U = AX -H A,X'-T-. . .-^ A/X

qui contiennent une fonction arbitraire et ses dérivées jusqu'à un ordre déterminé.

Il est évident qu'il est toujours possible de remplacer de telles

36 LIVRE IV. — CHA p. II.

expressions par d^autres qui contiennent les dérivées jusqu'à un ordre plus élevé.

Substituons, en effet, à X une expression telle que la suivante

où a, ^, . . ., )^ désignent des fonctions données de x et X| une fonction arbitraire nouvelle. La fonction U sous sa nouvelle forme contiendra les dérivées de X| jusqu'à l'ordre i-\- [x. Réciproquement, il pourra se faire que le nombre des dérivées puisse être diminué dans U par un choix convenable de la fonction arbitraire. Par exemple, la fonction

peut être ramenée à une forme plus simple, si l'on pose

Nous dirons dans la suite que la fonction U est de rang t-f- i par rapport à Xy lorsque l'ordre de la plus haute dérivée de X qu'elle contient est i et lorsqu*il sera impossible de l'amener à une forme dans laquelle figureraient un nombre moindre de dérivées de la fonction arbitraire. Nous ne chercherons pas à indiquer ici comment on reconnaît, d'une manière générale, si une fonction U est écrite sous sa forme la plus simple. Cette question, qu'il est aisé de résoudre, ne se présentera pas dans la théorie qui nous occupe.

Nous avons vu que, si féquation (E/) est la première pour laquelle l'invariant h devienne nul, il existera une solution de réquation proposée contenant une fonction arbitraire de X et ses dérivées jusqu'à l'ordre i. Je dis que cette solution est irréductible quant au nombre des déris^ées et que son rang est bien /-j-i. En d'autres termes, il sera impossible de l'exprimer, ou même de trouver toute autre solution de l'équation, sous une autre forme contenant une fonction arbitraire de x et ses dérivées jusqu'à l'ordre / — [jl. En effet, si cela était possible, il y aurait, en vertu de la réciproque déjà établie, une équation (Ey) d'ordre au plus égal à i — jjl et, par conséquent, certainement inférieur à i pour laquelle l'invariant h serait nul; ce qui est contraire à l'hypothèse.

LA MÉTHODE DE LAPLACE. 3y

II résulte de là évidemment que, lorsque la première équation pour laquelle l'invariant h s'annule est (Ë/), toute équation (E|;t) d'indice positif ou négatif admettra une solution de rang k -\-i par rapport à x.

Les résultats précédents s'appliquent sans modification lorsqu'on emploie la deuxième substitution ; le mode de formation des équations d'indice négatif (E<), (E 2), ... se ramène en effet à celui des équations à indice positif par l'échange de x et de y. On voit donc que la suite des équations d'indice négatif cessera d'être illimitée et se terminera à une équation (E y) pour laquelle l'invariant Ârsera nul toutes les fois que l'équation linéaire proposée admettra une intégrale particulière

de rangy -h i par rapport à^, et vice versa,

336. Les développements précédents permettent de former très aisément les équations linéaires dont la méthode de Laplace peut fournir l'intégrale générale. Supposons, par exemple, que l'on veuille obtenir toutes les équations admettant une solution de rang i-\-i par rapport à x, c'est-à-dire pour lesquelles la suite des équations d'indice positif se termine à (E/). On choisira arbitrairement ai et bi\ l'équation

ht = h aibi — c/ = o

déterminera ensuite c/. La valeur de l'intégrale générale sera donnée par la formule (32); les relations (26) feront ensuite connaître de proche en proche les invariants h et k des équations (E|i), . . ., (E). D'après l'application répétée de deux des formules (18), on aura

) a = «1 -h -- log(AAj . . . A/-i).

La valeur connue de l'un des invariants h ou k permettra ensuite de calculer c. On aura, par exemple,

(39) k = ^-^+abt-c.

On pourra même obtenir, sous forme développée, la valeur générale de z. Il suffira d'employer la formule (29), ce qui donnera

<4„, .„.-/«.. A i;^ ... ,1^ £[,{^*fl.j.)].

