LES LIGNES GÉODÉSIQUES

toutefois remarquer que ce changement peut transformer les ellipses en hyperboles et vice versa,

527. Nous allons chercher la forme que prend Télément linéaire de la surface quand on adopte le système de coordonnées curvilignes que nous venons de définir; mais nous prendrons comme intermédiaire un système de coordonnées obliques formé avec deux séries de courbes parallèles.

Considérons ifig* 35) une première famille de courbes paral-

Fig. 35.

lèles, que nous définirons parleurs distances u = AP à Tune d*elles

(C), distance comptée sur une géodésique normale. Soit de même

une seconde famille de courbes parallèles que nous définirons par

leurs distances v = BQ à Tune d'elles (C).

Construisons les quatre courbes de paramètres u, u-h du, v^

ç -\- dv qui formeront un parallélogramme curviligne MNM'N'

dont Tangle M sera désigijié par a et dont les côtés auront pour

valeurs

MN' = kdu, MN = G dv.

A et C étant les quantités qui figurent dans l'expression

ds^ = A* û?M* -H C* dv^ -\- 2 AG cos a du dv

de rélément linéaire. Si l'on mène par le point M les géodésiques MN| , MN'j normales aux côtés opposés du parallélogramme, les longueurs de ces géodésiques sont

MNi = dv, MN; = du.

Dans les triangles MNN| , MN'N'^ que Ton peut assimiler à des triangles rectilignes, on aura

MN, = MN sin a, MN', = MN' sin a, c'est-à-dire

du = A, du sin a, dv = C dv sin a ety par suite,

sin a

L'expression de l'élément linéaire sera donc

û?M* -h dv* ~^%dudv cos a

(26) ds^ =

sin* a

Si l'on prend maintenant

(27) M-1-C = 2tt', U — P = 2V',

les courbes de paramètre w', v' seront les ellipses et les hyperboles géodésiques définies plus haut, et l'expression de l'élément linéaire prend la forme

(28) ds^= 1 ,