CHAPITRE V
Méthode générale de recherche des lignes géodésiques. — Définition du paramètre différentiel AO. — Toute fonction dont le paramètre est égal 4 i fait connaître une famille de courbes parallèles. — Lorsque cette fonction contient une constante arbitraire, on peut déterminer les lignes géodésiques de la surface. — Proposition réciproque; lorsqu'on connaît les lignes géodésiques, on peut intégrer, par une simple quadrature, l'équation AO = i. — Théorème de Jacobi : Lorsqu'on a obtenu une intégrale première de l'équation différentielle du second ordre des lignes géodésiques, on peut toujours déterminer un facteur de cette intégrale. — Conséquences diverses. — Expression de l'élément linéaire de la surface au moyen de la fonction 0 et de ses dérivées par rapport à la constante arbitraire a. — Équation du troisième ordre à laquelle satisfait la fonction 0. — Indication d'une autre méthode permettant d'établir les résultats précédents. — Distance géodésique de deux points. — Propositions relatives à cette distance.
531. Les propositions établies dans le Chapitre précédent conduisent à une méthode élégante de recherche des lignes géodésiques, que nous allons exposer avec tous les détails nécessaires.
Considérons une géodésique quelconque de la surface; on peut évidemment lui associer une infinité dWtres géodésiques, par exemple toutes celles qui passent en un de ses points, et constituer avec les trajectoires orthogonales de ces lignes un système de coordonnées curvilignes pour lequel l'élément linéaire prendra la forme
On sera donc assuré d'obtenir toutes les lignes géodésiques si l'on sait résoudre dans toute sa généralité le problème d'Analyse suivant :
Étant donné l'élément linéaire d'une surface sous sa forme la plus générale
déterminer trois fonctions ^^ fi, ^t de u et de if, telles que l*on ait identiquement
Cette équation se décompose évidemment dans les trois suivantes :
du
^ du ov ou ov
entre lesquelles on pourra éliminer o-j-^ et ^y-p* On est ainsi conduit à la relation
que Ton obtiendrait d'ailleurs immédiatement en écrivant que le polynôme homogène en du^ dv
est un carré parfait. Si l'on pose, pour abréger,
.,. .ft \àu) du ôv \dv)
(4) Ae= JÊG"="F^ '
Téquation (3) pourra s'écrire encore
(5) AO = i.
Nous rencontrerons fréquemment dans la suite la fonction AO, à laquelle nous donnerons, avec M. Beltrami, le nom de paramètre différentiel du premier ordre de 0.
Réciproquement, il est aisé de démontrer qu'à toute solution de l'équation (5) correspond une famille de courbes parallèles, c'est-à-dire de courbes dont les trajectoires orthogonales sont des lignes géodésiques.
En effet, Téquation (5) exprime, nous l'avons vu, que ds^ — rfO* est un carré parfait; on aura donc, quelles que soient les diffé-
i'iô LIVKE V. — CHAP. V.
renti'elles du^ dv^
ds^ — rfO* = (m du -^ n rfp)*,
m ei n étant des fonctions de u et de v. Or on peut toujours ramener la fonction linéaire mdu-^ndv à la forme o-^|. On aura donc
0| sera d'ailleurs une fonction distincte de 6, car autrement ds^ serait un carré parfait. Notre proposition réciproque est donc établie, et toute solution de l'équation (5) nous donne une famille de courbes parallèles.
532. Cette équation (5) a, comme on sait, des solutions d'espèces très différentes. On peut en trouver qui ne contiennent aucune constante arbitraire; d'autres qui contiennent une ou plusieurs constantes arbitraires, ou même une fonction arbitraire. Au point de vue de la question qui nous occupe, il est essentiel de considérer successivement ces diverses solutions.
Si l'on a obtenu une solution de l'équation (5) ne contenant aucune arbitraire, l'application de la méthode précédente, qui prescrit de mettre la différentielle m du -h n dv sous la forme vé/Of, exige l'intégration de l'équation
(6) mdu-hndç = Of
qui est celle des lignes géodésiques trajectoires orthogonales des courbes 0 = const. On ne connaît aucune proposition qui permette d'effectuer l'intégration de cette équation ou qui la rende plus facile.
Supposons, au contraire, que l'on ait obtenu une solution de l'équation aux dérivées partielles (5) contenant une constante autre que celle qui peut toujours être réunie à B par addition, constante qui devra figurer par conséquent dans l'une au moins
des deux dérivées -x- ^ — • Nous allons voir que, dans ce cas (au-
du ov ^ ' ^
quel on peut ramener tous ceux où la fonction contient plusieurs constantes ou une fonction arbitraire), on pourra, par de simples dérivations, obtenir <7 et 6| et, par suite, les équations finies
LES FAMILLES DE COURBES PARALLÈLES. 4a7
des lignes géodésiques qui sont les trajectoires orthogonales des courbes 0 = const.
Reprenons^ en effet, Pidentité
Cette équation a lieu entre cinq variables : u, v, du, dv et la constante arbitraire qui entre dans Q et que nous désignerons par a, Différentions par rapport à a en traitant les quatre autres variables comme des constantes. La différentielle de 0
deviendra
rfô = -r- du -^ -r- dv ou dv
du H- -r r- dif = d-T- 9
da ou da âv da
et Ton aura un résultat analogue pour 0|. Nous aurons donc, puisque ds^ ne contient pas a,
L'équation précédente nous montre que d^i, fonction linéaire de du, dv, doit diviser soit ûft, soit d\T-)' ^^ *^^* ^® P^"^ diviser d^j car alors 0| serait fonction de 6. Il faut donc que d^^ divise ^t- ; 8i est une fonction de ^> et l'on peut prendre, par conséquent.
