On peut encore établir le même résultat en adoptant la

forme de l'élément linéaire étudiée au Chapitre II [p. 362]. On

aura ici

ds^ = du^ H- 2 G cosa du dv -h G* dv*.

Remarquons d'ailleurs que, l'arc C dv compris entre deux lignes géodésiques infiniment voisines devant diminuer indéfiniment quand u tend vers zéro, il faudra que l'on ait C = o pour «/ = o, quel que soit i^.

Cela posé, exprimons que les lignes v = const. sont géodésiques. En appliquant la formule (2) et remarquant qu'ici (o est

LES LIGNES GÉODÉSIQUBS. ^11

ëgal à m, on a

dm

ou

ou, en remplaçant r par sa valeur déduite des formules (A') (nM95)

doL cota ^G d(Gcosa)

du ' C du * du

Ainsi C cosa doit être une fonction de (^ (i8) G cosa = ^(v).

Mais, comme C est nul, quel que soit (^, pour £/ = o, il faut nécessairement que Ton ait

L'équation précédente nous donne, pour une valeur quelconque

de w,

G cosa = o et, par suite,

cosa = o.

Nous retrouvons ainsi la forme déjà donnée (19) û?s* = û?a* -f- G» û?P«

de l'élément linéaire de la surface.

521. Cette forme est d'une importance capitale. Elle va nous permettre de démontrer que le chemin le plus court entre deux points suffisamment rapprochés d'une surface est toujours une ligne géodésique.

En effet, sur la portion de surface que nous avons définie plus haut et qui peut être considérée comme engendrée par une ligne géodésique de longueur / tournant autour de son extrémité M, prenons un point quelconque M' de coordonnées c/q, ^o'y '^o sera la longueur de la ligne géodésique qui passe par M et M'. Si nous considérons tout autre chemin réunissant ces deux points et compris entièrement dans la portion de surface considérée, la longueur de ce chemin sera exprimée par l'intégrale

•Ml

f /ûftt*-f-G*rfp«.

4l2 LIVBE V. — CHAP. IV.

Or cette intégrale est évidemment supérieure à

tu du.

Donc le chemin est supérieur à Uq.

Si le chemin sort de la portion de surface que nous venons de définir, il faudra qu^il aille d'abord de M en un point [jl de la limite. Le chemin M(jl, étant au moins égal à / d'après la démonstration précédente, sera déjà supérieur à Wo; il en sera donc de même a fortiori Avx chemin total.

On peut encore présenter le raisonnement précédent sous une forme géométrique. Construisons autour du point M les courbes u = const. qui offriront autour de ce point la disposition générale d'une série de cercles concentriques autour de leur centre dans le plan. Considérons deux courbes infiniment voisines; l'arc d'une ligne quelconque compris entre ces deux courbes sera

)/du^ -h C« dv^ ;

sa valeur minimum sera donc du et elle correspondra au cas où l'on suit, pour aller de l'une à l'autre courbe, une géodésique normale. Le plus court chemin de M à M' est donc nécessairement la éodésique qui passe par ces deux points.

cr

522. On peut généraliser comme il suit la proposition obtenue au n« 520.

Etant donnée {fig. 82) une courbe quelconque AA', construisons les géodésiques normales à cette courbe. Nous définirons un point quelconque de la surface dans le voisinage de AA' par l'arc V = AP qui détermine le pied de la géodésique passant par le point M et par la longueur u = MP comptée à partir de P sur cette géodésique. Tant que u sera inférieur à une limite fixe, un point n'aura qu'un seul système de coordonnées (*). Il suffit, en

(*) On peut démontrer cette proposition en toute rigueur; il suffit de s'appuyer sur les résultats obtenus au n" 518.

Nous avons vu que les valeurs de u et de v, relatives à un point quelconque d'une ligne géodésique passant en un point M de coordonnées u^, v^^ sont des

LES LIGNES GÉODESIQUES. 4l3

effet, de remarquer que les lignes géodésîques normales à AA' ne s'entrecroisent pas tant que u est inférieur à une limite que l'on pourra déterminer.

Fig. 32.

