suivantes :
(P du -\- p^dv cos(o ds ^ To ~ *
J q du -^ q\ dQ sin to
1 ds To
En remplaçan trfjs sin 0), rf^coso) par leurs expressions (5) [p. 363]
(*) Celle éléganle relation est duc à M. Beltrami qui Ta donnée dans un article Sur la courbure de quelques lignes tracées sur une surface^ inséré en i865 aux Nouvelles Annales de Mathématiques (a* série, t. IV, p. 258).
COURBURE NORMALE ET TORSION GÉOOÉSIQUE. SqQ
en fonction de rfw, dvj on trouvera
/ / Aco8m\ , / Ccos7i\ ,
\ f AsinmX , / Csin/i\ ,
OU, en éliminant -r- >
(/?çrj — qp\)'^l -+- AlG sina = o.
En introduisant, d'après la formule (i4) [p- 364]) le produit
des rayons de courbure principaux, on obtient
* (i6) To = ± /- RR',
expression remarquable de la torsion due à M. Enneper. On en déduit, en particulier, que les lignes asymptotiques des surfaces à courbure totale constante sont des courbes gauches dont la torsion est invariable.
Si l'on porte l'expression de Tq dans la formule (i3), elle deviendra
Cette formule, due à M. O. Bonnet (*), comprend implicitement celle de M. Enneper; car il suffit d'y faire p = po pour retrouver l'expression de la torsion d'une ligne asymptotique.
513. Il nous reste à déterminer po. Ici encore, la formule a été donnée par M. Bonnet.
Prenons le système de coordonnées formé par les lignes de
courbure. La direction des lignes asymptotiqucs sera définie par
l'équation
sin*w cos*(u
{') Nouvelles Annales de Mathématiques (a* série, t. IV, p. 267; iR65).
qui donne
(i8) cQSù) = ^ f sinto = -; tangw = --1=:^,
les radicaux ayant partout le même signe. La formule (ï8) [p. 354] nous donnera
— =1 d(û -^ r du -\- ri dv
Po
et, par conséquent,
I __ d(i) du dui dv du dsf
Po ~ au ds àv ds ds * ds
ou, en remplaçant -^9 -7- par leurs expressions en fonction de w,
I cos(o dto sincD dw r r* .
po A (?w G (^i' A G
Or on déduit des formules du n** SOO
L — 3L ^^ Cl — 5 ^"
A"CRR — R'' G ~ ÂR' R — R'
et, en remplaçant r, Ti par ces valeurs dans l'expression de po, on obtient
I cosuj d(i} cos'(osinu) dlo^R' sina> dw sin'cu coscu (^logR Pq ~ X du A du G dv G dv '
I cos*o) sina> (J log(R' tangto) sin'co cosoj (Jlog(R cotto) po ~~ A du G dç
Remplaçons maintenant sinco et cosco par leurs valeurs, nous trouverons
^'^^ po ",(-^R')i^'^"V R ) ^^icd,\^^r
En prenant comme variables auxiliaires ■5- et ^ > on parviendra
aisément à transformer cette formule et à la mettre sous la forme élégante
, , I 4(RR')ïT c) / R \» d /-R'\>1
qui a été donnée par M. Bonnet, mais qui présente plus de diFficultés que la précédente pour l'observation des signes.
On peut donner aux expressions trouvées une forme entièrement géométrique si l'on remarque que
A du' Càv
représentent des dérivées relatives à des déplacements effectués sur les lignes de courbure. En désignant ces déplacements par rf5|, rf52i on trouve, pour les valeurs absolues des deux rayons de courbure.
Une application importante montre tout l'intérêt que peuvent présenter des recherches de la nature de celle que nous venons d'exposer. L'illustre Lamé s'était proposé, dans ses études de Physique mathématique, de déterminer tous les. systèmes triples à la fois orthogonaux et isothermes, et la solutioh qu'il avait donnée de cette importante et très difficile question ne laissait pas de présenter des longueurs et même des difficultés. Dans un Mémoire déjà ancien (*), M. Bonnet a montré que toutes les surfaces faisant partie d'un système à la fois orthogonal et isotherme doivent jouir de la propriété suivante : Sur chaque ligne de courbure le rayon principal correspondant à cette ligne est proportionnel au cube de l'autre rayon. En d'autres termes, on doit avoir
et, par conséquent, M. O. Bonnet a pu déduire de sa formule que les lignes asymptotiques de chacune de ces surfaces doivent avoir un rayon de courbure infini, c'est-à-dire doivent se réduire à des droites. Les surfaces qui composent le système doivent donc être nécessairement du second degré.
(*) O. Bonnet, Mémoire sur la théorie des sur/aces isothermes orthogonales {Journal de l'École Polytechnique, XXX® Cahier, p. il\i\ iS^S).
