APPLICATION A L ETUDE DES MOUVEMENTS DANS L ESPACE
sairement l'équation des forces vives
Il y a évidemment une infinité de solutions 6 de Téquation (8)
dont les dérivées premières t- > t- > t- prennent les valeurs x\y
y\^ Zq au point Mo. Considérons Tune quelconque 6' de ces solutions. Les trajectoires orthogonales des surfaces 6'= const. seront des trajectoires du mobile. Celle de ces trajectoires qui passe au point Mo coïncidera évidemment avec la courbe (C), les conditions initiales du mouvement étant les mêmes sur Tune et sur l'autre de ces trajectoires.
554. On est encore conduit à la considération des congruences particulières pour lesquelles il y a un potentiel des vitesses par le raisonnement suivant, qui mettra de nouveau en évidence le résultat précédent.
Désignons par \ la valeur commune des rapports (6). On a
dz' dy
dz' dx
dx' dz
dx'
dy
ày
dx
= xy,
et, par suite, en faisant usage d'une identité bien connue,
^ ' dx dy dz '
Cette relation, qui rappelle Véquation de continuité de l'Hydrodynamique, vient confirmer l'analogie que nous avons déjà signalée plus haut et sur laquelle, d'ailleurs, nous n'insisterons pas. Si l'on effectue les différentiations, elle prend la forme
d\ , d\ , d\ , . fdx' dy dz'^^
dx dy^ dz \dx dy
le premier membre, que l'on peut écrire ainsi
dX dx dX dy dX dz
az \ dFj'
dx dt dy dt dz dt
a une signification très simple ; il exprime la dérivée -j.de\
lorsqu'on se déplace sur une trajectoire du mobile. Si donc on
pose, pour abréger,
^ dx' dy' dz'
^ ' dj; &y oz
on aura
dt '
d'où Ton déduit
/ ^''' (12) X = Xo^ '•
Xo désignant la valeur de "k pour t= tQ, Donc :
Si'kest nul pour un point quelconque d'une trajectoire, il sera nul pour tous les autres points de la même trajectoire.
D'après cela, considérons, parmi les trajectoires du mobile (qui correspondent toujours à une même valeur de la constante des forces vives), celles qui sont normales à une surface (2), et remarquons que, par suite de la définition de \ et de l'équation des forces vives, on a
Il résulte de cette expression que X sera nul pour le point où chaque trajectoire rencontre normalement la surface (S). Pour le reconnaître immédiatement, il suffit de remarquer que, les équations difiiérentielles des courbes de la congruence étant
cLx dy dz
x', y y z' jouent ici le rôle des quantités X, Y, Z du n° 438.
\ étant nul pour un point de chaque trajectoire, sera nul par cela même sur toutes les trajectoires, qui seront, par suite, d'après le théorème du numéro cité, normales à une famille de surfaces. Nous retrouvons ainsi la proposition de MM. Thomson et Tait, que nous établirons, d'ailleurs, d'une autre manière :
Toutes les trajectoires du mobile, correspondantes à une
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même valeur de la constante des forces vives, qui sont normales à une seule surface, sont, par cela même, normales à toute une famille de surfaces.
Il résulte des raisonneraents précédents que, pour obtenir toutes ces familles de surfaces normales à des trajectoires, il faudra intégrer Téquation aux dérivées partielles (8). Nous allons examiner les différentes solutions de cette équation.
555. Nous n'avons qu'à répéter ici ce qui a été dit dans le cas des mouvements plans. Si la solution 0 ne contient aucune constante, il faudra, pour avoir les trajectoires correspondantes, intégrer les trois équations (5) ou les équations (i4)- Mais je vais montrer que, si la solution 9 contient, en dehors de la constante qu'on peut toujours lui ajouter, deux autres constantes arbitraires a et i, on peut obtenir sans aucune intégration la solution complète du problème de Mécanique.
Substituons, en effet, 9 dans l'équation (8) et prenons la dérivée par rapport à a ; nous aurons
dx ùadx ày dady âz daôz
1 1 on remplace ^ » t" » t- respectivement par a: , ^ , 5 , 1 équation précédente prend la forme
d^(à^\ • dt \dâ) ~" ^'
Donc -7- est constant sur chaque trajectoire du mobile. En appliquant le même raisonnement à 6, on voit que les équations
où a\ V désignent deux constantes nouvelles, définissent une trajectoire du mobile. On vérifierait du reste immédiatement que les deux surfaces représentées par chacune des équations précédentes coupent à angle droit toutes 'les surfaces 6 = const.