Avant de déduire d'autres conséquences de l'équation (7), nous allons nous arrêter à ce premier résultat. Nous voyons que les lignes géodésiques qui coupent à angle droit les courbes 0 = const. ont pour équation
(8) — =const. = a',
et de plus leur arc, compté à partir de l'une de leurs trajectoires, est précisément égal à 6.
L'équation (8) contient deux constantes arbitraires dont on pourra disposer de manière à faire passer la ligne géodésique par
4i.î LITEE ▼- cm
t,i\z.\rtr^yLS qî'oa pç^î (tire Da.**«r cb< -i*^ < :^r
* = '.l-Xfî-
j *r ta pcrr.! qa*^lc'yn-i»ie (/». f| et î-i -i jim-î-r ca ce poûl R'-rcAT-j-ODS d'abjprd q^se le rapport
ne aurait être indép^!iid^nt de a. Eln effet, s'il en était ainsî^. si
'o joignant cet'.e éqnatioa à la saî^ante
oo pourrait délermiDer des valeurs de —7- — qui seraient. Tiine et
l'autre, iod^rpendantes de a « ce qui e>t contraire à rfarpothês ^>e:la posé, considérons la courbe ' h 1 définie par Téquation
Elle passe é^-idemment par le point • u^j r«\ et la direction de
sa tangente eu ce point dépend do rapport — - l -^- Comme ce
rapport n'e^t pas indépendant de a« il pourra prendre toutes les valeurs possibles. Ainsi les courbes h = const. peuvent passer en un point quelconque de la surface et v admettre une tangente quelconque; il en sera donc de même des lignes géodésiques représentées par Téquation (8 k qui sont leurs trajectoires orthogonales. Comme une ligne géodésique est déterminée par la condition de passer en un point et d'v admettre une tangente donnée, nous pouvons dire que Téquation « 8) représente toutes les lignes géodésiques et énoncer le théorème suivant :
Pour déterminer les lignes géodésiques, on considère l'équa-lion aux dérivées partielles
Toute solution de cette équation, égalée à une constante, déterminera une famille de courbes parallèles.
Si Von a une solution contenant une constante arbitraire a, l'équation de la ligne géodésique la plus générale sera
da '
et Varc compris entre deux points de cette ligne géodésique sera égal à la différence des valeurs de 6 relatives à ces deux points.
Réciproquement, supposons que Ton ait déterminé par un procédé quelconque les lignes géodésiques ; nous allons montrer qu'on saura intégrer Téquation
Ae = 1.
Cherchons, par exemple, la solution 0 de cette équation qui est égale à zéro en tous les points d'une courbe (C) donnée à Tavance. On construira toutes les lignes géodésiques normales à (C). L'arc de l'une de ces lignes, compté à partir de (C), sera une fonction des coordonnées de son extrémité que l'on obtiendra par une quadrature et qui sera la solution cherchée. Cette remarque, convenablement étendue, est très importante pour la théorie des équations aux dérivées partielles; ici, du moins, elle nous permet de reconnaître que la méthode de recherche des lignes géodésiques instituée par le théorème précédent n'introduit aucune difficulté étrangère à la question.
533. Nous signalerons en premier lieu les conséquences suivantes de la théorie générale que nous venons de développer. Imaginons que l'on connaisse une équation différentielle
dv , .
(9) rfii=*'=?("'^)»
dont toutes les intégrales particulières soient des lignes géodésiques et cherchons Téquation différentielle de leurs trajectoires orthogonales. En appliquant la formule
E rfM ûa -h F(û?a Sp -+- dv oa) -t- G rfp ûv = o,
qui exprime P orthogonal! té de deux directions, on obtiendra l'équation cherchée sous la forme
(lo) (E -i- ¥ v') du -i- (F -^ Gv') di> = o,
v' devant être remplacé par sa valeur tirée de Téquation (9). Or on sait que Ton peut trouver un facteur X tel que le produit
\[(E -^ F p') du -h {F -\- Gv') dp] soit la différentielle d'une fonction 0 satisfaisant à l'équation
Si donc on pose
et si Ton exprime que l'équation aux dérivées partielles précédentes est vérifiée, 00 obtiendra la valeur de \ qui est
/E-4-2r>'H-Gp'*
On peut donc énoncer le théorème suivant, qui a d'ailleurs été établi sous une autre forme au n** 523.
Si l'équation différentielle
représente des lignes géodésiques, V expression
{E-^Fv')du^{F -^Gv')dp
est la différentielle exacte d'une fonction 8; V équation
6 = const.
représente les trajectoires orthogonales des lignes géodésiques satisfaisant à V équation différentielle proposée y et 9 désigne la distance géodésique d'un point quelconque de la surface à l'une de ces trajectoires orthogonales.
Cette proposition va nous conduire à un beau théorème de Jacobi :
Si Von connaît une intégrale première de l'équation différentielle des lignes géodésiques, on pourra obtenir V équation en termes finis de ces lignes par une simple quadrature.
Soîl, en effet,
(il) p'=<p(M, t^, a)
rîntégrale première, contenant la constante a. La fonction
(E -4- Fp') rftt -4- (F -+- Gp') dv
/ëTTfvT'gT*
qui, d'après ce que nous venons de démontrer, satisfait à Téquation AB = I, contiendra la constante arbitraire a. Donc Téquation des lignes géodésiques sera
da
En prenant la dérivée par rapport à a sous le signe d'intégration, on trouve
.^ r (EG-F«)g
J (E-H2Fp'h-Gp'»)* ce qui permet d'énoncer le théorème suivant :
Quand on aura obtenu, par un moyen quelconque, une intégrale première
de V équation des lignes géodésiques, on en déterminera immédiatement un facteur ; de sorte que
