LES LIGNES GÉODÉSIQUES

Formes diverses de l'équation difTérentielle des lignes géodésiques. — Les lignes de longueur nulle de la surface satisfont à cette équation différentielle. — Ligne géodésique passant par deux points sufûsamment voisins. — Théorème' de Gauss relatif aux lignes géodésiques qui passent par un point de la surface.

— Plus court cheniin entre deux points suffisamment voisins. — Géodésiques normales à une courbe quelconque. — Second théorème de Gauss; extension de la définition des courbes parallèles dans le plan. — Trajectoires orthogonales d'une famille quelconque de géodésiques; elles se déterminent par une simple quadrature. — Variation de longueur d'un segment de ligne géodésique.

— Système orthogonal formé de deux familles d'ellipses et d'hyperboles géodésiques. — Théorème de M. Weingarten. — Coordonnées bipolaires dans le plan et sur la sphère. — Théorème de M. Liouville relatif à deux familles de lignes géodésiques qui se coupent mutuellement sous des angles constants.

514. Il nous reste maintenant à entreprendre Tétude de la formule

(i) — = duj -h r du-^ ridi^y

qui donne le rayon de courbure géodésique p^ d'une courbe quelconque tracée sur la surface. Cette formule se distingue des précédentes par une propriété essentielle, que nous avons déjà signalée : les quantités qui y figurent dépendent exclusivement delà forme de l'élément linéaire; et, par suite, la courbure géodésique demeure invariable quand on déforme la surface d'une manière quelconque. Nous commencerons par étudier les lignes géodésiques. Leur équation différenlielle

(a) dm -h r du -\- ridv = Q

est du second ordre. On ne sait l'intégrer que dans un petit nombre de cas; néanmoins Gauss, dans son célèbre Mémoire (*),

( * ) Gauss, Disquisitiones générales circa superficies curvas ( Mémoires de la Société Royale des Sciences de Goettingue, t. VI, i8a8, et Œuvres complètes,

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et les géomètres qui l'ont suivi ont enrichi la théorie des lignes géodésiques d'un grand nombre de propositions intéressantes que nous allons tout d'abord développer.

Nous indiquerons en premier lieu différentes formes de l'équation différentielle. Si nous conservons toutes les notations du Chapitre I [p. 348], nous aurons

( 3 ) cos (i) ds = ^ du -^ Il dv^ sin lo <i^ = r;du-\-r^id9

et, par suite,

T) du-\- T^idv

w = arc tanff ^ , ^ , ^ ^du-^iidv

Les formules (A) (n® 484) nous donnent