GC X
sin* - cos*- 2 2
qui met en évidence l'orthogonalité déjà démontrée.
528. M. Weingarten, auquel est dû le résultat précédent (* ), l'a établi par une autre méthode, que nous allons indiquer. Soit
ds^ = E rfa« -T- 2F dudv-^-G dv^
l'expression de l'élément linéaire. Puisque u désigne la distance
géodésique à une courbe (C), l'élément linéaire pourra se mettre
sous la forme
ds^ = du^ -T- ï« du'*.
Il faudra donc que la différence
rfs» — rfa* = ( E — i) û?tt« -f- 2F û?a û?p -h G dv*
(•) Weingarten (J.)» Ueber die Oberflàchen fiir welche einer der beiden Hauptkrûmmungshalbmesser eine Function der anderen ist {Journal de Crellej t. LXII, p. 160-173; i86a).
LES LIGNES GÉODÉSIQVES. 4^1
soit un carré parfait. Cela nous donne la condition
En exprimant de même que if est la distance géodésique à une seconde courbe, on obtiendra la condition
Ces deux relations, employées simultanément, nous donnent
E = G, F = v/ë(E-i), et Télément linéaire prend la forme (29) ds^ = E(c?a» -+- dv^) -4- 2/E(E — 1) du dv.
En remplaçant E par . ^ > on retrouve la formule que nous avons démontrée directement par la Géométrie.
529. La fonction a qui figure dans cette formule dépend de la nature de la surface, ainsi que des courbes de base (C), (C), et ne peut pas être déterminée en général. Nous allons indiquer deux applications dans lesquelles on obtient sans difficulté Texpression de a.
Considérons d'abord les coordonnées bipolaires dans un plan. Si Ton appelle r, r' les distances d'un point du plan à deux points fixes, la formule (26) nous donnera
, ^ . , . dr^ -^ dr^ -^ idr dr' cos a
(3o) ds* = r-z
sin*a
Soient O, O' les deux pôles et M le point considéré. Désignons par 2C la distance des deux pôles. Le triangle OO'M nous donnera
(3i) 4c' = r' -h r'«-H arr'cosa,
équation d'où nous pourrons tirer a. Mais auparavant remarquons que, si l'on pose
l'expression de rélément linéaire deviendra (33) ds*=-^^ '
SIQ* - cos* - 2 2
et Ton déduira de la formule (3i) l'équation
oc flt
( 34 ) c* = jJL« cos* - -h V» sin« - ,
qui fera connaître les valeurs de sin -9 cos -• Eu les portant dans la formule (33), nous aurons
Les courbes (jl = const. sont des ellipses homofocales, les courbes v = const. des hyperboles ayant les mêmes foyers. On voit ainsi que le système des coordonnées elliptiques n'est qu'une modification, et une modification avantageuse, du système des coordonnées bipolaires. Cela explique pourquoi ce dernier système est si rarement employé.
Si Ton prenait de même sur la sphère le système de coordonnées bipolaires en désignant toujours par 2c la distance des pôles, il faudrait substituer à l'équation (3i) la suivante
(36) C0S2C = cos r cos r' — sifirsior' cos a,
que donne immédiatement le triangle sphérique OO'M. On peut
l'écrire
C0S2C = COS 2 a COS* h C0S2V SlD* - ,
et, par conséquent, on aura pour la sphère
' \C0S2JX — C0S2C C0S'2C — C08 2V/
Les courbes coordonnées sont des ellipses et des hyperboles homofocales.
530. Après ces applications particulières, nous signalerons, comme conséquence générale de la formule (8) relative aune surface quelconque, cette proposition due à M. Liouville : Si l'on a
LES LIGNES GBODÉSIQUBS. 4^3
sur une surface deux systèmes de lignes géodésiques se coupant sous un angle constant , la surface sera plane ou développahle. En effet, si nous construisons les courbes parallèles trajectoires orthogonales de ces géodésiques, elles se couperont, elles aussi, sous un angle constant et, par conséquent, l'élément linéaire de la surface pourra être mis sous la forme (26) ou mieux sous la forme (28), Tangle a étant constant. Posons alors
. a = j? sin ->
= ^cos?;
rf*> =
= dx^ -+- û?^«,
il restera
ce qui montre bien que la surface est applicable sur le plan.
{24 LIVRE V. — CHAF. V.