On aura encore, en prenant u et s? comme variables,

ds'^ — du^ -H a C cos %dudv -r- C* dv^,

fonctions des quatre yariables

(du\ /dv\

Si le point M est pris sur une courbe (C) et si, de plus, la ligne géodésique doit être normale à (C), w,, ^oM 77" ) » (;7~) deviennent des fonctions de la variable qui fixe la position de ce point sur la courbe. Désignons cette variable par 9; uel V seront des fonctions de s et de 9. Le déterminant fonctionnel

a évidemment pour valeur initiale

du\ ds )»

\ds).

dUo d9

dv

Cfff

(-7^1 > ( 3- ) » déterminant la tangente à la ligne géodésique, ne peuvent être

proportionnels à -3-^» -7-^ qui définissent la tangente à la courbe (C).

La valeur initiale du déterminant fonctionnel n'étant pas nulle, ce déterminant demeure différent de zéro pour des valeurs suffisamment petites de s. Par conséquent, u et V sont des fonctions indépendantes de s et de 9 dans la région voisine de la courbe (C), et, réciproquement, s et 9 sont des fonctions indépendantes de u ci de V n'admettant qu'une seule détermination dans le voisinage de la courbe (C).

4l4 LIVRE V. — CHAP. IV.

avec la condition

Gcosa = ^(v')j

qui exprime que les lignes de paramètre v sont des géodésiques. D'ailleurs, pour m = o, on a

cos a = o

quel que soit ç. On a donc encore

et, par conséquent, on retrouve pour l'élément linéaire la forme

déjà obtenue

ds^ = du^ -+- G« dv*.

Ainsi, lorsquon porte sur les lignes géodésiques normales à une courbe des longueurs constantes, le lieu des extrémités de ces longueurs est une courbe également normale aux lignes géodésiques. C'est la généralisation d'un résultat bien connu, relatif aux courbes parallèles dans le plan. Les deux théorèmes précédents sont dus, comme on sait, à Gauss.

523. On peut encore les démontrer de la manière suivante. Considérons sur une portion de la surface une famille de géodésiques telle qu'il ne passe qu'une de ces lignes par chaque point delà région considérée, et associons à ces lignes une autre famille de courbes quelconques qui, jointe à la première, permette de constituer un système de coordonnées propre à déterminer tous les points de la région. L'élément linéaire de la surface sera représenté par une formule telle que la suivante

ds^ = E c?w» -f- aF û?a c?v f- G dv^,

où nous supposerons que les lignes géodésiques soient les courbes de paramètre v. Si Ton se reporte à l'équation (8) et si Ton exprime qu'elle est vérifiée lorsqu'on y introduit l'hypothèse rf(^r= o, on sera conduit à l'équation de condition

Et- -\-¥~ 2E-r- =0,

ov ou ou

LES LIGNES GÉODÉSIQUBS. 4^^

à laquelle on peut donner la forme suivante :

^v/fî à F

àv du ^

On peut donc poser

En substituant les valeurs de E et de F dans l'élément linéaire, on lui donnera la forme suivante :

On voit donc que les courbes définies par l'équation

(2a) 0 = f(>/^ du -4- -^ dif\

= const.

sont les trajectoires orthogonales des géodésiques considérées. Ainsi :

On peut toujours, par une simple quadrature, déterminer les trajectoires orthogonales d'une famille quelconque de géodésiques; et, si l'on rapporte les points de la surface au système de coordonnées formé par les géodésiques (^ = const.) et leurs trajectoires orthogonales (8 = const.), Vêlement linéaire prend la forme

(23) rf5« =3 £fÔ« -i- G ^p».

L'interprétation géométrique est immédiate. Deux trajectoires orthogonales quelconques interceptent le même arc sur toutes les géodésiques considérées*. Ces résultats sont en parfait accord avec ceux que nous avons déjà obtenus.

Dans le cas où les lignes géodésiques passent toutes par un point, il y a, évidemment, des trajectoires orthogonales qui, dans une portion dé leur parcours vue du point sous un angle fini, restent infiniment voisines de ce point; et, par conséquent, le point lui-même peut être assimilé à une trajectoire orthogonale, ce qui démontre le premier théorème de Gauss.

4l6 LIVRE V. — CHAP. IV.

