OV. OU
du
I dE a àv
'"' ~ a dM '" dv ^' de ~ 2 du dv
àr,t
fait
A désignant toujours le déterminant
A = $^a— 'iïi-
Si Ton porte les valeurs de w, r, r^ dans l'équation (a) et si l'on développe les calculs en tenant compte des relations
5«-f-T,«=E, 5$i+,ira=F, 5ÎM-T,} = G,
on obtiendra l'équation suivante :
'i{EG — Fi)(dud*ç — dvd^u)
= -+- ( E-r- -^ F^ iE-^ ]du^
ov ou ou/
dE
dE
dF
dG\
/ (/E. or. or r.^^\ ..»
H-(3F-T -G- iF- 2E-r— jdu^dv
\ ov ou ou ou I
/ ,dG ^àG ^ÙF ^^E\ . ,,
— 3F-r hE-r 2F -r 2 G T" \ du dv^
\ ou ov ov âv J
— (G^ hF^ 2G--)«fp3,
du ov dv I
t. IV, p. 217). Le Mémoire de Gauss a été souvent reproduit. On le trouve, en particulier, dans l'édition que M. Liouville a donnée en i85o de V Application de l'Analyse à la Géométrie^ par Mongb.
4o4 LIVRE V. — CHAP. IV.
qui caractérise les lignes géodésiques et ne contient que les quantités E, F, G.
515. Si Ton adopte Tare s de la ligne géodésique comme variable indépendante, on peut substituer à Téquation précédente deux équations difTérentielles qui définiront e/ et r en fonction de s. On déduit, par exemple, de la première formule (3)
J du -h Ji dv
co = arc cos ,-^ — •
ds
». Choisissons le système de translations pour lequel on a
il faudra prendre
00) ,, = v^G, , = , « = -yg—
La substitution des valeurs de r^ r^^ i^i dans la formule (2) per-
'ds^ équations suivantes
mettra de calculer —j-^ et nous donnera la première des deux
a(EG-F.)^
(II
du du dv J ds*
dv/ ds*'
\ du dv I ds^ \ d\^ du
d^v »(EG-F.)^,-
\ du dv du/ ds*
/ dE __^àG\ dudv /2p^K^p^\ f^ \ dv du] ds* \ dv dv du j ds* '
qui se déduisent l'une de l'autre par l'échange de u et de v^ de E et de G. Pour déterminer complètement w et i^ en fonction de 5, il faudra leur adjoindre la relation
. . T^ du* ^dudv ^ dv*
qui sert de définition à la variable auxiliaire s.
LES LIGNES GÉ0DÉSIQUE8. 4o5
On peut remplacer les deux équations (ii) par les suivantes :
/ d /Edu-hF dç\ \'^~cfs\ ds )~
d^ du^ âF du dv àO, dv^
, ^ , du ds^ du ds^ du ds*
^' ^ ' d /Fdu-{-Gdi^\ dE du* d¥ dudv dO dv*
\ dE du* ) " dv ~ds*
\ ds\ ds ) dv ds* dy^ ds* dv ds* '
qui sont d'une forme plus élégante, mais ne sont pas résolues par rapport aux dérivées secondes. ,
S16. Les différentes équalîons que nous venons d'obtenir mettent en évidence une propriété fondamentale des lignes géodésiques que Von peut énoncer comme il suit :
Etant donnée une ligne géodésique et deux points quelconques A, Bpris sur cette ligne, la variation première de l'arc de la géodésique compris entre ces deux points est nulle quand on passe de cette géodésique à toute autre ligne infiniment voisine ayant les mêmes extrémités ; et, réciproquement, toute ligne jouissant de cette propriété est une géodésique.
Considérons, en effet, une ligne quelconque comprise entre les points A et B et définie par l'équation
son arc sera donné par la formule
V* désignant la dérivée de v par rapport à w. Si l'on veut que la variation première de l'arc soit nulle, on aura, en appliquant les principes du calcul des variations, l'équation différentielle
dE d¥ , dG „ d^/ Gp'h-F \ dv ^ dv ^ ds>
^" \/Eh-2Fp'-+-G7"V 2v/E-h2Ft»'H-Gp'« ~^'
Si l'on développe les calculs, on retrouve l'équation (8). La proposition est donc établie.
Mais on peut aussi choisir l'arc s comme variable indépendante ; alors l'équation (i4) prend immédiatement et sans calcul la forme
4o6 LIVRE V. — CHAP. IV.
de la seconde équation (i3). La première de ces deux équations se déduisant de la seconde par l'échange de u et de ^, on peut considérer comme démontré le système (i3), système que l'on
pourra ensuite résoudre par rapport aux dérivées secondes -^-j^ > ^"Y? ce qui donnera les équations (i i).
S17. Les calculs de vérification que nous venons d'indiquer conduisent à une conséquence intéressante. Reprenons, par exemple, Téquation (i4).'où nous regarderons u comme variable indépendante. En la développant, on lui donnera d'abord la forme suivante :
r2c/(Gp'-4- F) - rfa ^^ 4- 2 ^ p'4- ^t;'s\1(E -h aFp'-4- GO
— (Gt^'-f- F; é/(E -^ aFi^'-h Gi^'») = o.
On reconnaît ainsi immédiatement que les lignes de longueur nulle de la surface, qui sont définies par Véquation
E-t-2F/-hGt^'«=o,
satisfont à Véquation différentielle des lignes géodésiques.
Il est aisé, en eflet, d'établir directement que ces lignes sont de véritables lignes géodésiques et que leur plan osculateur est, en chaque point, normal à la surface. Il suffit de remarquer que le plan osculateur de toute ligne de longueur nulle est tangent au cercle de l'infini et, par conséquent, normal à la tangente. Si donc une ligne de longueur nulle est tracée sur une surface, son plan osculateur en chaque point, étant normal à la tangente en ce point, contient nécessairement la normale à la surface.
On peut d'ailleurs vérifier autrement la propriété que nous venons d'établir. Si l'on suppose que la surface est rapportée à ses lignes de longueur nulle, on aura
l'équation (8) prendra donc la forme particulièrement simple
(i5) Yi^dud^v — dvd^u) — dvdu ( -— du — — cfi^ j = o.
