CHAPITRE VII
APPLICATION DES MÉTHODES PRÉCÉDENTES A l'ÉTUDE DES MOUVEMENTS DANS l'eSPACE.
Équations diiTérentielles du mouvement. — Toutes les trajectoires qui correspondent à une même valeur de la constante des forces vives et sont normales À une surface sont, par cela même, noripales à une famille de surfaces. — Équation aux dérivées partielles d'Hamilton et de Jacobi. — Usage que l'on peut faire d'une intégrale complète. — Conditions auxquelles doit satisfaire cette intégrale. — Définition de l'action. — Considération de certains systèmes orthogonaux. — Formule relative à la variation de Faction. — Généralisation du théorème de Malus et de Dupin.
553. Considéronl maintenant les mouvements dans l'espace. Si U désigne la fonction des forces, les équations du mouvement seront
d*x dU f^'r - ^ rf»^ dU
^'^ ~dt^ " ôx' lïn " djr' dt* ~ Jz'
(2) a7'«H-y«-i- 3'*= 2(Li -f- A),
x',y', z' désignant les composantes de la vitesse.
Parmi tous les mouvements correspondants à une valeur donnée de la constante des forces vives, étudions en particulier ceux dont les trajectoires passent par un point, ou sont normales à une surface, ou, en général, satisfont à toute condition qui ne laissera subsister que deux constantes arbitraires dans les équations de la trajectoire. Nous aurons alors une congruence de courbes représentées par des équations telles que les suivantes :
D'ailleurs les composantes de la vitesse en chaque point devront
APPLICATION A l'ÉTUDB DES MOUVEMENTS DANS l'eSPACE. 4^5
satisfaire aux deux équations
àx dy dz '
dx dy' àz
qui, jointes à l'équation des forces vives, permettront évidemment de les déterminer, puis de les exprimer, par la substitution des valeurs de a et de 6 déduites des équations (3), uniquement en fonction de x^ y^ z.
Supposons que Ton ait obtenu ces expressions. Les équations du mouvement prendront la forme suivante
dx' , dx* , ^x ^i d\} dx dy^ dz^ " dx^
^^^ ^ dx ^ dy^ ^ dz dy'
dz' , dz' , dz' , d\}
dx dy' dz dz
qui est analogue à celle que Ton rencontre dans l'étude du mouvement permanent des fluides; x', y^ z^ devront aussi satisfaire à
l'équation des forces vives.
rîîî On peut déduire de cette dernière équation les valeurs de y- >
r)U d\} ri 1
-r- 9 -TZ' On a, par exemple,
ày
àV ^,dx' dy ,dz'
dx dx *^ dx dx
En portant cette valeur de j- dans la première équation (5), on obtient la relation
X — -+- y — — -4- z — = X -7 — -T~ y "x — ~+~ z — > dx ^ dy dz^ dx "^ dx dx
que l'on peut écrire de la manière suivante :
\dy dx I \dx dz j
La deuxième et la troisième équation (5) donneront des for- D. — II. 3o
mules analogues, d'où l'on déduira le système suivant
dz'
dx
dx'
ày'
dz
ày .
dx
dz
ày
dx
qui contient toutes les relations indépendantes de la fpnction des forces entre x\ jk', z^ *
On reconnaît immédiatement que l'on peut satisfaire à ces équations en annulant les numérateurs^ c'est-à-dire en supposant que x', y\ z^ soient les dérivées d'une même fonction 0. Posons donc
Si l'on porte ces valeurs de x\ y, z' dans les équations (2) et (5), l'équation (2) prendra la forme
et le système (5) se composera des équations que l'on déduit de la précédente en la différentiant par rapport à :r, à j^ ou à z. Il suffira donc que 8 satisfasse uniquement à V équation aux dérivées partielles (8).
Les équations (7) nous montrent immédiatement quelle est la signification géométrique de la fonction 6. Si l'on considère la famille de surfaces représentée par l'équation 6 = const., 6 étant une intégrale quelconque de l'équation (6), les courbes qui sont les trajectoires orthogonales de cette famille de surfaces sont aussi des trajectoires du mobile, et la vitesse du mobile en chaque
point est égale à la dérivée r- de 0 suivant la normale. En d'autres
termes, il y a un potentiel ^ pour les vitesses.
La méthode précédente reposant sur la considération de certaines congruences particulières formées avec les trajectoires du mobile, il est naturel de se demander si elle donnera toutes les solutions du problème de Mécanique, c'est-à-dire toutes les trajectoires possibles. Soit (C) une de ces trajectoires passant au point Mo(:CojJKo> ^o) ^^ soient ^'^, y'^, z^^ les composantes de la vitesse du mobile en ce point, composantes qui vérifieront néces-