524. Nous voyons que la considération des lignes géodésiques nous conduit à des systèmes nouveaux pour lesquels on doit faire

dans les formules du n° 499. Remarquons la forme exceptionnellement simple que prend, dans ces systèmes, Texpression de la courbure totale. On a alors, d'après la formule (22) (n® 499),

expression qui est due à Gauss et dont nous aurons souvent à faire usage.

Nous donnerons, par analogie, le nom de courbes parallèles aux trajectoires orthogonales d'une famille de géodésiques.

525. On peut déduire des résultats précédents une formule fondamentale relative à la variation de longueur d'un segment de ligne géodésique.

Soit {fig- 33) MP un segment de ligne géodésique dont les

extrémités M et P décrivent deux courbes données (G) et (D). Employons le système de coordonnées curvilignes formé par les positions successives MP, M'P', ... du segment et par leurs trajectoires orthogonales. L'élément linéaire, dans ce système, prendra la forme (23); si w, i/q désignent les valeurs de u aux points M et P, on aura

arcMP = a — ao«

De même, si a -+- rfi/, i/o -h du^ sont les valeurs de u correspondantes aux points M', P', on aura

arcM'P' = u-^ du — Uq — du^j

LES LIGNES 6E0DESIQUES. 4^7

ce qui donne

d arcMP = du — du^^.

Or, dans les triangles infiniment petits MM'H, PP^K formés avec les trajectoires orthog^onales MH et PK, on a

M'H= du = — MM'cosM'MP, KP' =-rfao = — PF cosPTÎvî

et, par conséquent, la substitution de ces valeurs de du^ duQ conduit au résultat suivant :

(25) d arcMP = - MM' cosîiî^ — PP cosPr^î.

Cette formule est identique à celle qui donne la différentielle d'un segment de droite. Comme il est facile de l'obtenir directement par le calcul des variations, elle pourrait conduire aux propositions de Gauss par un chemin inverse de celui que nous avons suivi.

526. La formule (26) permet d'étendre aux lignes géodésiques un grand nombre des propositions qui s'appliquent, dans la géométrie du plan, aux systèmes de lignes droites. On peut constituer, par exemple, sur toute surface, une théorie analogue à celle des développées et des développantes d'une courbe plane. Nous laisserons au lecteur le soin de poursuivre ces généralisations, et nous nous attacherons, de préférence, à la conséquence suivante de la formule fondamentale.

Considérons (/ig- 34) deux courbes (C), (G) et cherchons le lieu des points tels que la somme ou la différence de leurs distances géodésiques à ces deux courbes soit constante. Si, d'un point M du lieu, on abaisse les normales géodésiques MP, MQ sur les deux courbes, on devra avoir

MP=tiMQ = const.;

et, par suite, lorsqu'on passera d'un point M du lieu au point infiniment voisin M', il viendra

dMP±dUQ = o.

D. — II. î7

4l8 LIVRE V. — CHAP. IV.

La formule (26) nous donne

dMP =-MM'cosM'MP, e/ MQ = — MM' coslîrM^.

En substituant ces valeurs des différentielles dans la relation

précédente, on trouvera

cosM'MP HZ cosfîrMQ = o.

Fig. 34.

Dans le cas où Ton prend le signe 4- et où, par conséquent, la somme des distances est constante, Téquation exprime que la tangente au lieu est la bissectrice de l'angle formé par une ligne géodésique et le prolongement de l'autre. Quand on prend le signe — , c'est-à-dire quand la différence des distances est constante, la tangente est la bissectrice de l'angle formé par les deux normales géodésiques.

En rapprochant ces deux résultats, nous obtenons le théorème suivant :

Si l^on construit sur une surface quelconque toutes les courbes lieux des points pour lesquels la somme ou la différence des distances géodésiques à deux courbes données demeure constante^ on obtient dans tous les cas deux familles de courbes se coupant à angle droit.

Nous donnerons, dans la suite, le nom A^ ellipses et A^ hyperboles géodésiques aux courbes qui composent ces deux familles. Leur définition ne change pas si l'on substitue aux deux courbes de base (C) et (C) des courbes parallèles quelconques. Il faut