En différenliant de même par rapport à h l'équation (8), on
trouvera
dt\dh) "^^
et l'OD aura, par suite, en intégrant,
T désignant une nouvelle constante.
Les équations (i5)et(i6), contenant six constantes arbitraires a, 6, hy a' y b'y t, définissent bien la solution la plus générale du problème posé. En essayant de le démontrer d'une manière plus rigoureuse, on reconnaîtra à quelles conditions doit satisfaire la solution 0 qui contient les constantes a, b. Si Ton veut, en effet, déterminer la trajectoire du mobile qui passe au point M(.r, j^, 5), le mobile admettant les vitesses x\ y ^ z\ liées nécessairement par l'équation des forces vives, on aura les trois équations
ox "^ ày dz
qui se réduisent à deux, en vertu des équations (2), (8), et qui devront pouvoir déterminer a et 6 en fonction des six quantités données x^y^ z, x',y^ z'.
Prenons, par exemple, les deux premières. Pour qu'on puisse en déduire généralement des valeurs de a et de 6, il faut et il
suffit que T-> 3- soient des fonctions indépendantes l'une de
l'autre des variables a et b. Il faudra donc que le déterminant
\dx ày I
soit différent de zéro. En raisonnant de même avec -r-> t-> on est
ay oz
conduit à la conclusion suivante :
La solution 8 doit être telle que les deux équations
dadx ^ da dy __ da àz ôb dx db dy ôb dz
APPLICATION A l' ÉTUDE DES MOUVEMENTS DANS L* ESPACE. 47 1
qui se réduisent d'ailleurs à une seule, ne soient pas identiquement vérifiées.
On peut encore énoncer cette condition sous Tune ou l'autre des formes suivantes :
Il ne faut pas que 0, considérée comme fonction de a et de b^ satisfasse à une équation du premier ordre
indépendante de x^y^ z.
On peut dire encore que 0, considérée comme fonction de x, Yt Zf ne doit pas satisfaire à une équation du premier ordre
distincte de Téquation (8) et ne dépendant ni de a ni de b.
Supposons, par exemple, que la fonction des forces soit nulle. L'équation (8) sera
r^r.r^rWgy»,.,
et elle admettra la solution
Cette solution ne conviendra pas, bien qu'elle contienne deu\ constantes. On le reconnaît immédiatement en appliquant un quelconque des trois critériums que nous venons de signaler.
5S6. Nous voyons ici se présenter un fait nouveau. Dans le plan, toutes les familles possibles de trajectoires du mobile font partie d'un système orthogonal, auquel correspond une certaine solution 0 de l'équation aux dérivées partielles de Jacobi. Il n'en est plus de même dans l'espace : on peut certainement associer les trajectoires du mobile en congruences qui admettent des surfaces les coupant à angle droit, nous venons de le démontrer; mais il existe aussi des familles de trajectoires ne possédant pas cette importante propriété.
Ce résultat pouvait être prévu. Considérons, en effet, le cas où
47'i LIVEB V. — CHAP. Vif.
il n'y a pas de force. Les Irajectoires correspondantes à ane même valeur de h sont les droites de l'espace, parcoumes toutes avec la même vitesse. Or on sait bien qu'un système de rayons rectilignes n^est pas toujours formé des normales à une surface. Mais on sait aussi que, si des droites sont normales à une surface, elles le sont encore à une infinité d'autres surfaces. Cette propriété n'est, on le voit, qu'un cas particulier de celle qui appartient aux trajectoires d'un mobile et que nous avons démontrée au n^ 554.
Si on laissait de côté les résultats établis dans ce numéro, on pourrait encore démontrer, comme il suit, le théorème de MM. Thomson et Tait.
Étant donnée une surface (S), on sait toujours déterminer une solution h de l'équation de Jacobi qui soit nulle pour tous les points de cette surface. Alors les trajectoires du mobile, qui sont normales à toutes les surfaces 0 == const., seront, en particulier, normales à (S). Comme leur ensemble est déterminé par cette dernière condition, la proposition est démontrée.
En particulier, si la surface (S) devient infiniment petite et se réduit à un point, on aura toutes les trajectoires passant par ce point. On voit donc que :
Toutes les trajectoires du mobile qui passent en un point quelconque sont normales à une famille de surfaces.
