EG-F

— , {dv — v' du)

(Eh-2Fp'-+-Gp'*)»

sera une différentielle exacte après que Von aura remplacé v' par sa valeur ç(i/, v^ a),

534. Nous allons maintenant indiquer quelques conséquences moins importantes des résultats obtenus et, en parlicu-

lier, de Téquatlon (7). Si Ton y remplace 8| par j- et si l'on divise par rf9|, elle prend la forme

fl?6 -h d — d-2 — h <i* d-T-T = o.

Cette relation devant avoir lieu pour toutes les valeurs de du et de dv, on peut y remplacer du, dv respectivement par -t—t- »

— . ; si l'on désigne, pour abréger, par (a, P) le déterminant fonctionnel

a» ap ^ ^3

du àv dv du de deux fonctions quelconques a, ^, on aura

et, par suite,

L'expression de l'élément linéaire deviendra donc

et, 5oa5 cette forme nouvelle, il ne reste aucune trace de V expression primitive de cet élément; la formule ne contient que h et ses dérivées.

Nous signalerons également les formules

(.0 rf„ = rfe.H--^(rfgy,

da

(.7) ,.(e,g)' = EG-F..

que l'on déduira aisément des relations (2); mais elles se distinguent de la précédente en ce qu'elles contiennent à la fois les coefficients E, F, G et les dérivées de 8.

La combinaison des formules (i 4) et (17) nous donne la relation nouvelle

et, si Ton prend la dérivée logarithmique des deux membres par rapport à a, on obtient Téquation

qui ne contient plus E, F, G. Cette relation, à laquelle on pourrait parvenir de différentes manières, doit être regardée comme une équation aux dérivées partielles du troisième ordre à laquelle doit satisfaire 0, considérée comme fonction des variables u, v et a. Son intégration complète ferait donc connaître toutes les surfaces sur lesquelles on saura déterminer les lignes géodésiques.

53j. Supposons Télément linéaire de la surface exprimé en

fonction des variables 0 et 6| = ^« Nous avons vu (n** 524) que

Texpression de la courbure totale sera donnée par la formule de Gauss

Dans Pétude approfondie du plus court chemin entre deux points d'une surface, nous aurons à considérer Téquation différentielle du second ordre

La formule précédente nous fait connaître une première intégrale particulière

de cette équation. Une autre intégrale sera donc donnée par la formule

où Ton effectue la quadrature en supposant 0| constant. On aura D. - H. 28

donc

ou âv

si l'on remplace, dans Texpression (i4) de ^7 -^ ^ -r^ par les quantités proportionnelles — dv, du^ il vient

or» = —

et, par suite,

La deuxième intégrale de Féquation linéaire (20) sera donc

(21) ^ = ^iiSk'

comme on peut le vérifier directement.

536. Les propositions que nous venons d'établir ont été obtenues par la considération des systèmes orthogonaux formés avec une famille de lignes géodésiques. En terminant ce Chapitre, nous indiquerons rapidement une méthode toute différente, qui repose sur le calcul des variations et qui offre l'avantage de bien mettre en évidence un élément très important dans la théorie des lignes géodésiques.

Considérons un segment de ligne géodésique terminé à deux points M, Mq. Si les coordonnées u et i^ d'un point quelconque de ce segment sont exprimées en fonction d'une autre variable f, la longueur 0 de ce segment sera donnée par la formule

u' et ç' désignant les dérivées de u et de p.

Si les points M, Mq se déplacent en décrivant des courbes quelconques, l'application des méthodes du calcul des variations nous donnera immédiatement la variation de 0 par la formule

.^ r(Eu'-^Fp') 8m -h (Fm' -h GO 8<;nM

(22) ôO = / , = >

L •EM'*-h2Fa'w'4-Gp'* JM.

la notation précédente indiquant qu'il faut prendre la différence des valeurs de l'expression pour les points M et Mq. D'après la relation (lo), déjà donnée [I, p. i54], on peut écrire la valeur de B sous la forme

(23) oô = [85 cos(dSf ^s)^ ,

et Ton retrouve ainsi, par une voie entièrement analytique, la relation déjà établie au n® 525. Mais nous allons envisager d'autres conséquences de l'équation (22).

Soient 2/, (^; Uq, ^o l^s coordonnées des points M, Mq. La valeur de 0 peut évidemment s'exprimer en fonction de m, v^, ^0} ^0 > C6 sera même, d'après les résultats du n^ 518, une fonction parfaitement déterminée de ces quatre variables tant que les points M et M© seront suffisamment voisins, si l'on convient de prendre la ligne géodésique la plus courte réunissant les deux points. Nous désignerons dans la suite cette fonction 6 sous le nom de dislance géodésique des deux points M, Mq.

Or, si Ton désigne par Eo, Fo, G© les valeurs de E, F, G au point Mo, c'est-à-dire pour u = w©) ^ = ^o> la formule (22) peut être écrite comme il suit :

(Eom'o -h Foi^'o) 8mo h- (Foa'o -+- Goi'o ) Si^o

v/Eoa'o*-i-2FoU>'o4-Goi''o* et elle nous donne, par conséquent, les quatre équations

d^ Eu'-^Fv' - E ~ F ~

^ *" v/EM'"H-2FaV'^Gp'» " ^* ^* '

dô Fu'-hGv' F ^ Q^

^ "" \/Eu^-h2Fu'9'-hGv'* ~~ ds ds'

^"0 /Eoai*-^2Foi*>'o-^Goi^'o» 'W*/o °V^/o'

^^0 /Eoa'o»^-2Fow'oi'o-^Got^'o' \^*/o 'WWo'

d'où l'on déduit immédiatement, en éliminant «/, \>' et u'^y s/^y les

deux équations