LES LIGNES GB0DÉ8IQUES

On reconnaît ainsi que toutes les lignes coordonnées, définies par l'une ou l'autre des deux équations

dv = o ou du = o,

satisfont à l'équation différentielle des lignes géodésiques {*).

518. Les équations de différentes formes que nous venons d'obtenir pour les lignes géodésiques mettent en évidence un fait essentiel, sur lequel on s'appuie à chaque instant dans la théorie : c'est que, par un point quelconque de la surface, il ne passe qu!une ligne géodésique admettant pour tangente en ce point une tangente déterminée de la surface. En d'autres termes, une ligne géodésique est pleinement déterminée par la condition de passer en un point de la surface et d^y admettre une tangente donnée.

Si, au contraire, on veut assujettir une ligne géodésique à passer par deux points, il est aisé de reconnaître que ce problème peut avoir une infinité de solutions, alors même que les deux points seraient très rapprochés. Supposons, par exemple, que la surface donnée soit un cylindre de révolution ; les lignes géodésiques seront des hélices. On reconnaîtra aisément que, si l'on prend sur le cylindre deux points M et M', quelque voisins qu'ils soient, il y a une infinité de lignes géodésiques passant par ces deux points. Ces hélices se distinguent les unes des autres parle nombre de tours que fait sur chacune d'elles un point partant de

(*) Les lignes de longueur nulle se distinguent toutefois des autres géodésiques par une propriété qu'il est bon de signaler. La variation première de l'arc, quand on passe d'une telle ligne à la courbe infiniment voisine, se présente sous une forme indéterminée. Cela tient à ce que Tare de toute ligne infiniment voisine

d'une ligne de longueur nulle est un infiniment petit de l'ordre -• Soit, en eiïet,

une ligne de longueur nulle. Pour toute ligne infiniment voisine définie par l'équation

où e est une quantité infiniment petite, on aura

j = y/e / v^Tk 9' ( a) du.

4o8 LIVRE V. — CHAP. IV.

M avant d'arriver en M', et par le sens dans lequel s'effectue ce mouvement.

Mais, quelle que soit la surface considérée, on peut déterminer une grandeur l telle que, si l'on prend sur chaque ligne géode sique passant par M, et à partir de M, une longueur \ égale ou inférieure à /, il ne passera par le point M et par l'extrémité de cette longueur aucune autre ligne géodésique dont la longueur soit inférieure à /. Cette proposition n'est pas absolument évidente, mais on peut l'établir rigoureusement de la manière suivante.

Nous avons vu que les coordonnées u ei v d'un point de la ligne géodésique sont définies en fonction de s par les éqnations (il), qui sont de la forme suivante :

ds^ ~' \ds / ds ds ^ \ds/ *

dr-v ,(djiy jj'^^^ '(^y

ds* ~~ \ds / ds ds \ds/ ^

a^ b, a! ^ . . .étant des fonctions données de u et de ^. Si l'on veut étudier l'ensemble des lignes géodésiques passant par un point M de coordonnées Wo, i^o> les équations différentielles donneront pour M et i^ des fonctions de l'arc s compté à partir de M et

des valeurs initiales Mq, ^o, ( ^ ) ' Kt) relatives à ce point. Remarquons d'ailleurs que les équations différentielles précédentes ne changent pas de forme quand on y remplace s par a^, a désignant une constante quelconque. Il faudra donc que les valeurs de u et

de V ne changent pas quand on remplace -^^ ( ;/" ) » ( ^ ) respectivement par a^, ~ ( 3~ ) » - ( ;y" ) • Cela ne peut avoir lieu que si m, V dépendent, en même temps que de Wo» ^o? <^e3 seules variables

~ \ds}^ " \ds/o

On aura donc

Si les coefficients E, F, G et, par suite, les fonctions a, i, a', ... sont développables suivant les puissances entières de // — lioi ^ — ^o> les fonctions/ et cp seront développables suivant

LES LIGNES GÉODÉSIQUES. 4o9

les puissances de u! et de v^ \ et Ton aura des séries de la forme suivante :

u — Mo = tt' -i- a tt'* -+- 2 a' mV -f- a'p'* -4- . . . ,

où les coefficients a, p, ... seront des fonctions de «/o, ^o? ^*' qui seront convergentes pour toutes les valeurs de w', ^' dont le module sera inférieur à une quantité fixe. Le déterminant fonctionnel

étant égal à i pour u'= i>'= o^ les équations précédentes pourront être résolues par rapport à w', v' et donneront pour ces quantités des séries ordonnées suivant les puissances de a — Wq? ç — Vq, séries qui demeureront convergentes tant que les modules de ces deux difierences demeureront inférieurs à une quantité fixe. En d^autres termes, il ne passera par le point M et par un point suffisamment voisin M' qu'une ligne géodésique pour laquelle m' et i/ soient inférieurs à une quantité fixe, c'est-à-dire dont la longueur soit inférieure à une quantité donnée (*). C'est la proposition que nous voulions établir. On peut encore Ténoncer en disant qu'on peut délimiter une région entourant le point M et telle que, par un point quelconque de cette région et par le point M, il ne passe qu'une seule ligne géodésique tout entière comprise dans la région (^).

( ' ) Comme on a

/duy ^ (du\ /dç\ fdvy

^oJ ^0) ^0 désignant les valeurs de E» F, G au point M, on obtient, en multipliant par s*, la relation

s* - E„a'« -h2F^u'v' -h Oy'j

qui montre que, si u\ v' sont inférieures à une quantité fixe, il en sera de même de s.

(') Les variables u\ v' sont celles auxquelles M. Lipschitz, dans des recherches plus générales, a donné le nom de variables normales, [ Voir, en particulier, le Bulletin des Sciences matljLématiques {i** série, t. IV, p. 97-110)].

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519. 11 résulte de cette proposition que, si l'on détermine chaque point de la région précédente par la longueur u de la ligne géodésique qui joint ce point au point M et par Tangle v que fait en M cette ligne géodésique avec une des tangentes en ce point à la surface, on aura constitué un système de coordonnées tout à fait analogue au système de coordonnées polaires dans le plan et dans lequel, à chaque point de la surface, correspondra un seul système de valeurs de u et de ^, si l'on convient, par exemple, de prendre // positif et p compris entre o et 27:. L'élément linéaire de la surface sera donné par la formule

dans laquelle £ est égal à i . On aura évidemment

F = o, G = o pour II = o.

Cela posé, exprimons que les lignes v = const. sont des géodé-

siques. Si l'on emploie, par exemple, Téquation (8), on aura, en

annulant di^ et d^i^, la condition

dF

F ne peut donc dépendre que de la seule variable v\ et, comme on a F =: o pour m = o, F sera identiquement nul. Par suite, l'élément linéaire de la surface prendra la forme simple

(17) ds^ = du'^ -r- G dv^ ,