Ici encore, on peut introduire une intégrale analogue à celle que nous avons définie au n*' 544. On a
/()0\« /^\« (d^y (^0 , (W , do , ... .^
Lorsqu'on se déplace sur une trajectoire, l'équation précédente prend la forme
(19) rfô = 2( U 4- A) rf< = /2U-f-2Â ds.
Il suit de là que la difierence des valeurs On, 0^' ^^ ^ relatives à deux points M, M' d'une même trajectoire est exprimée par la
APPLICATION A l'ÉTUDE DES MOUVEMENTS DANS l'eSPACE. 473
formule
(20) eji — 6m'= / )/'i{l]-^h)ds.
L'intégrale qui figure dans le second membre sera appelée, ici encore, Vaction étendue de M' à M. Les développements donnés par MM. Thomson et Tait montrent toute l'importance de cet élément, qui doit être considéré, au même titre que le travail, dans l'étude des problèmes de Mécanique. La formule précédente donne, en particulier, les théorèmes suivants, analogues à ceux du n*> 544 ;
Si, sur les trajectoires passant par un point M© ou normales à une sur/ace quelconque, on considère les arcs, comptés à partir du point d'incidence, pour lesquels l'action a une valeur donnée, le lieu des extrémités de tous ces arcs sera normal à toutes les trajectoires.
557. Nous allons indiquer maintenant comment on pourra employer une intégrale complète
de l'équation aux dérivées partielles de Jacobi pour résoudre les deux problèmes que nous venons de rencontrer.
D'après la règle de Lagrange, la solution la plus générale de l'équation aux dérivées partielles est fournie par les relations
(22) { da da
""-Tb-^W
entre lesquelles il faudra éliminer a et b.
Si l'on veut que la solution 6 soit nulle ou, plus généralement, ait une valeur donnée ^{Xty)^ en chaque point d'une surface (S), donnée par son équation
(23) z-X^Xjy),
on remplacera 0 par [jl et 3 par \ dans les équations précédentes.
474 LIVEB V. — CBAP. VII.
ce qui donnera le système
<2^) df à9 àf do
^ ôa da ôb ôb
En diflerentiant la première relation par rapport à jr et à jr successivement et tenant compte des deux autres, on aura
df , dfd\ dvL
dx
ô\ dx
dy
df d\ d\ dy
L^élimination de x et de^ entre ces deux équations et la première des équations (24) f<^ra connaître 9 en fonction de a et de b et déterminera, par suite, la solution cherchée.
Si Ton veut avoir la solution B correspondante à toutes les trajectoires passant par un point {x^^y^^ ^o), il faudra prendre
( •>-6} 9 = — /(aro, 70, ^0, a,b)\
je me contente d'indiquer ces propositions, qui appartiennent à la théorie des équations aux dérivées partielles et sont analogues à celles qui ont été données plus haut (n'^' 541 et o42).
558. Nous sommes conduits par les résultats précédents à envisager les systèmes de coordonnées curvilignes dans lesquels on définirait un point de l'espace par la valeur des trois quantités
Un point est alors déterminé par Tintersection de trois surfaces appartenant à des familles diflférentes; les surfaces des familles
Oi = const., Oj = const.
sont engendrées par des trajectoires du mobile normales aux surfaces
9 = const.
On aura donc, en considérant x^ y, z comme des fonctions
APPLICATION A l'ÉTUDE DES MOUVEMENTS DANS L'ESPACE. 475
de 9, 6|, 62)
dx
de
dx
dy dy d^ dôi
dz
dx
dx ()0,
dy dy dis d^t
dz dz
dO de.
et, par suite, l'élément linéaire de l'espace sera donné par une équation de la forme
ds^ = H« rfo» H- M rfeî -h 2N ^ej rfe, -+- p é/e|.
On trouvera, comme précédemment (n° 544), la valeur de FI
et, par suite, la valeur de ds^ pourra s'écrire
(28) (2U-+-2A)é/5» = rfe» + m(iOÎ-f-a7icfO, rfO, -^-/xiO^
les quantités m, /), m/> — n^ étant essentiellement positives. On peut déduire de cette formule le principe de la moindre action et celui d'Hamilton par des raisonnements analogues à ceux que nous avons développés dans le cas de deux variables. Au lieu d'insister sur ce sujet, qui sera repris d'une manière générale dans le Chapitre suivant, nous indiquerons en terminant une formule importante relative à V action,