Si on laisse de côté l'intégrale e^f^i^-^ qui représente le facteur arbitraire par lequel on peut multiplier ;;, celte formule ne contient que les invariants et la fonction 8 dont la valeur est

et qui peut, elle-même, être regardée comme un invariant; car on a

L'application de la seconde formule (38) nous fournit encore la valeur suivante de 0

(4'-i) 0 = ef^'^'-f'"'*^' hh, . . . hi-u

et cette relation permettra de calculer 0 quand l'équation sera donnée. Pour obtenir la partie de l'intégrale générale qui dépend de X, il suffira de remplacer Y par zéro.

337. Il n'y a donc, on le voit, aucune difficulté à former l'ensemble des équations linéaires dont la méthode de Laplace fournit l'intégrale générale, après des opérations dont on peut fixer le nombre à l'avance. Proposons-nous maintenant de déterminer, parmi toutes ces équations, celles pour lesquelles la suite de Laplace se termine dans les deux sens et qui admettent, par conséquent, une solution générale de la forme

entièrement débarrassée de tout signe d'intégration.

L'expression précédente est de rang i -h i par rapport k x et de rang j + i par rapport à y. La somme / 4- / sera appelée le nombre caractéristique de l'équation. Il est aisé de voir qu'il ne change pas quand on applique les substitutions de Laplace; car, si l'on passe de l'équation (E) à (Ea), par exemple, le nombre i aura

LA MÉTIIOOE DE LAPLACE. Sq

diminué de h unités, mais le nombre y aura augmenté de la même quantité (n** 335), la somme de ces deux nombres n'aura donc pas changé. D'après cela, si l'on considère l'équation (E,) de rang t, pour laquelle l'invariant h est nul et qui est de la forme

(dZi \ , [àzi

tout se réduira à exprimer qu'elle admet une solution de rang i par rapport à x et de rang i-f-j -hi par rapport à y. Posons, pour abréger, n= i-hj et faisons la substitution

l'équation se ramènera à la forme

a désignant une fonction de a: et de^. En intégrant, on aura

(44) ^=*^»' ^=JoLY,dy-^X,

Y| désignarnt une fonction arbitraire de j/ et X une fonction arbitraire de X. La question à résoudre sera ramenée à la suivante :

Exprimer que l'équation (44) admet une solution de la forme

(45) e = X -H BY + Bi Y' H-. . .4- B„Y^«\

oe/ B, Bf, . . ., B/i sont des fonctions déterminées de x et de y et X, Y des fonctions arbitraires de x et de y respectivement.

En substituant l'expression précédente dans l'équation (44) et en donnant à x une valeur numérique quelconque, on reconnaît immédiatement que les deux fonctions arbitraires Y et Y| doivent être liées Tune à l'autre par une relation de la forme

(46) Y| = XY ^ X, Y' + . . .-H X„^i Y^"-^*',

X, X|, . . . , X.,,^1 désignant des fonctions de y parfaitement déterminées. Si l'on remplace 6 et Y| par leurs valeurs dans l'équation

4o LIVRE IV. — CHAP. II.

(44), on devra donc avoir

et cela pour toutes les formes possibles de la fonction Y. Pour qu'il en soit ainsi, il faut évidemment que les coefficients de Y et des dérivées Y^'^ soient égaux dans les deux membres. En égalant ces coefficients, on obtient ainsi le système

dy dB,

= aA, B = aXj,

dy

Brt — aA,j+i

L'élimination des quantités B montre que a devra satisfaire à l'équation

qui est linéaire et d'ordre n -j- i par rapport à a, tous les coefficients étant des fonctions dejK. On aura ensuite les valeurs

/ B« = aX;24.1,

B/t-1 = aA« — — (aA,i4-i),

qui permettront d'écrire l'expression de 8.

D'après la méthode précédente, on voit que, pour résoudre complètement le problème proposé, il suffira de choisir arbitrairement n + 2 fonctions de ^ )., Ai, . . . , )v/+o d'intégrer ensuite l'équation linéaire du n -{- 1**^™* ordre à une seule variable indépendante (49)? ce qui donnera a et permettra déformer l'équation (E|). Les formules (48) et (45) donneront ensuite l'intégrale générale de cette équation, et l'application répétée des substitutions de Laplace permettra de former par voie de récurrence l'équation

(E), ainsi que son intégrale générale. Mais celte solution, qui se présente ainsi de prime abord, peut être notablement simplifiée et perfectionnée.

338. Il faut d'abord lever une objection qui se présente immédiatement. L'expression obtenue pour Tintégrale générale serat-elle irréductible quant au nombre des dérivées dé la fonction arbitraire Y, et ne pourra-t-on pas, par un choix convenable de la fonction Y, réduire ces dérivées à un moindre nombre? Il est aisé de reconnaître que cela aura lieu dans certains cas et de donner un caractère précis permettant de distinguer les valeurs de a pour lesquelles l'intégrale générale sera bien réellement de rang n + i par rapport ky.

Nous rappellerons d'abord une identité empruntée aux deux théories voisines de l'équation adjointe et des conditions d'intégrabilité des expressions différentielles. Si l'on définit les fonctions nouvelles de^v, [x, [jl<, . . . , ^njf\ V^^ l'identité

OÙ o) désigne une fonction de forme quelconque, on aura aussi

l Xw -H X, 0)' -h Xj o)' H- . . . -t- X„4.i w^«+iJ

et, par conséquent, les fonctions \ pourront s'exprimer au mojen des fonctions [x. On aura, par exemple,

(53) ^ ày ôy"-^^

Ainsi, les fonctions u pourront être choisies arbitrairement; on en déduira ensuite les fonctions \ par l'emploi de l'identité (62).

Ces points étant rappelés, si l'on se reporte à l'équation (49)? on voit qu'elle prend la forme

(54) fJLa-+- {Jiia'H-.. .4- (i„^ia^»+ï^ = o,

et, par suite, Téquation à laquelle doit satisfaire a, considérée comme fonction de y^ est une équation linéaire quelconque d'ordre n-\-\. Cet ordre ne s'abaissera dans aucun cas ; car, en

vertu des formules (4^) et (î>3), [jl^+i est égal au signe près à — -

et ne peut s'annuler qu'avec B^,. Si l'on prend pour a une solution quelconque de l'équation ( 54), on déterminera les fonctions \ par l'identité (02), puis les B par les formules (48); et l'on aura, en substituant dans la formule (4^)) l'intégrale générale, qui contiendra la fonction Y et ses dérivées jusqu'à l'ordre n.

Le résultat des raisonnements précédents se traduit par les deux propositions suivantes.

Si l'intégrale générale est de rang n + 1 ou de rang inférieur par rapport à y^ a, considérée comme fonction de y^ satisfera à une équation linéaire d'ordre n -\- i dont tous les coefficients seront des fonctions de y.

Inversement, si a, considérée comme fonction de y, satisfait à une équation linéaire d'ordre n 4- i et dont les coefficients sont des fonctions de^, l'intégrale générale sera au plus de rang n + 1 par rapport à y.

En rapprochant ces deux propositions, on obtient évidemment le théorème suivant :

Pour que V équation linéaire

oyj

admette une solution de rang /i H- i par rapport à y^ c'està-dire pour que sa solution générale soit de la forme

e = X -f^ B Y -+- Bi Y -h . . . ^ B„ Y^»^

et ne puisse pas être mise sous une forme analogue ou il y aurait moins de dérivées de la fonction arbitraire de y^ il faut et il suffit que a, considérée comme fonction de y, satisfasse à une équation linéaire d'ordre n -H i dont les coefficients soient des fonctions de y et ne satisfasse pas à une équation linéaire semblable, mais d'ordre moindre.

D'après cela, si l'on désigne par Yj, Y2, . . . , Y„^| n -h i solu-

lions particulières quelconques deTéquation à laquelle satisfait a, on devra prendre

ot = Yj Xi -+- Yj Xj -!-...-+- Y/j-t-i X

n-hli

X|, X2, . . ., Xfl^i désignant des fonctions de x qui seront assujetties à la seule condition d'être linéairement indépendantes, afin que a, considérée comme fonction de y^ ne satisfasse pas à une équation d'ordre inférieur à n -f- i .

Si l'on se donne a priori les solutions ¥<, Ya, . . ., Y^^i, on pourra déterminer les fonctions p par les équations

fiY,-f-ixiY;-4-...= o, tiYj-h fit Y'î -+-...= o, • •»

et la solution complète du problème n'exigera plus aucune intégration. Mais nous allons voir que l'on peut présenter cette solution sous une forme beaucoup plus élégante et plus commode pour les applications.

339. Reprenons l'identité (47 ) ^t désignons par yt, y 2^ • • «^ Vit+x /î -f- I solutions particulières distinctes de l'équation linéaire

XY -h Xi Y' -+-. . .-h X„H, Y^"-^*^ = o;

JK«» • • • j^n+i seront des fonctions àe y dont le déterminant

• • JK/n-i

• • Jn+l

ne sera pas nul.

L'équation (4;) devant avoir lieu pour toutes les formes possibles de la fonction arbitraire Y, remplaçons-y Y par l'une quelconque yi des solutions particulières précédentes. Nous aurons

— {Byi^ B,7;.H-. . .-f- B„yr) = o,

et, par suite, en intégrant

-^B„y\"^ -^-Ti = o,

Xg désigoaot une fonction de la seale variable x. En attribuant à i

tontes les valeurs i, 2 n + i * on obtient ainsi n -r- 1 équations

différentes d'où Ton pourra tirer les valeurs de B, B| B^.

Porter ces valeurs dans la formule ( \h ) qui donne ^, c^est éliminer B, B| B/i entre les équations précédentes et la suivante

On est ainsi conduit à la valeur suivante de H

yC

rn^x

A étant le déterminant déjà défini par Téqualion (36). De la valeur de h on déduit celle de Zi

(5Sbis) ^/ = MH,

M désignant une fonction déterminée de x et dejr dont la valeur ne joue aucun rôle dans la théorie.

Il est aisé de vérifier que la valeur précédente deH satisfait bien à Téq nation (44)

^59; J,=4aY-X,Y'...^X..,Y''-'],

OÙ Ton a remplacé Yj par sa valeur (46), et de déterminer l'expression de a au moyen des fonctions Xij j'i, La valeur de Q, ordonnée suivant les fonctions X et x,-, est évidemment de la forme

les coefficients /// contenant la fonction Y et ses dérivées. D'après l'expression (58) de cette fonction sous forme de déterminant, on reconnaît immédiatement que Ton a

6 = X — Xi pour \ = yi.

Il suit de là que la dérivée y sera nulle toutes les fois que l'on remplacera Y par y/, et, comme elle est linéaire par rapport à Y

et à ses n

I premières dérivées, on aura

Jr 1

p désignant une fonction qui ne contiendra plus Y, Le déterminant qui figure dans Téquation précédente est évidemment proportionnel au premier membre de Téquation (35); et, par suite, l'équation précédente est bien équivalente à Téquation (Sg) qu'il s'agissait d'établir, Quant à la valeur de a, on l'obtiendra, par exemple, en égalant les coefficients de la dérivée Y^""*"*^ dans les deux membres de l'équation (Sg), ce qui donnera

Xt

ri

^n-^l ^/i-»-l yn+i

Jt

S'il y avait une relation linéaire quelconque entre les fonctions Xiy a considérée comme fonction de y satisferait à une équation linéaire d'ordre inférieur à n -+- 1 . Ainsi les fonctions Xi doivent être indépendantes au même titre que les fonctions y i,

340. La solution que nous venons de donner offre ce grand avantage qu'elle permet de former non seulement l'équation (E/), niais encore toutes celles d'indice moindre et, en particulier, l'équation primitive (E). Il résulte en effet de la formule (a9)que la valeur de 2, satisfaisant à Téquation (E), sera de la forme

z = Dz,'-4- Di

dx ^^Ux^ ^"'^^'ô^'

et, d'autre part, nous savons que cette solution z sera de rang i -f- 1 par rapport à j? et de rang j -h i par rapport à y, c'està-dire qu'elle sera aussi de la forme

;; = pX -+- p,X'-f-. . ,-r- p/X^'^-H yY -+-. . .H- Yy